2024-2025学年广东省汕头一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省汕头一中高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x|x−3x+10时，f(x)=x2+2x−3，则不等式f(2x−1)>0的解集为( )
A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (0,12)∪(1,+∞)
C. (0,12)∪(12,1)D. (−∞,0)∪(12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知e1,e2是不共线的向量，下列向量a,b共线的有( )
A. a=e1，b=−2e2B. a=e1−3e2,b=−2e1+6e2
C. a=3e1−34e2,b=2e1−12e2D. a=e1+e2，b=e1−3e2
10.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法正确的是( )
A. 四点B，D，E，F在同一平面内
B. 三条直线BF，DE，CC1有公共点
C. 直线A1C与直线OF不是异面直线
D. 直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，中，点M，N，E，F分别是梭A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，则下列说法正确的是( )
A. 若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为4π
B. 平面AMN//平面EFDB
C. 异面直线AM与BE所成角的余弦值为45
D. 平面AMN和平面EFDB分正方体ABCD−A1B1C1D1成三部分的体积由小到大的比值为1：8：16
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.计算： (−2)2+ln e+2lg212= ______．
13.如图，正方形ABCD的边长为2，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AD分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是______．
14.如图，已知圆台的轴截面为梯形ABCD，AB=4，CD=2，梯形ABCD的高为2 2，圆台的体积为______；在圆台的侧面上，从点A到点C的最短路径长度是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)作出过A、G、Dl三点的截面；(写出作图过程并保留作图痕迹)
16.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca=sinA+2sinBcsA2sinA．
(1)求B的大小；
(2)若b=2 2，△ABC的面积为2 3，求△ABC的周长．
17.(本小题12分)
已知向量a=(2,1)，b=(1,2)，c=(3,λ)．
(1)若(ka+b)⊥a，求k的值；
(2)若c//a，求c在b方向上投影向量的坐标．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．
(1)求证：PA//平面BDE；
(2)求证：DE⊥平面PCB；
(3)设平面PAB∩平面PCD=l，求证：l//平面ABCD．
19.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AC=2，BC=2 3，且AC⊥BC，M，N为线段AB上的两个动点(N在M的右侧)，且∠MCN=30°．
(1)若AM=1时，求CN的长；
(2)若△MNC的面积是△CMA的面积的 32倍，求∠ACM的大小；
(3)当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.B
6.D
7.D
8.B
9.BC
10.ABD
11.BC
12.3
13.2π3
14.14 23π 3 3
15.(1)证明：如图：正方体ABCD−A1B1C1D1中，
平面ABCD∩平面CDD1C1=DC，
EF与HG相交于点Q，
则Q∈EF，而EF⊂平面ABCD，所以Q∈平面ABCD，
同理Q∈平面CDD1C1，
而平面ABCD∩平面CDD1C1=DC，
所以Q∈DC，即点Q在直线DC上．
(2)如图所示，取BC的中点P，
连接AP，PG，D1G，
因为GP//BC1，BC1//AD1，
所以GP//AD1，故A，D1，G，P共面．
则APGD1即为所求截面．
16.解：(1)由题意得及正弦定理可得sinCsinA=sinA+2sinBcsA2sinA
因为sinA≠0，所以sinA+2sinBcsA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcsB+2csAsinB，
得sinA=2sinAcsB，得csB=12，而B∈(0,π)，
可得B=π3；
(2)由S△ABC=12acsinB=2 3，由(1)可得ac=8，
而b=2 2，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=12，可得a2+c2−8=ac，
可得a+c=4 2，△ABC的周长a+c+b=4 2+2 2=6 2，
所以△ABC的周长为6 2．
17.(1)已知向量a=(2,1)，b=(1,2)，c=(3,λ)，
由(ka+b)⊥a可得：(ka+b)⋅a=0，
即k|a|2+a⋅b=k( 22+12)2+2×1+1×2=5k+4=0，
解得k=−45．
(2)由c/​/a，可得23=1λ，即2λ=3，
解得λ=32，则c=(3,32)，
因c在b方向上投影向量为c⋅b|b|2⋅b，
故其坐标为：1×3+2×32( 12+22)2⋅(1,2)=65⋅(1,2)=(65,125)．
18.证明：(1)连接AC，交BD于M，如图，
∵底面ABCD是正方形，故M为AC的中点，∴ME//PA，
∴EM⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，
∴由线面平行的判定定理得AP//平面BDE；
(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵在正方形ABCD中，CD⊥BC，
PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
∴由线面垂直的判定定理得BC⊥平面PCD，
又∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，
又PC∩BC=C，且PC⊂平面PCB，BC⊂平面PCB，
∴由线面垂直的判定定理得DE⊥平面PCB
(3)在正方形ABCD中，有AB//CD，
∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB//平面PCD，
∵AB⊂面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，∴AB//l，
∵l⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴由线面平行的判定定理得l//平面ABCD．
19.解：(1)在△ABC中，AC=2，BC=2 3，且AC⊥BC，
M，N为线段AB上的两个动点(N在M的右侧)，且∠MCN=30°，
由AC=2，BC=2 3，AC⊥BC，得tanB=ACBC=22 3= 33，
又0°