2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31812" 【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】 PAGEREF _Tc31812 \h 3
\l "_Tc2378" 【题型2 求角的三角函数值】 PAGEREF _Tc2378 \h 5
\l "_Tc32729" 【题型3 由三角函数值求边长】 PAGEREF _Tc32729 \h 11
\l "_Tc4537" 【题型4 求特殊角的三角函数值】 PAGEREF _Tc4537 \h 19
\l "_Tc20514" 【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc20514 \h 20
\l "_Tc31423" 【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】 PAGEREF _Tc31423 \h 25
\l "_Tc17293" 【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 PAGEREF _Tc17293 \h 27
\l "_Tc24739" 【题型8 已知角度比较三角函数值大小】 PAGEREF _Tc24739 \h 28
\l "_Tc28307" 【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 PAGEREF _Tc28307 \h 31
\l "_Tc29213" 【题型10 利用同角三角函数关系求解】 PAGEREF _Tc29213 \h 33
\l "_Tc2213" 【题型11 互余两角三角函数关系】 PAGEREF _Tc2213 \h 36
\l "_Tc9737" 【题型12 构造直角三角形解直角三角形】 PAGEREF _Tc9737 \h 39
\l "_Tc7575" 【题型14 在坐标系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc7575 \h 52
\l "_Tc12209" 【题型15 解直角三角形的相关计算】 PAGEREF _Tc12209 \h 58
\l "_Tc5957" 【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 PAGEREF _Tc5957 \h 64
\l "_Tc11857" 【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】 PAGEREF _Tc11857 \h 68
\l "_Tc18825" 【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】 PAGEREF _Tc18825 \h 75
\l "_Tc14781" 【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 PAGEREF _Tc14781 \h 81
\l "_Tc15035" 【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】 PAGEREF _Tc15035 \h 86
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦，余弦，正切，余切．
②特殊角的三角函数值：
③同角三角函数关系：，，．
④互余角三角函数关系：若，则，．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若，则，，．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系：．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：，，．
3．解直角三角形的四种基本类型
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．

图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）

A．sinα的值越大，梯子越陡
B．csα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
csα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不能确定D．不变
【答案】D
【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA”求解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴sinA=∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都扩大5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：D．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A．5cs31°B．5sin31°C．5sin31°D．5tan31°
【答案】B
【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．
【详解】∵铁球上滚的距离× sin31° =铁球距地面的高度，
∴铁球距地面的高度= 5sin31°．
故选：B．
【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
A．1csα+2sinαB．1csα+12sinα
C．csα+2sinαD．2csα+sinα
【答案】C
【分析】过B作BH⊥AD于点H，然后可以用α的三角函数表示AH，HD，再根据AD=AH+HD可以得到解答．
【详解】解：如图，过B作BH⊥AD于点H，
由题意可得：∠HAB=∠C=α，
∴AH=AB•csα=csα，DH=BE=BC•sinα=2sinα，
∴AD=AH+HD=csα+2sinα，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题关键．
【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN的值为 ．
【答案】58
【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求出BM是解本题的关键．
根据正方形性质，证明△ABG≌△BCH，得出∠BAG=∠CBH，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB∽△ABG，求出OAOB=ABBG =52，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=5,∠ABC=∠BCD=90°
∵BG=CH=2,
∴△ABG≌△BCH(SAS),
∴∠BAG=∠CBH,
∴∠BAG+∠ABO=∠CBH+∠ABO=∠ABG=90°,
∴∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG,
∴△AOB∽△ABG,
∴OAAB=OBBG,
∴OAOB=ABBG=52,
∵OM⊥ON,
∴∠MON=90°=∠AOB,
∴∠BOM=∠AON,
∵∠BAG+∠DAG=90°，∠ABO+∠CBH=90°，∠BAG=∠CBH,
∴∠OBM=∠OAN
∴△OBM∽△OAN,
∴OBOA=BMAN,
∵点N是AD的中点，
∴AN=12AD=52,
∴25=BM52,
∴BM=1,
∴AM=AB-BM=4,
在Rt△MAN中，tan∠AMN=ANAM=524=58，
故答案为：58．
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB=5，BD=2，那么csC= ．
【答案】25/0.4
【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由BD⊥AC，得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，通过同角的余角相等得出∠ABD=∠C即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】如图，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵AB=5,BD=2，
∴csC=cs∠ABD=BDAB=25，
故答案为：25．
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
【答案】(1)见解析
(2)sin∠DBC= 56
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，求得∠BEC=90°，根据垂直的定义得到CE⊥BD；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC=90°，根据垂直的定义得到∠CED=90°，得到∠CED=∠ABC，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接AD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠DCA=∠ECB，∠CAD=∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ABC，
∵∠D=∠A，
∴△ABC∽△DEC，
∴ DEAB=CEBC，
∵AB=6，DE=5，
∴sin∠DBC=CEBC=DEAB=56．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD=13，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC= ．

【答案】 5 913
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，在Rt△ADE中利用正切的定义得到tan∠EAD=DEAD=13，则设DE=x，AD=3x，根据垂径定理得到AH=FH=DE=x，利用圆心角、弧、弦的关系得到FG=FA=2x，再证明∠FAG=∠EAD，则tan∠BAG=BGAB=13，于是可计算出BG=3，在RtΔBFG中利用勾股定理得到9-2x2+32=2x2，解方程求出x，则AF=5，DE=52，AD=152，所以CG=92，CE=132，然后在Rt△CGE中利用正切的定义得到tan∠GEC的值．
【详解】解：过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD=DEAD=13，
∴设DE=x，AD=3x，
∵∠AHE=∠HAD=∠D=90°，
∴四边形ADEH为矩形，
∴AH=DE=x，AD∥AE，
∴∠DAE=∠HEA，
∵EH⊥AF，
∴AH=FH=x，∠HEA=∠HEF，
∵F为弧AG的中点，
∴FG=FA=2x，∠AEF=∠GEF，
∵∠FAG=12∠GEF=12∠AEF，
∴∠FAG=∠EAD，
在Rt△ABG中，∵tan∠BAG=BGAB=13，
∴BG=13AB=13×9=3，
在Rt△BFG中，∵BF=9-2x，FG=2x，BG=3，
∴9-2x2+32=2x2，
解得x=52，
∴AF=5，DE=52，AD=152，
∴CG=BC-BG=92，CE=CD-DE=132，
在Rt△CGE中，tan∠GEC=CGCE=913．
故答案为：5，913．
【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，∠C=90°且tanA=12，BC=8，CF∥AB，则DF= ．

【答案】823
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据角平分线的性质得：∠FBD=∠ABD，利用平行线的性质及三角函数正切值得BC=CD=AD，进而得∠CBD=∠CDB=45°，在Rt△CBE中，根据tan∠EBC=CEBC=12，得CE=4，利用勾股定理得，BE=45，利用相似三角形的判定及性质得EF=453，再利用相似三角形的判定及性质可得EF=453 FG=83，GE=43，进而得DG=83，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图：

∵BD平分∠ABF，
∴∠FBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴GF∥BC，
∵tanA=BCAC=12，D是AC中点，
∴BC=CD=AD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠ABD+∠A=45°，∠FBD+∠FBC=45°，
∵∠ABD=∠FBD，
∴∠FBC=∠A，
∴tan∠EBC=tan∠A=12，
在Rt△CBE中，tan∠EBC=CEBC=12，
∴CE8=12，
∴CE=4，
∴AE=AC-CE=2BC-CE=12，
根据勾股定理，得BE=CB2+CE2=82+42=45，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△CFE，
∴EFBE=CEAE，即：EF45=412，
∴EF=453，
∵GF∥BC，
∴FGBC=EFBE=GEEC=14，
∴FG8=13=GE4，
∴FG=83，GE=43，
∴DG=DE-EG=4-43=83，
在Rt△FGD中，根据勾股定理得：DF=DG2+FG2=(83)2+(83)2=823，
故答案为：823．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形的判定及性质及勾股定理是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D、C、E三点共线．

(1)求证：BE∥AD．
(2)若AD=6,csE=13，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由∠ABD=∠CBE得∠ABC=∠DBE，根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，则∠ACB=∠DBE，由圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，则∠DBE=∠ADB，即可得到结论；
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，证明△ABD∽△CBE，得到ABCB=ADCE，∠E=∠ADB，则∠E=∠ADB=∠ACB，证明AH是BC的垂直平分线，则BH=CH=12BC，AH⊥BC，由csE=cs∠ACB=13=CHAC，可设CH=BH=x，则AC=3x，得到AB=AC=3x,BC=2x，代入比例式得到3x2x=6CE，即可得到CE的长．
【详解】（1）解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DBE，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴BE∥AD；
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ABCB=ADCE，∠E=∠ADB，
∴∠E=∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，
∴BH=CH=12BC，AH⊥BC，
∵csE=cs∠ACB=13=CHAC，
设CH=BH=x，则AC=3x，
∴AB=AC=3x,BC=2x，
∴3x2x=6CE，
∴CE=4．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，证明△ABD∽△CBE是解题的关键．
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，sin∠DCB=35，则AC= ．
【答案】6或23411
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作DE⊥BC于E，根据sin∠DCB=35，可得出DECD=35，设DE=3k,CD=5k，则CE=4k,BE=8-4k，在Rt△BDE中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE,BE，然后证△BDE和△BAC相似，最后利用相似三角形的性质可求出AC的长．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
∵sin∠DCB=35，
在Rt△CDE中，sin∠DCB=DECD，
∴DECD=35，
设DE=3k,CD=5k，
由勾股定理得：CE=CD2-DE2=4k，
∵BC=8，
∴BE=BC-CE=8-4k，
在Rt△BDE中，BE=8-4k,DE=3k,BD=5，
由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即8-4k2+3k2=52，
整理得：25k2-64k+39=0，
解得：k=1，或k=3925，
当k=1时，DE=3k=3，BE=8-4k=4，
∵∠ACB=90°,DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BEBC，即3AC=48，
∴AC=6，
当k=3925时，DE=3k=11725,BE=8-4k=4425，
同理：DEAC=BEBC，即11725AC=44258，
∴AC=23411．
综上所述：AC=6或23411，
故答案为：6或23411．
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．

(1)求证：∠BAC=2∠D；
(2)若BC=AC，且cs∠BAC=35，求BEDE，
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=12，连接AD、EC，求ABBC．
【答案】(1)证明见解析
(2)BEDE的值为35
(3)ABBC=7+265
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求证；
（2）构造相似三角形得到△BEG∽△DEC即可求解；
（3）取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF，OI⊥AB，连接OA、OC，构造四点共圆，利用相似三角形的判定、性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCP=12∠ACP，
又∵∠DCP、∠ACP分别是△BCD、△ABC的一个外角，
∴∠D=∠DCP-∠DBC=12∠ACP-12∠ABC=12∠BAC ，
∴∠BAC=2∠D ．
（2）连接CE并延长交AB于点G，则CG平分∠ACB

又∵BC=AC，
∴CG⊥AB，∠ABC=∠BAC，
又∵∠DCP=12∠ACP=∠ABC，
∴AB∥CD，
∴CG⊥CD，∠D=∠ABD=∠DBC
∴△BEG∽△DEC ，CD=BC
∴BEDE=BGCD=BGBC=AGAC=cs∠BAC=35，
答：BEDE的值为35．
（3）如图，取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF于H，OI⊥AB于I，连接OA、OC，
∵BFDF=3，
可设DF=x，则BF=3x，
∵DF⊥BC，
∴BD=DF2+BF2=x2+3x2=10x，
又∵BEDE=12，点O是DE的中点，
∴OBBD=23
∵OH⊥BF，DF⊥BC，
∴OH∥DF，
∴△BOH~△BDF，
∴BHBF=BOBD=OHDF=23，
∴BH=2x，OH=23x，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴OH=OI=23x，
∴BI=BH=2x．

由（1）（2）知CE平分∠ACB，CD平分∠ACF．
∴∠ECD=∠ECA+∠ACD=12∠BCA+∠ACF=90°,
∵∠BAC=2∠BDC(小题1中已证),
∴∠EAC=∠BDC,
∴点A、E、C、D四点共圆，
∵∠ECD=90°，O为ED中点，
∴ED为圆的直径，
∴∠DCE=∠DAE=90°，
∴OA=OC=12DE=103x，
∴AI=CH=OC2-OH2=103x2-23x2=63x
∴AB=AI+IB=2+63x，
∴BC=2-63x，
∴ABBC=2+632-63=7+265．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质定理、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与圆的基本性质等知识，解题关键是作辅助线构造相似三角形，本题综合性较强，需要学生具有较强的图形分析能力，且对相应知识点理解到位并熟练运用．
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2csA的结果为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查特殊角的函数值，熟练掌握特殊角的函数值即可得到答案．根据三角形内角和定理求出∠A=60°，即可得到答案．
【详解】解：∵Rt△ABC，∠B=30°，∠C=90°，
∴∠A=60°，
故2csA=2cs60°=2×12=1，
故选A．
【变式4-1】（2023·广东河源·二模）(tan60°)2+(cs45°)-1= ．
【答案】3+2/2+3
【分析】运用特殊角度的三角函数值计算．
【详解】解：原式=(3)2+(22)-1=3+2．
故答案为：3+2．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算法则．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y=kx的图象过点-2，sin30°，则k的值为 ．
【答案】-1
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求特殊角三角函数值，先求出sin30°=12，再把点-2，12代入反比例函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵sin30°=12，
∴反比例函数y=kx的图象过点-2，12，
∴12=k-2，
∴k=-1，
故答案为：-1．
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα=32，则csα2= ．
【答案】32
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【详解】解：∵sinα=32，
∴锐角α=60°．
∴ csα2=cs30°=32．
故答案为：32．
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）

A．15°B．30∘C．15°或105°D．30°或105°
【答案】C
【分析】连接BD，推出BD是⊙O的直径，利用三角函数的定义求得∠ABD=60°，再分类讨论，当点P在BD上方和点P在BD下方时，据此求解即可．
【详解】解：连接BD，
∵点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，
∴∠A=∠C=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BPD=90°，
∵AB=1，AD=3，
∴tan∠ABD=ADAB=3，
∴∠ABD=60°，
当点P在BD上方时，
∵PO平分∠BPD，

∴∠BPO=12∠BPD=45°，
∵OP=OB，
∴∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD-∠PBD=15°；
当点P在BD下方时，

同理可得∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD+∠PBD=105°；
综上，∠PBA的度数为15°或105°
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明BD是⊙O的直径是解题的关键．
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，csB=22，直线EF分别交AB，BC于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）

A．135°B．225°C．265°D．280°
【答案】B
【分析】先根据csB=22，得到∠B=45°，则∠BEF+∠BFE=180°-∠B=135°，再根据平角的定义求出∠AEF+∠EFC的度数即可．
【详解】解：∵csB=22，
∴∠B=45°，
∴∠BEF+∠BFE=180°-∠B=135°，
∵∠AEF=180°-∠BEF，∠EFC=180°-∠BFE，
∴∠AEF+∠EFC=180°-∠BEF+180°-∠BFE
=360°-∠BEF+∠BFE
=360°-135°
=225°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角形函数，三角形内角和定理，求出∠B=45°是解题的关键．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形顶角的度数为 °．
【答案】120°或90°
【分析】分两种情形①BD是腰上的高，②AD是底边上的高，分别求解即可．
【详解】①如图，

∵AB=AC，BD⊥AC，
BD=12BC，
∴sinC=BDBC=12，∠ACB=∠C，
∴∠C=30°，则∠BAC=180°-2∠C=120°；
②如图中，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°
∵AD=12BC，
∴AD=DB=DC，
则∠DAB=∠DBA=45°，∠DCA=∠DAC=45°
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∴∠BAC=90°；
∴等腰三角形的顶角为120°或90°．
故答案为：120°或90°．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=23cm，则∠A= ．
【答案】60°或120°
【分析】先画出图形，△ABC可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当△ABC是锐角三角形时，先作直径BD，连接CD构造直角三角形BCD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，求出的∠D三角函数值，即可求出∠D的度数，即可知∠A的度数.当△ABC是钝角三角形时，∠A与∠D互补，求出∠D的度数，即可知∠A的度数.
【详解】
解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接BO并延长交⊙O于D点，连接CD，
则∠A=∠D，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
且BC=23,BD=2r=4，
∴sin∠D=BCBD=234=32，
∴∠D=60°，
∴∠A=60°；

如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∠A+∠D=180°
则∠A=180°-∠D
=180°-60°
=120° ；
综上分析可知，∠A=60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于90°”，“同弧所对的圆周角相等”，以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键.
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
(1)12sin30°+22cs45°+sin30°tan60°；
(2) sin45°⋅cs45°+sin60°⋅tan45°tan45°⋅tan60°+3tan230°+tan45°cs30°．
【答案】(1)3+234
(2)2+233
【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法；
（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：原式=12×12+22×22+12×3
=14+12+32
=34+32
=3+234；
（2）原式=22×22+32×11×3+3×(33)2+132
=12+12+3×13+233
=1+1+233
=2+233．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值：xx2-1÷1-1x+1，其中x=2sin45°+2tan45°
【答案】1x-1，12
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：xx2-1÷1-1x+1
=xx+1x-1÷x+1-1x+1
=xx+1x-1⋅x+1x
=1x-1，
当x=2sin45∘+2tan45∘=2×22+2×1=1+2=3时，
原式=13-1=12.
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：-12019+-12-2-2-12+4sin60°．
【答案】5
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式=-1+4-2-23+4×32
=-1+4-23+2+23
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算：sin30°⋅cs30°tan30°⋅tan45°-2sin45°．
【答案】-14
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，而后根据先乘除后加减，乘除法法则和加减法法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键．
【详解】原式=12×3233×1-2×22
=34-1
=-14．
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sinA=32，tanB=3，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠A,∠B的度数，利用三角形内角和定理，求出∠C的度数，即可得出结论．
【详解】解：∵sinA=32，tanB=3，
∴∠A=60°,∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB=22，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若3tanA-32+2csB-3=0，则△ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得3tanA=3,csB=32，从而得到∠A=60°,∠B=30°，即可求解．
【详解】解∶∵3tanA-32+2csB-3=0，
∴3tanA-3=0,2csB-3=0，
解得：3tanA=3,csB=32，
∴∠A=60°,∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA-12)2+|csB-32|=0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】根据非负数的性质得出sinA=12，csB=32，进而求得∠A=30°，∠B=30°，根据三角形内角和定理求得∠C，即可求解．
【详解】解：由题意得，sinA=12，csB=32，
则∠A=30°，∠B=30°，
则∠C=180°-∠A-∠B=120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与csA的差（ ）．
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当0°<∠A<45°时，45°<90°-∠A<90°，
∴sinA∴ sin⁡A∴ sin⁡A-cs⁡A<0；
当∠A=45°时，90°-∠A=45°，
∴sinA=sin90°-∠A，
sinA=csA，
∴ sin⁡A-cs⁡A=0；
当45°<∠A<60°，30°<90°-∠A<45°，
∴sinA>sin90°-∠A，
∴ sin⁡A>cs⁡A，
∴ sin⁡A-cs⁡A>0，
综上所述，sinA与csA的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
【变式8-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简sin28°-cs28°2等于（ ）
A．sin28°-cs28°B．0
C．cs28°-sin28°D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出sin28°-cs28°，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解．
【详解】解：sin28°-cs28°2 = sin28°-cs28°，
∵cs28°=sin52°，sin28°∴原式=cs28°-sin28°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
【变式8-2】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅csα，阻力臂L2=l⋅csβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及csα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时csα的值越来越大，
又∵动力臂L1=L⋅csα，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023·安徽·模拟预测）三角函数sin70°，cs70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cs70°>tan70°B．tan70°>cs70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cs70°D．cs70°>tan70°>sin70°
【答案】C
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cs70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cs70°，又cs70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cs70°<1，tan70°>1．
又∵cs70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°>sin20°=cs70°，
∴tan70°>sin70°>cs70°，
故选C ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值．
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即BCAB就是∠A的正弦值．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．70°
【答案】D
【分析】根据“锐角正弦值速查卡”读取相应锐角正弦的近似值的方法，找到以点O为圆心、0.95为半径的半圆与⊙M的交点，最接近的角度即为正解.
【详解】解：由图可知，以点O为圆心、0.95为半径的半圆与⊙M的交点在70°角的射线上，所以正弦值最接近0.94的是70°角.
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的新型定义问题，理解“锐角正弦值速查卡”的使用方法是解题的关键.
【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cs∠A>32，则∠A应满足 ．
【答案】0°<∠A<30°
【分析】首先明确cs30°=32，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案．
【详解】解：∵cs30°=32，余弦函数随角增大而减小，
∴0°<∠A<30°，
故答案为：0°<∠A<30°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间
【答案】D
【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.
【详解】解：∵tan60°=3∴∠A>60°，
∴60°<∠A<90°.
故选：D.
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°=33,tan45°=1,tan60°=3是解题的关键.
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知12A．30°<α<80°B．10°<α<80°C．60°<α<80°D．10°<α<60°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，12=cs60°，sin80°=cs10°，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案
【详解】解：∵ 12=cs60°，sin80°=cs10°，
∴由12∵在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
∴10°<α<60°，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．
【题型10 利用同角三角函数关系求解】
【例10】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF=4，sin∠EFC=35，则BF= ．

【答案】6
【分析】由折叠可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，进而得到AF=BC=BF+CF=BF+4，由同角的余角相等可得∠EFC=∠BAF，则sin∠EFC=sin∠BAF=35，在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAF=BFBF+4=35，以此即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，
根据折叠的性质可得，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴AF=BC=BF+CF=BF+4，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
∴sin∠EFC=sin∠BAF=35，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAF=35，即BFBF+4=35，
解得：BF=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出∠EFC=∠BAF，进而利用锐角三角函数解决问题．
【变式10-1】（2023·江苏·一模）如果α是锐角，且sin2α+cs248°=1，那么α= 度
【答案】48
【分析】根据锐角三角函数关系：sin2α+cs2α=1，即可求解．
【详解】∵α是锐角，sin2α+cs248°=1，
又∵sin2α+cs2α=1，
∴α=48°．
故答案是48．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握sin2α+cs2α=1，是解题的关键．
【变式10-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是 ．
【答案】6，5
【分析】如图：过D作DE⊥AE；由A(0,3)、B(1,0)可得OA=3,OB=1；再根据平移的性质可得四边形ABCD是平行四边形，再结合∠ABC=90°可得四边形ABCD是矩形，即∠DAB=90°；然后再说明∠ABO=∠DAE，再利用三角函数可求得ED=6、AE=2,进而求得OA=5即可解答．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AE于点E，
∵A(0,3)、B(1,0)，
∴OA=3,OB=1,
∵将线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠OAB+∠DAE=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∴sin∠ABO=sin∠EAD，cs∠ABO=cs∠EAD，
∴OAAB=EDAD，OBAB=AEAD，
∴3AB=ED2AB，1AB=AE2AB，
∴ED=6,AE=2，
∴OA=OA+AE=3+2=5，
∴点D的坐标是6，5．
故答案为6，5．
【点睛】本题主要考查了三角函数的应用、矩形的判定与性质、平移的性质等知识点，灵活利用三角函数列式求解是解答本题的关键．
【变式10-3】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与BC相交于点D，与⊙O过点B的切线相交于点E．

(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB=4，BD=2，求AD的长．
【答案】(1)△BDE是等腰三角形，腰为BE与BD，证明见解析；
(2)AD=655
【分析】（1）利用圆周角及切线的性质得到直角，再利用角平分线得到的等角进行计算和转化，得到△BDE中两个等角，根据等角对等边得到三角形为等腰三角形；
（2）利用已知边求出角平分的两个等角的正切值，再设边长为未知数，利用Rt△ACB列出勾股定理方程，求出CD，最后用勾股定理求出目标边．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CDA=∠E，
∵∠CDA=∠EDB，
∴∠EDB=∠E，
∴BD=BE，
△BDE是等腰三角形，腰为BE与BD；
（2）∵BD=2=BE，AB=4，
∴tan∠CAD=CDAC=tan∠DAB=BEAB=12，
设CD=a，则AC=2a，
∴Rt△ACB中：AB2=AC2+CB2，
得42=(2a)2+(2+a)2，
解得a1=65，a2=-2<0（舍去），
∴Rt△ACD中：AD=AC2+CD2=5a，
∴AD=655．
【点睛】本题考查圆中边长关系的证明和边长计算，通过条件中的边角关系计算角度证明等角等边及计算长度是常考题，计算复杂时可设未知数简化计算．
【题型11 互余两角三角函数关系】
【例11】（2023·湖南永州·校考三模）在Rt△ABC，∠C=90∘，sinB=35，则sinA的值是（ ）
A．35B．45C．53D．54
【答案】B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=35，
∴sinA=1-（35）2=45.
故选B.
【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系.
【变式11-1】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67，则csB= ．
【答案】67
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，sinA=67，
∴sinA=BCAB=67，
∴csB=BCAB=67．
故答案为：67．

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=csB，csA=sinB是解题关键．
【变式11-2】（2023·四川成都·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°， sinA=513，则tanB的值为 ．
【答案】125
【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA=513，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B=ACBC=125．
故答案为125.
考点：互余两角三角函数的关系．
【变式11-3】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245=222+222=1．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，csα之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
(3)tanα=sinαcsα
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出sinα=ac，sinβ=bc，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sinα=ac，csα=bc，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵sin30°=12，sin60°=32，
∴sin2α+sin2β=122+322=1，结论成立；
（2）解：成立．理由如下：
在Rt△ABC中，sinα=ac，sinβ=bc且a2+b2=c2，
∴sin2α+sin2β=ac2+bc2=a2+b2c2=c2c2=1，故结论成立；
（3）解：tanα=sinαcsα，理由如下：
在Rt△ABC中，sinα=ac，csα=bc，tanα=ab，
∴tanα=acbc=sinαcsα，
∴tanα=sinαcsα．
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】
【例12】（2023·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．3 +1B．2C．2D．6-2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
【详解】如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sinB=6×22=3，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30°=3×33=1，
∴BC=3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60°=3x，
由CF+BF=BC得，
3x+x=3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
【变式12-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A．2B．52C．5D．2
【答案】B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由sin∠B=AHAB=13，且AB=3可知，AH=1，
由tan∠C=AHCH=2，且AH=1可知，CH=12，
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=AH2+CH2=12+(12)2=52．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
【变式12-2】（2023·山西吕梁·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）92°或113°；（3）3或33-3
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③与原三角形有两角对应相等即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）根据三角形的“优美分割线”的定义求出∠B，再利用解直角三角形进行解答．
【详解】解：（1）证明：如图1中，
∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，
∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°，
∴∠BDC＝92°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝92°．
②当AD＝AC时，如图3，
∠ACD＝∠ADC＝180°-46°2＝67°，
∴∠BDC＝113°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝113°．
③当AC＝CD时，如图4，
∵∠ADC＝∠A＝46°，
∴∠BDC＝134°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝134°．
∴∠ACB+∠A=180°，与三角形内角和定理矛盾，舍去．
∴∠ACB的度数是92°或113°．
（3）①若AD＝CD时，如图5，
此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此时∠ACB＝60°，故∠B＝90°．
在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，则BC＝3.
在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，则BD＝BC•tan30°＝3．
②若AC＝AD时，如图6，作CE⊥AB,垂足为E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝EC•tan60°＝33．
∵∠B＝45°，
∴EC=BE＝3，
BA＝3+33，
BD＝BA-DA =3+33-6=33-3，
③当AC＝CD时，由（2）可知，不成立，舍去．
【点睛】本题考查考查了几何新定义问题，主要运用等腰三角形的性质和解直角三角形等知识进行推理与判断，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．
【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，连接AD，BE，tan∠BAD=35，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若∠AGB=2∠CFD，AG=5，CF=25，则线段AB的长为 ．

【答案】4213
【分析】过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，过点C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定一点P，使得AG=GP，连接AK，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得∠HAC=∠ACB=60°，∠ACH=∠BAC=60°，根据等边三角形的判定和性质可得AC=AH=CH，结合题意可得DC=AE，根据全等三角形的判定和性质可推得∠ADC=∠BEA，根据全等三角形的判定和性质可得CN=AM，根据等边对等角可得∠GAP=∠GPA，根据三角形的外角性质可推得∠GPA=∠CFD，根据全等三角形的判定和性质可得AP=CF=25，根据三角形内角和定理可得∠CKQ=30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得CQ=12CK，根据勾股定理可得KQ=32CK，设MP=a，则GM=5-a，根据勾股定理列方程求解得到a=2，求得AM=4，设CK=b，则CQ=12b，KQ=32b，根据锐角三角函数和勾股定理可求得BQ=52b，BK=7b，BC=2b，推得CK=12CH，根据等边三角形三线合一的性质可得AK⊥CH，根据勾股定理求得AK=3b，根据三角形的面积公式列方程求解得到b=2213，即可求得BC=AB=2CK=4213．
【详解】解：过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，过点C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定一点P，使得AG=GP，连接AK，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，AB=BC，
∵AH∥BC，CH∥AB，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∴∠HAC=∠ACB=60°，∠ACH=∠BAC=60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴AC=AH=CH，
∵BD=CE，
∴DC=AE，
∵AB=BC，∠ABC=∠BCA，BD=CE，
∴△ABD≌△BCESAS，
∴∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC，
∴∠ADC=∠BEA，
∵CN⊥AD，AM⊥BE，
∴∠CND=∠AME=90°，
∵∠CND=∠AME，∠ADC=∠BEA，DC=AE，
∴△CND≌△AMEAAS，
∴CN=AM，
∵AG=GP=5，
∴∠GAP=∠GPA，等边对等角
在Rt△AGP中，∠AGB=∠GAP+∠GPA=2∠GPA，
∵∠AGB=2∠CFD，
∴∠GPA=∠CFD，
∵∠GPA=∠CFD，∠CNF=∠AMP=90°，CN=AM，
∴△CFN≌△APMAAS，
∴AP=CF=25，
∵CH∥AB，
∴∠ABC=∠HCQ=60°，
又∵KQ⊥BC，
∴∠CKQ=180°-90°-60°=30°，
在Rt△CKQ中，CQ=12CK，KQ=CK2-CQ2=CK2-12CK2=32CK，
设MP=a，则GM=GP-PM=5-a，
在Rt△AMP中，AM2=AP2-MP2=252-a2，
在Rt△AMG中，AM2=AG2-GM2=52-5-a2，
∴AP2-MP2=AG2-GM2，
即252-a2=52-5-a2，
解得：a=2，
∴MP=2，
∴AM=252-22=4，
设CK=b，则CQ=12b，KQ=32b，
在Rt△BKQ中，tan∠CBE=KQBQ=35，
∴BQ=53KQ=52b，
∴BK=BQ2+KQ2=52b2+32b2=7b，
∴BC=BQ-CQ=52b-12b=2b，
即BC=AB=AC=CH=2b，
∴CK=12CH，
又∵△ACH是等边三角形，
∴AK⊥CH，即∠AKH=90°，
在Rt△ACK中，AK=AC2-CK2=2b2-b2=3b，
∵CH∥AB，∴∠AKH=∠KAB=90°，
在△ABK中，S△ABK=12×BK⋅AM=12×AB⋅AK，
即12×7b⋅4=12×2b⋅3b
解得：b=2213，
∴CK=2213，
即BC=AB=2CK=4213，
故答案为：4213．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等边三角形三线合一的性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据等边三角形的性质和锐角三角函数作出辅助线构建直角三角形．
【题型13 网格中解直角三角形】
【例13】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A．12B．22C．55D．255
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cs∠ABE，从而结论可得．
【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝12+12=2，
AE＝22+22=22，
AB=32+12=10．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cs∠ABE＝BEAB=210=55．
∴cs∠APD＝55．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
【变式13-1】（2023·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC= ．
【答案】35
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得sin∠BAC．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，
由图可得，AB=10，AC=10，BC=2，AD=3，
∵S△ABC=12⋅AD⋅BC=12⋅AC⋅BE，
∴12×3×2=12×10BE，
∴BE=3105，
∴sin∠BAC=BEAB=310510=35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行解题，本题易错点在于学生误认为sin∠BAC=2sin∠BAD．
【变式13-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；

(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；

(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG=47．

【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据网格特点先作线段AB的中点D，然后作AC的垂线，交AC于点E，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出AD=DE；
（2）连接BC，利用正方形网格确定BC中点，然后连接点A与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即可确定点F；
（3）根据网格的特点将线段AC绕点A逆时针旋转90°，然后利用网格使得两个相似三角形的比为4:3，连接点C与交点交AB于点G，则点G即为所求．
【详解】（1）解：解：如图所示，点D,E即为所求；

（2）如图所示：CF即为所求；

（3）如图所示：点G即为所求；

【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
【变式13-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
A．277B．77C．22D．32
【答案】A
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接DE，如图所示：

在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°×a=3a，
∴AD=AE2+DE2=2a2+3a2=7a，
∴sinα+β=AEAD=2a7a=277．
故选：A
【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
【题型14 在坐标系中解直角三角形】
【例14】（2016·江苏无锡·统考一模）如图坐标系中，O(0，0) ，A(6，63)，B(12，0)．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝245，则CE ∶ DE的值是 ．
【答案】78
【分析】过A作AF⊥OB于F，先证得△AOB是等边三角形，可得∠AOB=∠ABO=60°，再由折叠的性质可得△CEO∽△DBE，设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，结合相似三角形的性质，即可求解。
【详解】解：过A作AF⊥OB于F，
∵A（6，63），B（12，0），
∴AF=63，OF=6，OB=12，
∴BF=6，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
∵tan∠AOB=AFOF=3，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
∴OEBD=CEED=CDEB，
设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，
24512-b=ab，
∴24b=60a﹣5ab ①，
12-a365=ab，
∴36a=60b﹣5ab ②，
②﹣①得：36a﹣24b=60b﹣60a，
∴ab=78，
即CE：DE=78．
故答案为：78
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握解直角三角形，相似三角形的判定和性质，图形的折叠是解题的关键。
【变式14-1】（2023·安徽·模拟预测）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．

【答案】 23,2 43-32,33+42
【分析】根据旋转的性质求解．
【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，
∴图1中B坐标为（4，0），
在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cs30°=23，BE=2，
在图2中B点的坐标为（23，2）；

易知图1中点C的坐标为（4，3），
在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，
∴DM=3•tan30°=3，OM=3÷cs30°=23，
那么CM=4-3，易知∠NCM=30°，
∴MN=CM•sin30°=4-32，CN=CM•cs30°=43-32，
则ON=OM+MN=33+42，
∴图2中C点的坐标为（43-32，33+42）．
【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．
【变式14-2】（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为0,3，点B在x轴上．
(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法；
(2)若函数y=kx的图象经过点M，且sin∠OAB=45，求k的值．
【答案】(1)见详解
(2)k=3
【分析】整体分析：
（1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等；
（2）根据OA=3，sin∠OAB=45求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标.
【详解】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM，
点M为AB中点，
∴AM=BM，
∵△AOB为直角三角形，
∴OM=AM=BM，
∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，
（2）解：∵sin∠OAB=45，
∴设OB=4x，AB=5x，
由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2，
解得：x=1，
∴OB=4，由B（4，0），
由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2，32）．
∴k=3
【点睛】本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键．
【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx-152交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB=34．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
【答案】（1）y=34x-152；（2）S=-154t+752；（3）（6，12）．
【分析】（1）先根据解析式求出点B坐标，再用三角函数求出点A坐标，代入解析式即可；
（2）用t表示点P的纵坐标，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；
（3）根据S=15求出点P坐标，得出∠AOP+∠BPO=2∠ADO=90°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=-152，点B的坐标为（0，-152），OB=152，
∵tan∠OAB=34，
∴OBOA=34，OA=10，A点坐标为（10，0），代入y=kx-152得，0=10k-152，解得，k=34，
直线AB的解析式为y=34x-152；
（2）把点P的横坐标t代入y=34x-152得，y=34t-152，
∵点P在线段AB上，
∴S=12×10×(-34t+152)，即S=-154t+752；
（3）当S=15时，15=-154t+752，解得，t=6，代入y=34t-152得，y=-3，
点P的坐标为（6，-3），
∵点B的坐标为（0，-152），
∴BP= 62+(-3+152)2=152，
∴BP=OB，
∴∠BOP=∠BPO，
∠AOP+∠BPO=∠BOP+∠AOP=90°，
∵∠AOP+∠BPO=2∠ADO，
∴∠ADO=45°，
作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），
OE=OF2+EF2=5b，AF=10-b，
∵AE2=EF2+AF2，AE2=OA2-OE2
∴102-(5b)2=(2b)2+(10-b)2，解得，b1=0（舍去），b2=2，
则点E坐标为（2，4），AE=DE= 42+82=45，
OD= 25+45=65，
∵点D坐标为（a，2a），
∴a2+4a2=180，解得，a1=6，a2=-6（舍去），
D点坐标为（6，12）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，解题关键是求出函数解析式，利用函数图象上点的坐标，根据勾股定理列出方程．
【题型15 解直角三角形的相关计算】
【例15】（2023·江西·校联考二模）在矩形ABCD中， AB=23，AD=6，点E是AD上，且AE=2，点F是矩形ABCD边上一个动点，连接EF，若EF与矩形ABCD的边构成30°角时，则此时EF= ．
【答案】433或4或833
【分析】分点F在AB，BC，CD，AD上分别画图计算，点F在AB上时，存在两种情况：∠AEF=30°或∠AFE=30°；当F在BC上时没有成立的点F，当F在CD上时有∠DEF=30°，分别解直角三角形可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
分两种情况：
①如图1，当∠AEF=30°时，

在Rt△AEF中，EF=AEcs∠AEF=2cs30°=433；
如图2，当∠AFE=30°时，
在Rt△AEF中，EF=AEsin∠AEF=2sin30°=4；

②如图3，当∠DEF=30°时，ED=6-2=4，

在Rt△DEF中，EF=DEcs∠DEF=4cs30°=833，
综上所述，，EF的长是433或4或833．
故答案为：433或4或833．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，分情况讨论正确画图是解本题的关键．
【变式15-1】（2023·江苏南通·三模）如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）

A．1sin2α+1B．sin2α+1C．1cs2α+1D．cs2α+1
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解Rt△ABO得到OB=ABsinα=1sinα，再在Rt△OBC中，由勾股定理得OC2=BC2+OB2=1sinα2+12=1sin2α+1．
【详解】解：在Rt△ABO中，OB=ABsinα=1sinα，
在Rt△OBC中，
由勾股定理得OC2=BC2+OB2=1sinα2+12=1sin2α+1，
故选：A．
【变式15-2】（2023·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O，OE∥AD交CD于点E，且∠BOE=135°．
(1)求证：AB=AD．
(2)如图2，延长DB至点F，连接FC，且FC=FO．
①求证：FO2=FB⋅FD；
②若BD=3FB，求sin∠BAC的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②55
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识：
（1）由平角定义求出∠DOE=45°,由平行线的性质得∠ADB=∠DOE=45°，由三角形内角和定理求出∠ABD=∠ADB=45°，最后由等角对等边可得结论；
（2）①△FBC∽△FCD得FBFC=FCFD，即FC2=FB⋅FD，由FC=FO替换可得结论；②②由BD=3FB求得FD=4FB，由FO2=FB⋅FD得FO=2FB,由△FBC∽△FCD得
BCCD=FBFC=12．在Rt△BCD中可求sin∠BDC=55，再根据圆周角定理可得结论
【详解】（1）证明：∵∠BOE=135°,
∴∠DOE=180°-∠BOE=45°．
∵OE∥AD,
∴∠ADB=∠DOE=45°．
∵∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD．
（2）解：①∵在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,
∴点A,B,C,D在以BD为直径的圆上．
∴∠ABD=∠ACD=∠ADB=∠ACB=45°．
又FC=FO，
∴∠FCO=∠FOC，
即∠FCB+45°=∠FDC+45°，
∴∠FCB=∠FDC．
又∵∠F=∠F,
∴△FBC∽△FCD．
∴FBFC=FCFD，即FC2=FB⋅FD．
又∵FC=FO,
∴FO2=FB⋅FD．
②∵BD=3FB,
∴FD=4FB．
由①可知FO2=FB⋅FD,
∴FO2=4FB2，
∴FO=2FB,
∴FBFC=12,
∴FBFC=12．
由①可知△FBC∽△FCD,
∴BCCD=FBFC=12．
设BC=x，则CD=2x,
∵∠BCD=90°,
∴BD=x2+2x2=5x，
∴sin∠BDC=BCBD=x5x=55．
由A,B,C,D四点共圆知∠BAC=∠BDC，
∴sin∠BAC=sin∠BDC=55．
【变式15-3】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若EF=6,cs∠ABC=35，
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①BF=5；②⊙O的半径为103
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得CF=CE=12EF=3,∠F=∠ABC，在Rt△BCF中，利用余弦的意义解答即可；②在Rt△ABC中，利用余弦的意义解答即可求得AB，则半径可求．
【详解】（1）证明：∵BC=DC，
∴BC=DC，
∴∠A=∠CBD，
∵BE=BF，
∴∠BEC=∠F．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠F+∠A=90°．
∴∠ABF=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是圆的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）得：BE=BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥EF，
∴CF=CE=12EF=3，
∵∠ABC+∠CBF=90°,∠CBF+∠F=90°，
∴∠F=∠ABC，
在Rt△BCF中，
∵cs∠F=CFBF，
∴BF=CF÷35=5；
②在Rt△BCF中，BC=BF2-CF2=4，
在Rt△ABC中，
∵cs∠ABC=BCAB=35，
∴AB=203．
∴⊙O的半径为103．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述性质是解题的关键．
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】
【例16】（2023·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A．34B．32C．3D．23
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=32DO，
同理可得：BH=32BO，
S四边形ABCD=12×AC×DG+12×AC×BH
=12×AC×32×（DO+BO）
=3，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
【变式16-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，∠DBC=30°，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若BD=BC，DE=8．则AD的长为 ．
【答案】12-43/-43+12
【分析】先证明AD∥BE，由此得到∠DAC=∠ACB，可见△ADC的∠DAC、边AC、∠ACD都是确定的，因此可通过解△ADC求出AD长．
【详解】解：如图，分别过点A、D作AM⊥BE，DN⊥BE，则AM∥DN，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，∠DBC=30°可得：∠ABC=∠ACB=45°，∠E=60°，
∵BD=BC，∠DBC=30°，
∴∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△DBE中，BD=DE⋅ct∠DBC=8⋅ct30°=83，
∴BC=83，
在Rt△ABC中，AB=BC⋅cs∠ABC=83⋅cs45°=46，
∴AC=46，
分别解Rt△ABM和Rt△DEN，可得AM=43，DN=43，
∴AM=DN，
又AM∥DN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
解△ADC，
过点D作DH⊥AC，
由于∠DAC=45°，∠ACD=30°，故可设DH=k，则AH=k，AD=2k，HC=3k，
由于AC=46，故得到3k+k=46，解得k=62-26，
∴AD=2k=12-43．
【点睛】本题重点考查了解直角三角形的相关知识．在直角三角形中，知道了除直角外的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其他三个元素．如果没有直角三角形，有时需要构造直角三角形．本题中的△ADC的∠DAC、边AC、∠ACD经过分析可知都是确定的，故可“化斜为直”，构造直角三角形是解题的关键．
【变式16-2】（2023·浙江金华·统考一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GFA．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】B
【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断．
【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，
过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= 12acsinB；
当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= 12（a+b）（c-b）sinB-12（c-a-b）sinB= 12acsinB，
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【变式16-3】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=3,BC=4，点E，F分别是AD,CD的三等分点，连接BE,BF,EF，若四边形ABCD的面积9，则△BEF的面积是 ．
【答案】103
【分析】先求S△ABC=12BC⋅AM，再求S△ACD=S四边形ABCD-S△ABC；通过△DEF∽△DAC求相似比是23，即可得到S△DEF=232×S△DAC；通过面积关系得到S△ABE=13S△ABD，S△BCF=13S△BCD，那么S△ABE+S△BCF=13S△ABD+13S△BCD=13S四边形ABCD，即可得到S△BEF=S四边形ABCD-S△DEF-S△ABE+S△BCF即可得到答案．
【详解】解：连接AC，作AM⊥BC,交BC的延长线于点M,连接BD．
∵∠ABC=120°
∴∠ABM=180°-120°=60°
∵AB=3
∴AM=AB⋅sin60°=32
∴S△ABC=12BC⋅AM=12×4×32=3
∴S△ACD=S四边形ABCD-S△ABC=9-3=6
∵DE=23AD，DF=23CD，∠D=∠D
∴△DEF∽△DAC，相似比是23
∴S△DEF=232×S△DAC=49×6=83（相似三角形面积比等于相似比的平方）
∵△ABE与△ABD中底边AE=13AD，高相等
∴S△ABE=13S△ABD
∵△BCF与△BCD中底边CF=13CD，高相等
∴S△BCF=13S△BCD
∴S△ABE+S△BCF=13S△ABD+13S△BCD=13S四边形ABCD=13×9=3
∴S△BEF=S四边形ABCD-S△DEF-S△ABE+S△BCF=9-83-3=103
故答案是103 ．
【点睛】此题主要考查了三角形面积的运算、利用特殊三角函数值解三角形、相似的判定和性质，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】
【例17】（2023·山西朔州·校联考一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度AB为67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD为10.3米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）：
①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台E，测得“木塔”顶部A的仰角为30°，测得“雕像”顶部C的仰角为45°；
②测得测角仪的高度EF为1.3米；
③测得点B,F,D在同一条直线上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,F,D．
求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD．（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.7）
【答案】121.2米
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，过点E作MN∥BD，交AB于M，交CD于M，构造矩形MBFE，NDFE，MBDN，再利用三角函数解Rt△AME和Rt△CNE即可．
【详解】解：如图，过点E作MN∥BD，交AB于M，交CD于M，
∵ AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，MN∥BD，
∴ MN⊥AB，MN⊥CD，
∴四边形MBFE，NDFE，MBDN均为矩形，
∴ MB=DN=EF=1.3，BD=MN，
∴ AM=AB-MB=67.3-1.3=66，CN=CD-DN=10.3-1.3=9．
在Rt△AME中，∠AEM=30°，
∴ ME=AMtan30°=6633=66×3≈112.2，
在Rt△CNE中，∠CEN=45°，
∴ ME=CNtan45°=91=9，
∴ BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2，
即“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD约为121.2米．
【变式17-1】（2023·陕西西安·校考一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度CD．（参考数据：3≈1.73，结果精确到0.1m）
【答案】43.4m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设CD=xm，先解Rt△ADC得到AC=3xm，再解Rt△BDC得到BC=33xm，进而建立方程3x-33x=50，解方程即可得到答案．
【详解】解：设CD=xm，
在Rt△ADC中，∠ACD=90°，∠A=30°，
∴AC=CDtanA=xtan30°=3xm，
在Rt△BDC中，∠BCD=90°，∠CBD=60°，
∴BC=CDtanCBD=xtan60°=33xm，
∵AB=50m，
∴3x-33x=50，
解得x≈43.4，
∴CD≈43.4m，
∴小雁塔的高度CD约为43.4m．
【变式17-2】（2023·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
【答案】(1)75；60
(2)10033+10米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求∠APD，过点A作AE⊥DC于点E，再利用三角形内角和求∠ADC；
（2）在Rt△AED中，∠DAE=30°求出DE的长度再根据CD=DE+EC计算即可；
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE即可．
【详解】（1）过点A作AE⊥DC于点E，
由题意得：∠MPA=60°,∠NPD=45°,∠DAE=30°,
∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75°
∠ADC=90°-∠DAE=60°
（2）由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10．
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
∴DE=AE⋅tan30°=100×33=10033米，
∴CD=DE+EC=10033+10米
∴楼CD的高度为10033+10米．
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10米
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°．
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE．
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°．
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°．
∴∠ADP=∠APD．
∴AP=AD．
∴△APF≌△DAE（AAS）．
∴PF=AE=100．
∴PG=PF+FG=100+10=110米
∴无人机距离地面BC的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
【变式17-3】（2023·四川眉山·统考一模）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
【答案】(1)两渔船M，N之间的距离约为20米
(2)需要填筑的土石方为43200立方米
【分析】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性质解得PH的长，在Rt△PEM中，由正切定义解得ME的长，最后利用线段的和差解答；
（2）过点D作DG⊥AB于G，利用坡度的定义解得AG，GH的长，继而解得AH的长，最后根据三角形面积公式解答．
【详解】（1）解：由题意得∠E＝90°，∠PME=α=31°，∠PNE=β=45°，PE＝30米．
在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，
在Rt△PEM中，tan31°=PEME
∴ME≈300.60=50（米）．
∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）
答：两渔船M，N之间的距离约为20米
（2）如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米，
∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，
∴DG：AG＝1：0.25，
∴AG＝24×0.25＝6（米），
∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，
∴DG∶GH＝1∶1.75，
∴GH＝24×1.75＝42（米）
∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）
∴SΔADH=12AH⋅DG=12×36×24=432（平方米）
∴需要填筑的土石方为432×100＝43200（立方米）
答：需要填筑的土石方为43200立方米．
【点睛】本题考查仰角的定义及坡度、正切定义等知识，是重要考点，要求学生能借助构造直角三角形并解直角三角形，掌握相关知识是解题关键．
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】
【例18】（2023·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 ．（计算结果保留根号）
【答案】（8002-4006）m
【分析】如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长，作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，求得P1N，从而求得P1P2．
【详解】解：作P1M⊥AC于M，
设P1M＝xm，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝xm，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MC=3P1M=3xm，
∵AC＝1000 m，
∴x+3=1000，解得x＝500（3-1）（m），
∴P1M＝500（3-1）m，
∴P1A=P1M22=500（6-2）m，
作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，
∴∠P2＝60°，
在Rt△ABN中，
∵∠P1AB＝45°，AB＝600 m
∴BN＝AN=22AB＝3002（m），
∴P1N＝500（6-2）﹣3002=（5006-8002） （m），
在Rt△P2BN中，
∵∠P2＝60°，
∴P2N=33BN=33×3002=1006 （m），
∴P1P2＝1006-（5006-8002）＝（8002-4006） （m）．
故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是（8002-4006）m，
故答案为：（8002-4006）m．
【点睛】本题考查解直角三角形解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形解决问题．
【变式18-1】（2023·河南商丘·统考一模）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，3≈1.73）．
【答案】273.7米
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据三角函数求出BE、AE的长，四边形BEFC是矩形，所以BE=CF，再在直角△DFC，利用三角函数求出DF的长，再根据BC=EF=AD-AE+DF即可求出BC的长．
【详解】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
则四边形BEFC是矩形，
∴BE=CF，BC=EF，
∵∠BAD=60°，AB=100，
∴AE=50，BE=503，
∴CF=503，
∵∠DCF=55°，
∴DF=CF•tan55°≈123.695，
∴BC=EF=AD-AE+DF≈200-50+123.695=273.695≈273.7（米），
答：桥BC的长度约为273.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
【变式18-2】（2023·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cs42°≈2940，tan42°≈910）
【答案】（1）会受影响，见解析；（2）7级；（3）311．
【分析】（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，利用解直角三角形确定AD的值，与影响半径180千米比较，作出判断；
（2）这次台风最大风力为：12﹣（AD÷30）（级）；
（3）利用垂径定理，计算出影响的距离，除以风速即为影响时间．
【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵sin43°≈34，，AC＝200千米，
∴CD＝AC•sin43°≈200×34＝150（千米），
∵城市受到的风力达到或超过六级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为30×（12﹣6）＝180（千米），
∵150（千米）＜180（千米），
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（150÷30）＝7（级）．
答：受到台风影响的最大风力为7级；
（3）如图以C为圆心，180为半径作⊙C交AB于E、F．
则CE＝CF＝180．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2×1802-1502＝6011（千米）．
∴台风影响该市的持续时间：t＝6011÷20＝311（时）；
答：台风影响该城市的持续时间为311小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形，垂线段最短原理，垂径定理，熟练将生活问题转化为解直角三角形模型和圆的模型计算是解题的关键．
【变式18-3】（2023·陕西西安·校考一模）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西60°的方向上，且测得B、C两处的距离为202海里．
(1)求A、C两处的距离；
(2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿DC方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西15°方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）
【答案】(1)A、C两处的距离为20海里；
(2)救援船到达C处所用的时间为74小时．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过C作CE⊥AB于点E，由含30°角的直角三角形的性质得CE=102海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，由锐角三角函数定义得AF=15海里，DF=153海里，则CF=AC-AF=5海里，再由勾股定理求出CD的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，过C作CE⊥AB于点E，
由题意得：BC=202海里，∠CBE=90°-60°=30°，∠CAE=90°-45°=45°，
∴CE=12BC=12×202=102（海里），△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=2CE=2×102=20（海里），
答：A、C两处的距离为20海里；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥AC于点F，
在Rt△ADF中，AD=30海里，∠DAF=45°+15°=60°，
∴AF=AD⋅cs∠DAF=30×12=15（海里），
DF=AD⋅sin∠DAF=30×32=153（海里），
∴CF=AC-AF=20-15=5（海里），
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD=DF2+CF2=1532+52=107（海里），
∴107÷40=74（小时），
答：救援船到达C处所用的时间为74小时．
【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
【例19】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1:3且长为300米，无人机飞行距离CD为60米，求无人机离地面的高度BD的长．（参考数据：3≈1.7）

【答案】345米
【分析】作CE⊥AF于E，根据坡度，得到tan∠ABM=33，推出∠BAF=∠ABM=30°，进而求出BF,AF的长，利用AE=AF-EF，求出AE的长，再在直角三角形AEC中，求出CE的长，再根据BD=BF+DF，即可得解．
【详解】解：如图，作CE⊥AF于E，由题意，可知：四边形CEFD为矩形，

∴EF=CD=60米，DF=CE，
∵AB的坡度为1:3，即：tan∠ABM=33
∴∠BAF=∠ABM=30°，
又∵AB=300米，则BF=12AB=150（米），AF=3BF=1503（米），
∴AE=AF-EF=1503-60（米）
在Rt△AEC中，∠CAE=45°，
则CE=AE=1503-60（米），
∴DF=1503-60（米），
∴BD=DF+BF=1503-60+150≈345（米）
答：无人机离地面的高度约为345米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造直角三角形．
【变式19-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1:0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB为 米．（结果精确到0.1）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）

【答案】222.9
【分析】过D作DH⊥AB于点H，过点C作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=x-130米，构建方程求解即可．
【详解】解：过D作DH⊥AB于点H，过点C作CR⊥DH于点R，

设AB=x米，则AH=x-130米，
∵AB:BC=1:0.75，
∴BC=RH=0.75x米，BH=CR=130米，
在Rt△DCR中，DR=CRtan63.5°=1302=65米，
∵tan∠ADH=AHDH
∴x-13065+0.75x=0.4
解得x≈222.9，
∴AB=222.9米，
故答案为：222.9．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式19-2】（2023·山西大同·校联考一模）国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平相距BC=32米，大跳台坡角∠AUM=27°，标准台坡角∠BUM=26°．求大跳台与标准台出发点落差AC是多少？（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.89，tan26°≈0.49；sin27°≈0.45，cs27°≈0.88，tan27°≈0.51，结果保留整数．）

【答案】大跳台与标准台出发点落差AC约为21米．
【分析】先求解AM=1771-1635=136，过B作BH⊥MU于H，而AM⊥MU，BC⊥AM，可得四边形BHMC是矩形，可得BC=MH=32，BH=CM，再分别求解UM，BH，从而可得答案．
【详解】解：∵大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，
∴AM=1771-1635=136，

过B作BH⊥MU于H，而AM⊥MU，BC⊥AM，
∴四边形BHMC是矩形，
∴BC=MH=32，BH=CM，
∵∠AUM=27°，∠AMU=90°，AM=136，
∴UM=AMtan27°≈1360.51≈266.7，
∴UH=MU-MH=266.7-32=234.7，
∵∠BUM=26°，
∴BH=HU⋅tan26°≈234.7×0.49≈115，
∴CM=BH=115，
∴AC=AM-CM=136-115=21；
∴大跳台与标准台出发点落差AC约为21米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
【变式19-3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】古树DE的高度为40-103m
【分析】延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，根据斜面AB的坡度为i=2:3，设BF=2x，则AF=3x，根据勾股定理得出2x2+3x2=2072，求出BF=40m，证明四边形BFDG为矩形，得出DG=BF=40m，根据三角函数求出CG=4033m，EG=103m，最后求出结果即可．
【详解】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：

则∠AFB=∠BFD=90°，
∵斜面AB的坡度为i=2:3，
∴设BF=2x，则AF=3x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF2+AF2=AB2，
即2x2+3x2=2072，
解得：x=20，负值舍去，
即BF=2×20=40m，
∵BC为水平方向，DE为竖直方向，
∴∠BGD=90°，
∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴DG=BF=40m，
∵∠DCG=60°，
∴在Rt△DCG中，CG=BGtan∠DCG=40tan60°=403=4033m，
∵∠ECG=37°，
∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG=4033×tan37°=4033×34=103m，
∴DE=DG-EG=40-103m．
答：古树DE的高度为40-103m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义．
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】
【例20】（2023·浙江温州·校联考二模）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm，且CD∥AB，EF∥BC，DE=3AE，则sin∠FED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FD∥l，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．

【答案】 492 20033
【分析】过点D作DG∥BC，交AB于点G，过点A作AH⊥DG，利用勾股定理求出EH即可得出sin∠FED= sin∠ADH=292，再由当FD∥l，过D点作DQ⊥l，垂足为Q，过F点作FM⊥AD，垂足为M，构造Rt△FDM，Rt△ADQ，解三角形即可。
【详解】解：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，过点A作AH⊥DG，

∵CD∥AB，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴BG=CD=40cm，DG=BC=120cm，
∴AG=AB-BG=80cm
∴AH2=AD2-DH2=AG2-HG2，
∴1202-(120-HG)2=802-HG2，
解得：HG=803(cm)（负值已舍去）
∴AH=16032(cm)，DH=2803(cm)，
∴sin∠ADH=AHAD=16032120=492，cs∠ADH=2803120=79
∵EF∥BC，DG∥BC，
∴EF∥DG，
∴∠ADH=∠FED
∴sin∠FED=sin∠ADH=492，
cs∠FED=cs∠ADH=79
当FD∥l，过D点作DQ⊥l，垂足为Q，过F点作FM⊥AD，垂足为M，

∴FM=AFsin∠FED=150×492=20032(cm)，
EM=AFcs∠FED=150×79=3503(cm)，
∵DE=3AE，AD=120cm，
∴DE=90(cm)，
∴DM=3503-90=803(cm)，
∴在Rt△FDM中，FD=FM2+DM2=(20032)2+(803)2=406，
∵FD∥l，
∴∠QAD=∠MDF，
∴sin∠QAD=sin∠MDF，
∴FMFD=DQAD，
∴20032406=DQ120，
∴DQ=20033(cm)，即则此时出水口F到桌面的距离为20033cm．
故答案为①492，②20033．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式20-1】（2023·浙江温州·统考二模）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H为固定点，支杠CF，HG可分别绕着点F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB=BD=25 cm，CF=BF=10 cm，HG=16 cm，当支点C与点A的距离为9 cm时，则点D到AB的距离为 cm，此时，再移动支点G，当点F与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH= cm．

【答案】 15 35+219/219+35
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，则DM∥FN，勾股定理求得FN=6，根据题意得出CN=8，根据sin∠DBM=sin∠FBN即可求解；
（2）由（1）可得tan∠ABD=FNNB=68=34，过点D作DP∥AB，过点E作EP⊥DP于点P，过点F作FS⊥DP于S，过点F作FQ⊥DH于点H，交DP于点S，则∠EDP=∠TFS，∠SDF=∠DBA依题意，tan∠EDP=12，tan∠SDF=SFDS=34，得出DS=12,FS=9，在Rt△TSF中，求得TF,在Rt△DQT中, 设TQ=a,DQ=2a，则DT=5a，进而得出DQ=35，QT=352，在Rt△QFH中勾股定理求得QH，最后根据DH=DQ+QH，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作DM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，则DM∥FN，

∵AB=BD=25，CF=BF=10，CA=9，
∴CN=NB=12AB-AC=8,
在Rt△FNB中，FN=FB2-BN2=6
∵∠DBM=∠FBN
∴sin∠DBM=sin∠FBN，
∴DMDB=FNFB
∴DM=DB×FNFB=25×610=15，
故答案为：15．
（2）由（1）可得tan∠ABD=FNNB=68=34
如图所示，

过点D作DP∥AB，过点E作EP⊥DP于点P，过点F作FS⊥DP于S，过点F作FQ⊥DH于点H，交DP于点S，
∵∠EDS+∠QTD=∠STF+∠TFS，∠QTD=∠STF
∴∠EDP=∠TFS，
依题意，tan∠EDP=12
∵DP∥AB
∴∠SDF=∠DBA
∴tan∠SDF=SFDS=34，
设SF=3k，则DS =4k，
在Rt△DSF中，DF=5k
∵DF=DB-FB=25-10=15，
∴k=3，
∴DS=12,FS=9，
∵tan∠EDP=12，∠EDP=∠TFS
∴STSF=12
∴TS=12FS=92
∴DT=DS-TS=12-92=152
在Rt△TSF中，TF=TS2+SF2=5TS=952
在Rt△DQT中，tan∠EDP=tan∠QDT=12=DTQD
设TQ=a,DQ=2a
∴DT=5a
∴a=1525=352
∴DQ=35，QT=352
在Rt△QFH中，QF=QT+TF=352+952=65，FH=HG=16，
∴ QH=HF2-QF2=162-652=76=219
∴DH=DQ+QH=35+219，
故答案为：35+219．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
【变式20-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A'OB=108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31,cs18°≈0.95,tan18°≈0.32）
【答案】此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．利用平角定义先求出∠AOC=30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A'O的长，再利用平角定义求出∠A'OD的度数，最后在Rt△A'DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵∠AOB=150°，
∴∠AOC=180°-∠AOB=30°，
在Rt△ACO中，AC=11cm，
∴AO=2AC=22cm，
由题意得：AO=A'O=22cm，
∵∠A'OB=108°，
∴∠A'OD=180°-∠A'OB=72°，
∴∠OA'D=90°-∠A'OD=18°，
在Rt△A'DO中，A'D=A'O⋅cs∠OA'D=A'O⋅cs18°≈22×0.95=21cm，
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm．
【变式20-3】（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档AC与CD的长分别为42.0cm，42.0cm，且它们互相垂直，∠CAB=76°，AD∥BC，求车链横档AB的长，（结果保留整数．参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
【答案】35cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，过点B作BE⊥AC于E，先证明∠CAD=∠CDA=45°，再由平行线的性质得到∠ACB=∠CAD=45°；设AE=xcm，则CE=42-xcm，解Rt△ABE得到BE≈4xcm，解Rt△CBE得到BE=42-xcm，由此建立方程得到4x=42-x，解方程得到AE=425cm，再解Rt△ABE求出AB的长即可．
【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=DC，AC⊥DC，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD=45°，
设AE=xcm，则CE=42-xcm，
在Rt△ABE中，BE=AE⋅tan∠BAE=AE⋅tan76°≈4xcm，
在Rt△CBE中，BE=AE⋅tan∠BCE=CE⋅tan45°=42-xcm，
∴4x=42-x，
解得x=425，
∴AE=425cm，
在Rt△ABE中，AB=AEcs∠BAE=AEcs∠76°≈4250.24=35cm，
∴车链横档AB的长为35cm．
三角函数
无
无
已知条件
解法类型
一条边和
一个锐角
斜边c和锐角
，，
直角边a和锐角
，，
两条边
两条直角边a和b
，，
斜边c和直角边a
，，