2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题07 分式方程及其应用【八大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc24351" 【题型1 由分式方程的解求参数】 PAGEREF _Tc24351 \h 2
\l "_Tc14565" 【题型2 解分式方程】 PAGEREF _Tc14565 \h 4
\l "_Tc26351" 【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】 PAGEREF _Tc26351 \h 4
\l "_Tc16233" 【题型4 由分式方程的取值范围求参数】 PAGEREF _Tc16233 \h 7
\l "_Tc4132" 【题型5 由实际问题抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc4132 \h 9
\l "_Tc18857" 【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】 PAGEREF _Tc18857 \h 11
\l "_Tc11113" 【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc11113 \h 17
\l "_Tc26348" 【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc26348 \h 21
【知识点 分式方程及其应用】
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【题型1 由分式方程的解求参数】
【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
【答案】k=0,x=73 或k=94，x=23；k=-14或x=4或k=2，x=14或k=74，x=87
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为Δ=0 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若Δ>0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【详解】解：两边同乘x2-x,得2kx2+3-4kx+4k-7=0，
若k=0，3x-7=0，x=73，
若k≠0，由题意，知Δ=3-4k2-8k4k-7=0，
解得k1=94，k2=-14，
当k1=94时，x1=x2=23，当k2=-14时，x1=x2=4，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当x1=1时，k=2，x2=14，
当x1=0时，k=74，x2=87．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．
【变式1-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3的解，那么实数m的值为（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】B
【分析】将x=1代入方程，即可求解．
【详解】解：将x=1代入方程，得m2-1-11-2=3
解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）下列分式方程中，解为x=-1的是（ ）
A．4x-1=1xB．x+1x2-1=0C．2x-1+1x+2=0D．2x+1-1x+2=0
【答案】C
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【详解】当x=-1时，
A． 4x-1=1x中，左边=-2，右边=-1，A不符合题意；
B．x+1x2-1=0中，x2-1=0，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；
C． 2x-1+1x+2=0中，左边=-1+1=0=右边，C符合题意；
D． 2x+1-1x+2=0中，分母x+1=0，D不符合题意．
故答案是：C
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．
【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，且关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．16D．14
【答案】B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且y-2≠0，即可求得满足条件的所有整数a的值．
【详解】3x+54≤x+32①x+12>x+a2②
解不等式①，得
x≤1．
解不等式②，得
x>a-1．
因为关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，可得
a-1≥1．
解得
a≥2．
解关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2，得
y=6a-1．
∵6a-1为整数，a≥2，6a-1-2≠0,
∴a=2或a=3或a=7．
∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．
【题型2 解分式方程】
【例2】（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
【答案】 52 -2
【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分别代入3x+1=b和2x+1x=1，据此求解即可．
【详解】解：当x=n时，3x+1=b，即3n+1=b，
当x=2时，2x+1x=a，即a=2×2+12=52，
当x=n时，2x+1x=1，即2n+1n=1，
解得n=-1，
经检验，n=-1是分式方程的解，
∴b=3×-1+1=-2，
故答案为：52；-2
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
【变式2-1】（2023·四川·中考真题）关于x的分式方程2x-1-1x+1=11-x的解是 ．
【答案】x=-2
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】解：2x-1-1x+1=11-x
两边乘x+1x-1得到，2x+2-x-1=-x+1，
解得x=-2，
检验：把x=-2代入x+1x-1得：-2+1×-2-1=3≠0，
∴x=-2是原方程的解．
故答案为：x=-2．
【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
【变式2-2】（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程：xx+1-1=3x-1．
【答案】-12
【分析】方程两边同时乘以x+1x-1，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
【详解】xx+1-1=3x-1
x+1x-1xx+1-1×x+1x-1=3x-1x+1x-1
x-1x-x+1x-1=3x+1
x2-x-x2+1=3x+3
-4x=2
x=-12，
经检验，x=-12是原方程的根，
故原方程的解为：x=-12．
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验．
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x-3)=x-2，
去括号，得2x-3=x-2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】
【例3】（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程xx-1-m1-x=2有增根，则m的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母x-1=0，代入整式方程计算m的值．
【详解】因为xx-1-m1-x=2，
去分母得：x+m=2x-1，
解得：m=x-2
因为分式方程xx-1-m1-x=2有增根，
所以x-1=0，即：x=1是方程增根，
所以m=x-2=-1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．
【变式3-1】（2023·河北石家庄·校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2+3=12-x.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x-2)得
5+3(x-2)=-1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x-2)得
m+3(x-2)=-1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2-2)=-1
m=-1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式3-2】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1有解，则a的取值范围是（ ）
A．a≠32B．a≠-1C．a=-1D．a≠32且a≠-1
【答案】D
【分析】先解分式方程得到-a+1x=-5，再根据分式方程有解，进行求解即可．
【详解】解：1x-2+ax-22-x=1
去分母得：1-ax-2=x-2，
去括号得：1-ax+2=x-2，
移项得：-ax-x=-2-2-1，
合并同类项得：-a+1x=-5，
∵关于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1有解，
∴a+1≠0x-2≠0，
∴a+1≠0-2a+1≠-5，
∴a≠32且a≠-1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到-a+1x=-5是解题的关键．
【变式3-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y=5有解，且关于x的一元一次不等式组x+33≤2+3x63x-2