数学八年级上册（2024）3. 角平分线公开课ppt课件

这是一份数学八年级上册（2024）3. 角平分线公开课ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了情境导入，怎么用呢，角平分线的性质定理，一个点在角的平分线上，应用所具备的条件，怎样证明这个结论呢，试一试，典例精析等内容，欢迎下载使用。
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力．
AB，AC，BC是某公园三条两两相交的小路，管理人员为了方便游人休息，打算修建一个凉亭，使凉亭P到三条小路的距离相等．请同学们帮助选好凉亭P位置．
这要用到角平分线的知识.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
射线OC所在直线就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，∴ ∠DOP =∠BOP.∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.在△OPD 和△OPE 中，∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE.
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线性质定理的逆定理
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ).
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
定理的作用：判断点在角平分线上.
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上.
证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
垂足分别为 D、E、F.∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，∴ PD = PE.同理 PE = PF.∴ PD = PF.∴ 点 P 在∠A 的平分线上.
1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　)A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．∠CPD＝∠DOC
2．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(　　)A．4 B．6 C．8 D．12
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　)A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，点O是∠BAC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为________．
5．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H.(1)若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；
【解】如图，过点P作PF⊥BE于点F.由题意可知PH＝5 cm.∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，∴PF＝PH＝5 cm，即点P到直线BC的距离为5 cm.
6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H.(2)求证：AP平分∠HAC.
【证明】∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE，∴PF＝PD.由(1)知PH＝PF，∴PD＝PH.∵PH⊥BA，PD⊥AC，∴AP平分∠HAC.
7. 如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝(　　)A．4 B．3.5 C．3 D．5