中考数学一轮复习考点精讲第01讲 实数（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习考点精讲第01讲 实数（2份，原卷版+解析版），文件包含2025-2026学年第二学期九年级数学第六章图形的相似单元测试卷docx、2025-2026学年第二学期九年级数学第六章图形的相似单元测试参考答案与试题解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159614335" PAGEREF _Tc159614335 \h 2
\l "_Tc159614336" 考点一 实数的分类（高频考点） PAGEREF _Tc159614336 \h 2
\l "_Tc159614337" 题型01 实数的分类 PAGEREF _Tc159614337 \h 3
\l "_Tc159614338" 题型02 无理数估值 PAGEREF _Tc159614338 \h 4
\l "_Tc159614339" 题型03 相反意义的量 PAGEREF _Tc159614339 \h 4
\l "_Tc159614340" 考点二 实数的相关概念（高频考点） PAGEREF _Tc159614340 \h 5
\l "_Tc159614341" 题型01 用数轴上的点表示数 PAGEREF _Tc159614341 \h 6
\l "_Tc159614342" 题型02 求数轴上两点之间的距离 PAGEREF _Tc159614342 \h 7
\l "_Tc159614343" 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 PAGEREF _Tc159614343 \h 7
\l "_Tc159614344" 题型04 数轴上的动点问题 PAGEREF _Tc159614344 \h 8
\l "_Tc159614345" 题型05 求一个数的相反数 PAGEREF _Tc159614345 \h 10
\l "_Tc159614346" 题型06 多重符号化简 PAGEREF _Tc159614346 \h 10
\l "_Tc159614347" 题型07 相反数的应用 PAGEREF _Tc159614347 \h 11
\l "_Tc159614348" 题型08 求一个数的绝对值 PAGEREF _Tc159614348 \h 11
\l "_Tc159614349" 题型09 化简绝对值 PAGEREF _Tc159614349 \h 11
\l "_Tc159614350" 题型10 绝对值非负性的应用 PAGEREF _Tc159614350 \h 12
\l "_Tc159614351" 题型11 利用几何意义化简绝对值 PAGEREF _Tc159614351 \h 12
\l "_Tc159614352" 题型12 乘方运算 PAGEREF _Tc159614352 \h 14
\l "_Tc159614353" 题型13 乘方的应用 PAGEREF _Tc159614353 \h 14
\l "_Tc159614354" 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） PAGEREF _Tc159614354 \h 15
\l "_Tc159614355" 题型01 用科学记数法表示数 PAGEREF _Tc159614355 \h 16
\l "_Tc159614356" 题型02 求一个数的近似数 PAGEREF _Tc159614356 \h 16
\l "_Tc159614357" 考点四 实数比较大小 PAGEREF _Tc159614357 \h 17
\l "_Tc159614358" 题型01 利用数轴法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614358 \h 17
\l "_Tc159614359" 题型02利用类比法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614359 \h 18
\l "_Tc159614360" 题型03 利用作差法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614360 \h 18
\l "_Tc159614361" 题型04 利用作商法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614361 \h 19
\l "_Tc159614362" 题型05 利用平方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614362 \h 19
\l "_Tc159614363" 题型06 利用其它方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614363 \h 19
\l "_Tc159614364" 考点五 平方根、算术平方根、立方根 PAGEREF _Tc159614364 \h 20
\l "_Tc159614365" 题型01 求一个数的算术平方根 PAGEREF _Tc159614365 \h 21
\l "_Tc159614366" 题型02 利用算术平方根的非负性解题 PAGEREF _Tc159614366 \h 22
\l "_Tc159614367" 题型03 求一个数的平方根 PAGEREF _Tc159614367 \h 22
\l "_Tc159614368" 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 PAGEREF _Tc159614368 \h 22
\l "_Tc159614369" 题型05 求一个数的立方根 PAGEREF _Tc159614369 \h 22
\l "_Tc159614370" 考点六 实数的运算（高频考点） PAGEREF _Tc159614370 \h 22
\l "_Tc159614371" 题型01 实数的运算 PAGEREF _Tc159614371 \h 24
考点一 实数的分类（高频考点）
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
4、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式： QUOTE ）、1.333333…（分数形式：）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．C．D．0
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cs30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．B．C．D．
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元B．0元C．元D．元
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A．B．C．D．
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
开方开不尽的数，如：、 等.
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等.
具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
某些三角函数，如sin60°、cs20°.
考点二 实数的相关概念（高频考点）
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．C．D．
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是( )

A．点PB．点QC．点RD．点S
题型02 求数轴上两点之间的距离
【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2B．﹣2C．2D．4或﹣4
【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A．B．0C．3D．
【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．

题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负
【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）

A．B．C．D．
【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.(用“”“”或“”填空)

利用特殊值法判断式子正负
利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊值法.【变式3-3】中根据数轴A、B点的位置，首先可知a为负数，b为正数且a的绝对值大于b的绝对值，所以我们假设a=-2,b=1，然后代入到代数式中判断正负. 利用特殊值法做题时，大家需要注意：根据题目信息将合适的数值带入到代数式中判断式子正负.
题型04 数轴上的动点问题
【例4】（2022·广东·惠州一中校考二模）如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数是（ ）．
A．3B．4C．πD．2π
【变式4-1】（2021·广西百色·一模）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【变式4-2】（2023·河北承德·二模）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）．
(2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示）
(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ．
【变式4-3】．（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
【变式4-4】（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
数轴上的动点问题
解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题：
1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标；
2.算出动点运动后的坐标：
向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程；
向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程；
3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数；
4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标；
5.求解
题型05 求一个数的相反数
【例5】（2023·辽宁锦州·中考真题）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
A．9B．C．D．
【变式5-2】（2023·四川绵阳·中考真题）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（ ）
A．0.5B．±0.5C．﹣0.5D．5
题型06 多重符号化简
【例6】（2023·广东广州·中考真题）（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2023·广东广州·校考模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
题型07 相反数的应用
【例7】（2021·河北·中考真题）能与相加得0的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（2023·山东潍坊·一模）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
A．2B．﹣2C．0D．
【变式7-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A．B．C．D．16
【变式7-3】（2021·甘肃陇南·一模）若与互为相反数，则的值为 .
题型08 求一个数的绝对值
【例8】（2023·浙江·中考真题）计算： ．
【变式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3B．2C．1D．0
【变式8-2】（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（ ）
A．3B．C．D．
题型09 化简绝对值
【例9】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【变式9-1】（2022·宁夏·中考真题）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）已知有理数，，满足，且，则 ．
【变式9-4】．（2023·山东青岛·校考一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
题型10 绝对值非负性的应用
【例10】（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2023
【变式10-1】（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【变式10-2】（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则 ．
【变式10-3】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．

(1)______，______；
(2)点、点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动．求秒后点、点之间的距离（用含的代数式表示）．
【变式10-4】（2023·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
题型11 利用几何意义化简绝对值
【例11】（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ；
（3）若，求的取值范围．
【变式11-1】（2023·河北邢台·模拟预测）我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，的几何意义就是：数轴上数对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3
（1）数轴上1和两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果AB=2，结合几何意义，那么x的值为 ；
（3）代数式表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
利用零点分段法化简绝对值
零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点
利用零点分段法去绝对值符号的方法：
1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即a>0，ab；②a-b=0a=b；③a-bb
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/bb
3)任意负实数a，b，a/b>1a”“=”或“”，“=”或“