中考数学一轮复习考点题型分类训练专题38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习考点题型分类训练专题38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】（2份，原卷版+解析版），文件包含第二十二章能源与可持续发展初中物理九年级全一册同步教学课件人教版2024pptx、第二十二章能源与可持续发展同步练习含答案解析docx、第二十二章能源与可持续发展同步练习docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共52页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc31812" 【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】 PAGEREF _Tc31812 \h 3
\l "_Tc2378" 【题型2 求角的三角函数值】 PAGEREF _Tc2378 \h 4
\l "_Tc32729" 【题型3 由三角函数值求边长】 PAGEREF _Tc32729 \h 5
\l "_Tc4537" 【题型4 求特殊角的三角函数值】 PAGEREF _Tc4537 \h 6
\l "_Tc20514" 【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc20514 \h 7
\l "_Tc31423" 【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】 PAGEREF _Tc31423 \h 7
\l "_Tc17293" 【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 PAGEREF _Tc17293 \h 8
\l "_Tc24739" 【题型8 已知角度比较三角函数值大小】 PAGEREF _Tc24739 \h 8
\l "_Tc28307" 【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 PAGEREF _Tc28307 \h 9
\l "_Tc29213" 【题型10 利用同角三角函数关系求解】 PAGEREF _Tc29213 \h 10
\l "_Tc2213" 【题型11 互余两角三角函数关系】 PAGEREF _Tc2213 \h 10
\l "_Tc9737" 【题型12 构造直角三角形解直角三角形】 PAGEREF _Tc9737 \h 11
\l "_Tc7575" 【题型14 在坐标系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc7575 \h 14
\l "_Tc12209" 【题型15 解直角三角形的相关计算】 PAGEREF _Tc12209 \h 16
\l "_Tc5957" 【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 PAGEREF _Tc5957 \h 17
\l "_Tc11857" 【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】 PAGEREF _Tc11857 \h 18
\l "_Tc18825" 【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】 PAGEREF _Tc18825 \h 20
\l "_Tc14781" 【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 PAGEREF _Tc14781 \h 22
\l "_Tc15035" 【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】 PAGEREF _Tc15035 \h 23
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦，余弦，正切，余切．
②特殊角的三角函数值：
③同角三角函数关系：，，．
④互余角三角函数关系：若，则，．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若，则，，．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系：．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：，，．
3．解直角三角形的四种基本类型
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．

图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）

A．sinα的值越大，梯子越陡
B．csα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不能确定D．不变
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A．5cs31°B．5sin31°C．5sin31°D．5tan31°
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
A．1csα+2sinαB．1csα+12sinα
C．csα+2sinαD．2csα+sinα
【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN的值为 ．
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB=5，BD=2，那么csC= ．
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD=13，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC= ．

【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，∠C=90°且tanA=12，BC=8，CF∥AB，则DF= ．

【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D、C、E三点共线．

(1)求证：BE∥AD．
(2)若AD=6,csE=13，求CE的长．
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，sin∠DCB=35，则AC= ．
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．

(1)求证：∠BAC=2∠D；
(2)若BC=AC，且cs∠BAC=35，求BEDE，
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=12，连接AD、EC，求ABBC．
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2csA的结果为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式4-1】（2023·广东河源·二模）(tan60°)2+(cs45°)−1= ．
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y=kx的图象过点−2，sin30°，则k的值为 ．
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα=32，则csα2= ．
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）

A．15°B．30∘C．15°或105°D．30°或105°
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，csB=22，直线EF分别交AB，BC于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）

A．135°B．225°C．265°D．280°
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形顶角的度数为 °．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=23cm，则∠A= ．
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
(1)12sin30°+22cs45°+sin30°tan60°；
(2) sin45°⋅cs45°+sin60°⋅tan45°tan45°⋅tan60°+3tan230°+tan45°cs30°．
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值：xx2−1÷1−1x+1，其中x=2sin45°+2tan45°
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：−12019+−12−2−2−12+4sin60°．
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算：sin30°⋅cs30°tan30°⋅tan45°−2sin45°．
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sinA=32，tanB=3，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若3tanA−32+2csB−3=0，则△ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形D．等腰直角三角形
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA−12)2+|csB−32|=0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°tan70°B．tan70°>cs70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cs70°D．cs70°>tan70°>sin70°
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值．
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即BCAB就是∠A的正弦值．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．70°
【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cs∠A>32，则∠A应满足 ．
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知12