中考数学一轮复习考点题型分类训练专题07 分式方程及其应用【八大题型】（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习考点题型分类训练专题07 分式方程及其应用【八大题型】（2份，原卷版+解析版），文件包含第二十二章能源与可持续发展初中物理九年级全一册同步教学课件人教版2024pptx、第二十二章能源与可持续发展同步练习含答案解析docx、第二十二章能源与可持续发展同步练习docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共52页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc24351" 【题型1 由分式方程的解求参数】 PAGEREF _Tc24351 \h 2
\l "_Tc14565" 【题型2 解分式方程】 PAGEREF _Tc14565 \h 4
\l "_Tc26351" 【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】 PAGEREF _Tc26351 \h 4
\l "_Tc16233" 【题型4 由分式方程的取值范围求参数】 PAGEREF _Tc16233 \h 7
\l "_Tc4132" 【题型5 由实际问题抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc4132 \h 9
\l "_Tc18857" 【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】 PAGEREF _Tc18857 \h 11
\l "_Tc11113" 【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc11113 \h 17
\l "_Tc26348" 【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc26348 \h 21
【知识点 分式方程及其应用】
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【题型1 由分式方程的解求参数】
【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x−1−7x2−x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
【答案】k=0,x=73 或k=94，x=23；k=−14或x=4或k=2，x=14或k=74，x=87
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为Δ=0 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若Δ>0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【详解】解：两边同乘x2−x,得2kx2+3−4kx+4k−7=0，
若k=0，3x−7=0，x=73，
若k≠0，由题意，知Δ=3−4k2−8k4k−7=0，
解得k1=94，k2=−14，
当k1=94时，x1=x2=23，当k2=−14时，x1=x2=4，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当x1=1时，k=2，x2=14，
当x1=0时，k=74，x2=87．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．
【变式1-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3的解，那么实数m的值为（ ）
A．−2B．2C．−4D．4
【答案】B
【分析】将x=1代入方程，即可求解．
【详解】解：将x=1代入方程，得m2−1−11−2=3
解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）下列分式方程中，解为x=−1的是（ ）
A．4x−1=1xB．x+1x2−1=0C．2x−1+1x+2=0D．2x+1−1x+2=0
【答案】C
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【详解】当x=−1时，
A． 4x−1=1x中，左边=−2，右边=−1，A不符合题意；
B．x+1x2−1=0中，x2−1=0，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；
C． 2x−1+1x+2=0中，左边=−1+1=0=右边，C符合题意；
D． 2x+1−1x+2=0中，分母x+1=0，D不符合题意．
故答案是：C
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．
【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，且关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．16D．14
【答案】B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且y−2≠0，即可求得满足条件的所有整数a的值．
【详解】3x+54≤x+32①x+12>x+a2②
解不等式①，得
x≤1．
解不等式②，得
x>a−1．
因为关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，可得
a−1≥1．
解得
a≥2．
解关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2，得
y=6a−1．
∵6a−1为整数，a≥2，6a−1−2≠0,
∴a=2或a=3或a=7．
∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．
【题型2 解分式方程】
【例2】（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
【答案】 52 −2
【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分别代入3x+1=b和2x+1x=1，据此求解即可．
【详解】解：当x=n时，3x+1=b，即3n+1=b，
当x=2时，2x+1x=a，即a=2×2+12=52，
当x=n时，2x+1x=1，即2n+1n=1，
解得n=−1，
经检验，n=−1是分式方程的解，
∴b=3×−1+1=−2，
故答案为：52；−2
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
【变式2-1】（2023·四川·中考真题）关于x的分式方程2x−1−1x+1=11−x的解是 ．
【答案】x=−2
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】解：2x−1−1x+1=11−x
两边乘x+1x−1得到，2x+2−x−1=−x+1，
解得x=−2，
检验：把x=−2代入x+1x−1得：−2+1×−2−1=3≠0，
∴x=−2是原方程的解．
故答案为：x=−2．
【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
【变式2-2】（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程：xx+1−1=3x−1．
【答案】−12
【分析】方程两边同时乘以x+1x−1，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
【详解】xx+1−1=3x−1
x+1x−1xx+1−1×x+1x−1=3x−1x+1x−1
x−1x−x+1x−1=3x+1
x2−x−x2+1=3x+3
−4x=2
x=−12，
经检验，x=−12是原方程的根，
故原方程的解为：x=−12．
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验．
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x−3)=x−2，
去括号，得2x−3=x−2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】
【例3】（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程xx−1−m1−x=2有增根，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母x−1=0，代入整式方程计算m的值．
【详解】因为xx−1−m1−x=2，
去分母得：x+m=2x−1，
解得：m=x−2
因为分式方程xx−1−m1−x=2有增根，
所以x−1=0，即：x=1是方程增根，
所以m=x−2=−1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．
【变式3-1】（2023·河北石家庄·校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x−2+3=12−x.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x−2)得
5+3(x−2)=−1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x−2)得
m+3(x−2)=−1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2−2)=−1
m=−1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式3-2】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有解，则a的取值范围是（ ）
A．a≠32B．a≠−1C．a=−1D．a≠32且a≠−1
【答案】D
【分析】先解分式方程得到−a+1x=−5，再根据分式方程有解，进行求解即可．
【详解】解：1x−2+ax−22−x=1
去分母得：1−ax−2=x−2，
去括号得：1−ax+2=x−2，
移项得：−ax−x=−2−2−1，
合并同类项得：−a+1x=−5，
∵关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有解，
∴a+1≠0x−2≠0，
∴a+1≠0−2a+1≠−5，
∴a≠32且a≠−1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到−a+1x=−5是解题的关键．
【变式3-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程2y+ay−4+2a4−y=5有解，且关于x的一元一次不等式组x+33≤2+3x63x−2