中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题01 实数（2份，原卷版+解析版）

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理解有理数的意义，能用数轴表示有理数
借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的绝对值的方法，知道的含义
掌握有理数的四则运算
理解乘方的意义
理解有理数的运算律
了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根
了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根
了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根
了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应
能求实数的相反数与绝对值
能估计无理数的大致范围
了解近似数的概念
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12520" 考点1：实数的分类 PAGEREF _Tc12520 \h 3
\l "_Tc10217" 考点2：数轴的相关计算 PAGEREF _Tc10217 \h 10
\l "_Tc12440" 考点3：相反数 PAGEREF _Tc12440 \h 16
\l "_Tc4835" 考点4：绝对值 PAGEREF _Tc4835 \h 21
\l "_Tc26281" 考点5：科学记数法 PAGEREF _Tc26281 \h 29
\l "_Tc27729" 考点6：近似数 PAGEREF _Tc27729 \h 33
\l "_Tc17821" 考点7：实数的大小比较 PAGEREF _Tc17821 \h 39
\l "_Tc29534" 考点8：平方根、算术平方根、立方根 PAGEREF _Tc29534 \h 43
\l "_Tc5083" 考点9：实数的运算 PAGEREF _Tc5083 \h 50
\l "_Tc28954" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc28954 \h 55
\l "_Tc10604" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc10604 \h 56
考点1：实数的分类
①实数分类
②无理数几种常见类型：
1.开不尽的数型：如eq \r(5)，eq \r(8)等开方开不尽的数；
2.构造型：如0.101 001 000 1…；
3.π及含π的数：如π，π＋4等．另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.
4.三角函数
｛无理数-判断★｝在下列实数中，无理数是
A．B．C．0.3D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：．，是无理数，故本选项符合题意；．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；．0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
｛实数概念综合★｝下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是．其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意；③负数也有立方根，原说法不合题意；④的平方根是，原说法不合题意．故选：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
｛实数分类★｝下列说法正确的是
A．正整数、负整数统称为整数B．正分数、负分数统称为分数
C．正数、负数统称为有理数D．整数、分数、小数都是有理数
【分析】根据有理数的定义及其分类求解可得．
【解答】解：．正整数、零、负整数统称为整数，故本选项不合题意；．正分数、负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项不合题意；
．整数、分数、小数都是有理数，说法错误，无限不循环小数不是有理数，故本选项不合题意；故选：．
【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的相关定义是解答本题的关键．
｛无理数-程序图★★｝（凉山州·中考真题）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为64时，输出的是
A．B．C．D．8
【分析】把代入数值转换器中计算确定出即可．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，是有理数，结果为无理数，．故选：．
【点评】此题考查了实数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键．
｛实数概念综合★｝（河北·中考真题）如图为张小亮的答卷，他的得分应是
A．100分B．80分C．60分D．40分
【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可．
【解答】解：的绝对值为1，2的倒数为，的相反数为2，1的立方根为1，和7的平均数为3，故小亮得了80分，故选：．
【点评】本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的关键．
｛实数-新定义★★｝（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是
A．②③B．①③C．①④D．②④
【分析】根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案．
【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，
所以表述正确的序号是②③；故选：．
【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．
｛无理数-判断★｝（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，，，，，中，无理数的个数有 3 个．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找出无理数的个数．
【解答】解：在所列实数中，无理数有，，这3个，故答案为：3．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽得到的无限不循环小数，②无限不循环小数，③含或由构造的无限不循环小数．
｛实数概念综合★★｝下列说法：①的平方根是；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0．其中正确的是
A．④B．①②C．②③D．③
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：①负数没有平方根，故①不符合题意．②一个正数的平方根有两个，且互为相反数，故②不符合题意．③的平方根为，此时的平方根大于，故③不符合题意．④平方根等于本身的数是0，故④符合题意．故选：．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
｛实数分类★｝下列说法中，正确的是
【知识拓展】（自然数： 。）
A．正有理数和负有理数统称有理数B．一个有理数不是整数就是分数
C．零不是自然数，但它是有理数 D．正分数、零、负分数统称分数
【分析】根据有理数的分类，可得答案．
【解答】解：、整数和分数统称有理数，故错误；、整数和分数统称有理数，故正确；
、零是自然数，是有理数，故错误；、正分数、负分数统称分数，故错误；故选：．
【点评】本题考查了有理数，利用了有理数的意义．
｛实数-新定义★★★｝（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 ．
【分析】根据“调日法”逐次进行计算求解．
【解答】解：，利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，
且，再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．故答案为：．
【点评】本题考查简单的推理与证明，根据“调日法”的定义进行计算是解决本题的关键，是基础题，考查了计算能力．
（2021•永州）在0，，，，中无理数的个数是 1 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：0，，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；无理数有，共1个．故答案为：1．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
（通辽·中考真题）实数，，0，，，，，（相邻两个3之间依次多一个，其中无理数的个数是
A．4B．2C．1D．3
【分析】掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合题意判断即可．
【解答】解：在实数，，0，，，，，（相邻两个3之间依次多一个中，无理数有：，，（相邻两个3之间依次多一个，共3个，故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数是解题的关键．
考点2：数轴的相关计算
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

｛数轴的几何意义★★｝（泰安·中考真题）如图，四个实数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个实数中，绝对值最大的一个是
A．B．C．D．
【分析】根据可以得到、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．
【解答】解：，和互为相反数，0在线段的中点处，绝对值最大的点表示的数，
故选：．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．
｛实数的几何意义★｝如图，数轴上点所表示的数是
A．B．C．3.6D．3.7
【分析】利用数轴表示数得到，利用基本作图得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的数．
【解答】解：，，，，
点表示的数是，故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；以及勾股定理的基本计算．也考查了基本作图．
｛数轴的计算★｝（2021•福州模拟）若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则①；②；③；④的结论中，正确的是
A．①②B．①④C．②③D．③④
【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；②根据异号两数的加法法则判断；
③注意到是一个真分数，所以，而，从而作出判断；④先判断与的大小，再开方即可．
【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：，符合题意；
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取的符号正号，所以，不符合题意；
③，，，不符合题意；④，，，，符合题意；故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到是一个真分数，所以．
｛实数的几何意义★｝（成都中考真题）如图，数轴上点表示的实数是 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：到的距离为，则数轴上点表示的实数是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出到的距离是解题关键．
｛数轴的计算★｝（2019•北京）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移1个单位长度，得到点，若，则的值为
A．B．C．D．1
【分析】根据可得点表示的数为，据此可得．
【解答】解：点在原点的左侧，且，点表示的数为，．故选：．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
｛数轴的计算★★★｝有一题目：点、、分别表示数、1、5，三点在数轴上同时开始运动，点运动方向是向左，运动速度是；点、的运动方向是向右，运动速度分别、，如图，在运动过程中，甲、乙两位同学提出不同的看法：
甲：的值不变；
乙：的值不变；
下列选项中，正确的是
A．甲、乙均正确B．甲正确、乙错误
C．甲错误、乙正确D．甲、乙均错误
【分析】设运动时间为，用含的代数式表示、、，代入和计算即可得到答案．
【解答】解：设运动时间为，点、、分别表示数、1、5，
运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，
，，，
，，
的值不变，的值随的增大而增大，甲正确、乙错误，故选：．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题关键是掌握数轴上点移动后表示的数的规律：左减右加．


（2021•广州）如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为
A．B．0C．3D．
【分析】根据相反数的性质，由，得，，，故．进而推断出．
【解答】解：，，即与互为相反数．又，．．．
，即点表示的数为．故选：．
【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
（2019•福建）如图，数轴上、两点所表示的数分别是和2，点是线段的中点，则点所表示的数是 ．
【分析】根据、两点所表示的数分别为和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．
【解答】解：数轴上，两点所表示的数分别是和2，线段的中点所表示的数．
即点所表示的数是．故答案为：
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
考点3：相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
｛相反数的定义★｝下列两个数互为相反数的是
A．和 B．和C．和 D．和
【分析】将每组中的两个数进行求和运算，根据结果和互为相反数的意义进行判断即可．
【解答】解：因为，所以与是互为相反数，因此选项符合题意；
因为，因此和不是互为相反数，因此选项不符合题意；
因为，因此选项不符合题意；因为，因此和不是互为相反数，所以选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查互为相反数，掌握互为相反数的意义是正确判断的前提．
｛相反数的定义★★｝下列说法正确的是
A．符号相反的两个数互为相反数 B．一个数的相反数一定是正数
C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数
【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．
【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．
和的符号相反，但3和不是相反数，
选项错误；的相反数是，选项错误；的相反数是2，，
选项错误；一个数的相反数的相反数是它本身，选项正确；故选：．
【点评】本题主要考查了相反数的意义，熟记相反数的定义是解题的关键．
｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为 4 ．
【分析】直接利用相反数的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：与互为相反数，
，，．故答案为：4．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
｛相反数-符号化简★｝下列化简正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算正确，故此选项符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：．
【点评】此题主要考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
｛相反数的定义★｝若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是
【知识拓展】（倒数等于它本身： ；绝对值等于它本身： 。）
A．0B．1C．D．
【分析】根据相反数的定义解答．
【解答】解：的相反数是0，如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0．故选：．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
｛相反数的定义★｝已知与互为相反数，则下列式子：①；②；③；④，其中一定成立的是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：与互为相反数，①，正确；②，正确；③错误；④，原式错误，故选：．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
｛相反数的代数意义★｝如果和互为相反数，和互为倒数，那么 10
【分析】直接利用相反数和倒数的定义得出，，进而得出答案．
【解答】解：和互为相反数，和互为倒数，
，，．故答案为：10．
【点评】此题主要考查了相反数和倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为 ．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出等式，进而得出，的关系．
【解答】解：与互为相反数，，则，故．故答案为：．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
（2021•烟台）若的相反数是3，则的值是
A．B．C．3D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：的相反数是3，．故选：．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
（2021•深圳）的相反数
A．2021B．C．D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】解：，则的相反数是．故选：．
【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
考点4：绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：

（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0

｛绝对值的定义★｝下列说法中错误的个数是
①绝对值是它本身的数有两个，是0和1 ②一个有理数的绝对值必为正数
③0.5的倒数的绝对值是2 ④任何有理数的绝对值都不是负数．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据绝对值的定义，可得答案．
【解答】解：①绝对值是它本身的数有非负数，故①说法错误；
②0的绝对值等于0，故②说法错误；③0.5的倒数是2，2的绝对值是2，故③说法正确；
④任何有理数的绝对值都是非负数，故④说法正确；故选：．
【点评】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义求解是解题关键，注意选错误的．
｛运算性质★★｝若，，，那么的值是
A．2或0B．或0C．或3D．或9
【分析】根据绝对值、有理数的除法法则、有理数的减法解决此题．
【解答】解：，，，．或，．又，．
与异号．当时，，此时；当时，，此时．综上：或．故选：．
【点评】本题主要考查绝对值、有理数的除法、有理数的减法，熟练掌握绝对值、有理数的除法法则、有理数的减法法则是解决本题的关键．
｛运算性质★｝若时，化简
A．1B．C．D．
【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．
【解答】解：，．故选：．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用的取值范围化简是解题关键．
｛运算性质★★｝若实数、、满足，，则的值为
A．6B．7C．6或8D．6或7
【分析】根据条件得：，，然后分四种情况分别计算即可．
【解答】解：，，，，
当，时，，原式；
当，时，，原式；
当，时，，原式；
当，时，，原式；故选：．
【点评】本题考查了绝对值的定义，体现了分类讨论的数学思想，分类做到不重不漏是解题的关键．
｛运算性质★★｝若，则的值为
A．或B．或0或C．或0D．0或
【分析】分4种情况分别计算，根据绝对值的性质化简即可得出答案．
【解答】解：若，，都是正数，那么原式；若，，中有1个负数，不妨设是负数，那么原式；若，，中有2个负数，不妨设，是负数，那么原式；
若，，都是负数，那么原式；故选：．
【点评】本题考查了绝对值的性质，体现了分类讨论的数学思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．
｛绝对值-非负性★｝若，则
A．2B．7C．8D．9
【分析】根据非负数的性质列式求出、，然后代入计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，，解得，，所以，．故选：．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
｛几何意义★★★｝的最小值是 6 ．
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：表示对应的点到对应的点的距离，表示2对应的点到对应的点的距离，表示对应的点到对应的点、2对应的点的距离之和．
的最小值是．故答案为：6．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
｛几何意义★★★｝式子有最小值，其最小值是 7 ．
【分析】表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的距离之和，因此当在3与之间时，这个距离之和最小，最小值为3与之间的距离7．
【解答】解：表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的距离之和，
因此当时，这个距离之和最小，最小值就是3与之间的距离，为7，
当时，有最小值，最小值是7．故答案为：7．
【点评】本题考查了绝对值的非负数性质．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提．
｛运算性质★｝下列各式的结论成立的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．
【解答】解：．若，则或，故原说法错误，选项不符合题意；
．若，则，，故原说法错误，选项不符合题意；
．若，则，故原说法错误，选项不符合题意；
．若，则，正确，选项符合题意；故选：．
【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
｛运算性质★｝若，且，，则
A．7B．C．3D．
【分析】由绝对值的定义，得，，再根据，，确定、的具体对应值，最后代入计算的值．
【解答】解：，，，，
，，，，．故选：．
【点评】主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中、的取值再去计算结果．注意绝对值等于一个正数的数有两个；两个负数，绝对值大的反而小．
｛运算性质★｝已知，，，则 或 ．
【分析】首先根据绝对值的性质，求出、的值，然后代值求解即可．
【解答】解：，，，；又因为，当，时，；当，时，．故的值为或．故答案为：或．
【点评】此题主要考查绝对值的性质：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
｛绝对值符号化简★★｝已知，则 2 ．
【分析】结合绝对值的性质进行化简求解即可．
【解答】解：，，，．
故答案为：2．
【点评】本题考查了绝对值的性质，解答本题的关键在于熟练掌握绝对值的性质．
｛运算性质★｝已知，化简 5 ．
【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后化简即可．
【解答】解：，．故答案为：5．
【点评】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
｛绝对值-非负性★｝若，则 ．
【分析】根据绝对值的非负性解决此题．
【解答】解：，，当时，，．
，．．故答案为：．
【点评】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．
｛绝对值-非负性★｝，则 ．
【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到、的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，，
由①得，，把代入②得，，解得，．故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出、的值．
｛几何意义★★★｝适合的整数的值有
A．4个B．5个C．7个D．9个
【分析】此方程可理解为到和3的距离的和，由此可得出的值，继而可得出答案．
【解答】解：表示到点的距离，表示到3点的距离，由到3点的距离为8，
故到3之间的所有点均满足条件，即，又由为整数，
故满足条件的有：，，，，，0，1，2，3共9个，故选：．
【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答．
（2021•阿坝州）的绝对值为
A．B．0C．3D．
【分析】利用绝对值的意义解答即可．
【解答】解：，．故选：．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟记负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
（2021•大庆）下列说法正确的是
A．B．若取最小值，则
C．若，则D．若，则
【分析】根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论．
【解答】解：、当时，，故此选项错误，不符合题意；
、，当时，取最小值，故此选项错误，不符合题意；
、，，，，故此选项错误，不符合题意；
、，，，，故此选项正确，符合题意．故选：．
【点评】本题考查了绝对值，牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键．
考点5：科学记数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）

｛科学记数法-表示较小的数★｝用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
｛科学记数法-表示较大的数★｝2021年春节档电影《你好，李焕英》，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：50亿．
故选：．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
｛科学记数法-表示较大的数★｝2021年国庆档电影《长津湖》上映16天票房收入超45.6亿元，成为中国影史排名第五名．其中45.6亿元用科学记数法可表示为
A．元B．元C．元D．元
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：45.6亿元元元．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
｛科学记数法-表示较大的数★｝今年是中国共产党建党100周年，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数为9514.8万名，将9514.8万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：9514.8万．
故选：．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
（2021•攀枝花）2021年5月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为5500万千米，该数据用科学记数法可表示为 千米．
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为千米，
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
（2021•日照）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米纳米米），120纳米用科学记数法可表示为
A．米B．米C．米D．米
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：120纳米米米．故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
考点6：近似数
（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
｛近似数-有效数字★｝截止2021年5月16日，全球累计新冠肺炎死亡病例3352109例，将3352109用科学记数法表示，并保留3个有效数字，应记为 ．
【分析】根据科学记数法的表示方法，将“3352109”取近似数，再将其用科学记数法表示即可得到答案．
【解答】解：3352109这个数字用科学记数法并保留3个有效数字表示为．
故答案为：．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，注意保留的数位．
｛近似数★｝按要求填空：
（1）753.1968（精确到 ；（2）753.1968（精确到十分位） ；
（3）753.1968（精确到百位） ；（4）近似数3.60万精确到 位；
（5）近似数0.0702精确到 位；（6）近似数，精确到 ．
【分析】（1）利用四舍五入法求近似值；（2）利用四舍五入法求近似值；（3）利用四舍五入法并结合科学记数法求近似值；（4）先将原数还原，然后再看原数中的末位数字所处的数位；
（5）看原数中末位数字所处的数位；（6）原数还原，然后再看原书中的末位数字所处的数位．
【解答】解：（1）753.1968（精确到；故答案为：753.197；
（2）753.1968（精确到十分位）；故答案为：753.2；
（3）753.1968（精确到百位）；故答案为：；
（4）近似数3.60万，精确到百位；故答案为：百；
（5）近似数0.0702精确到万分位；故答案为：万分；
（6）近似数，精确到百位；故答案为：百．
【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是
A．0.1（精确到B．0.051（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：．（精确到，所以选项不符合题意；
．（精确到千分位），所以选项符合题意；
．（精确到百分位），所以选项不符合题意；
．（精确到，所以选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
｛近似数★｝据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达141178万人．用四舍五入法，对141178万取近似值，精确到百万位的结果是
A．1412B．1412000000C．141200万D．
【分析】先把141178万化为1411780000，用科学记数法表示，最后求近似值．
【解答】解：141178万．故选：．
【点评】本题主要考查了科学记数法与有效数字，掌握大于100的数取近似值的方法是解题关键．
｛近似数★｝用四舍五入法，按括号里的要求取近似值．
（1）3.0688（精确到 ；（2）23489（精确到千位） ；（3）（精确到万位） ．
【分析】（1）利用四舍五入法求近似值；（2）利用四舍五入法求近似值；（3）利用四舍五入法求近似值．
【解答】解：（1）3.0688（精确到，故答案为：3.07；
（2）23489（精确到千位），故答案为：；
（3）（精确到万位），故答案为：．
【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.7831取近似值，其中正确的是
A．0.783（精确到百分位） B．0.78（精确到C．0.7（精确到D．0.7830（精确到
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：．（精确到百分位），所以选项不符合题意；
．（精确到，所以选项符合题意；
．（精确到，所以选项不符合题意；
．（精确到，所以选项不符合题意．故选：．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
｛近似数★｝下列数据中，是近似数的为
A．一年有12个月B．药店每人限购10个口罩C．每间寝室住3人D．某校大约有2000名师生
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断其中的数据是近似数还是准确数．
【解答】解：一年有12个月，这里的12是准确数，不是近似数，故选项不符合题意；
药店每人限购10个口罩，这里的10是准确数，不是近似数，故选项不符合题意；
每间寝室住3人，这里的3是准确数，不是近似数，故选项不符合题意；
某校大约有2000名师生，这里的2000是近似数，故选项符合题意；故选：．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义．
｛近似数★｝下列近似数，只有三个有效数字的是
A．6.010B．0.6010C．0.061D．0.601
【分析】根据有效数字的定义和各个选项中的数据，可以写出相应的有效数字，从而可以解答本题．
【解答】解：6.010有4个有效数字，故选项不符合题意；
0.6010有4个有效数字，故选项不符合题意；
0.061有2个有效数字，故选项不符合题意；
0.601有3个有效数字，故选项符合题意；故选：．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确有效数字的定义，写出数字的有效数字．
｛近似数★｝用四舍五入法，0.00356精确到万分位的近似数是
A．0.003B．0.004C．0.0035D．0.0036
【分析】根据近似数的精确度把十万分位上的数字6进行四舍五入即可．
【解答】解：（精确到万分位）．故选：．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数叫近似数．
｛近似数★｝用四舍五入法将130541精确到千位，正确的是
A．B．C．131000D．
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：130541精确到千位是．故选：．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字的说法．
（2020•济宁）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是
A．3.1B．3.14C．3.142D．3.141
【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入．
【解答】解：3.14159精确到千分位的结果是3.142．故选：．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
考点7：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 .
（3）作差比较法：a－b＞0a＞b；a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.
（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.

｛实数的大小比较-性质法★｝大于而又不大于的整数有
A．7个B．6个C．5个D．4个
【分析】根据实数的大小关系解决此题．
【解答】解：根据实数的大小关系，大于而又不大于的整数有、、0、1、2、3，共6个．
故选：．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小关系是解决本题的关键．
｛实数的大小比较-性质法★｝有理数，满足，，，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】不妨设，，则，，从而得出大小关系．
【解答】解：不妨设，，则，，，，故选：．
【点评】本题考查了有理数的比较大小，用特殊值来比较大小是解题的关键，本题也可以通过数轴来比较大小．
｛实数的大小比较-平方法★｝（2019•陕西）比较大小： ．
【分析】因为是两个无理数比较大小，所以应把根号外的数整理到根号内再进行比较．
【解答】解：，，，．故结果为：．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，此题要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小．
｛实数的大小比较-作差法★｝通过估算，比较大小： ．
【分析】由，得，故，那么．
【解答】解：，，即．，即．
．故答案为：．
【点评】本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式性质是解题关键．
｛实数的大小比较-作差法★｝比较大小： ．
【分析】根据被开方数大平方根大即可解决问题．
【解答】解：，，．故答案为：．
【点评】本题考查了 实数的大小比较，利用被开方数大的平方根大．
｛实数的大小比较-作差法★｝比较实数大小： （填“”或“” ．
【分析】根据实数比较大小的原则，比较大小即可．
【解答】解：，，，，．故答案为：．
【点评】本题考查了实数大小的比较，在有无理数时，先估算无理数的范围，再进行大小比较．
｛实数的大小比较-作差法★｝比较大小关系 1.5（填“”、“ ”或“” ．
【分析】先估算出的范围，再求出的范围即可．
【解答】解：，，，即，故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．
（2021•朝阳）在有理数2，，，0中，最小的数是
A．2B．C．D．0
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．依此即可求解．
【解答】解：，
在有理数2，，，0中，最小的数是．故选：．
【点评】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．
（2018•宜昌）如图，一块砖的，，三个面的面积比是．如果，，面分别向下放在地上，地面所受压强为，，，压强的计算公式为，其中是压强，是压力，是受力面积，则，，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：，，随的增大而减小，，，三个面的面积比是，
，，的大小关系是：．故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
（2021•临沂）比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ．
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【解答】解：，，而，．故填空答案：．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
考点8：平方根、算术平方根、立方根
平方根、算术平方根：若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.
立方根：若x3=a,则x=.

｛平方根★★｝的平方根为
A．13B．C．D．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
【解答】解：，的平方根为．故选：．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
｛平方根的性质★★｝若与是同一个正数的平方根，则这个正数为
A．1B．4C．D．
【分析】根据平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：．当，则，此时，那么这个正数为．这个正数为4．故选：．
【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
｛平方根、算术平方根、立方根★｝下列说法错误的是
A．4的算术平方根是2B．是2的一个平方根
C．的立方根是D．化简结果是
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：．根据算术平方根的定义，4的算术平方根是2，那么不符合题意．
．根据平方根的定义，是2的一个平方根，那么不符合题意．
．根据立方根的定义，的立方根是，那么不符合题意．
．根据有理数的乘法以及算术平方根，，那么符合题意．故选：．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根、有理数的乘方是解决本题的关键．
｛立方根的性质★｝已知，若，则的值约为
A．326000B．32600C．3.26D．0.326
【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案．
【解答】解：，，故选：．
【点评】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键．
｛算术平方根的性质★｝请同学们观察下如表：
已知，，运用你发现的规律求 ．
【分析】根据被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，即可求得所求式子的值．
【解答】解：已知，则．故答案为：143.5．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
｛算术平方根的性质★｝根据以下程序，当输入时，输出的值为
A．B．C．D．5
【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．
【解答】解：，．故选：．
【点评】本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值带入正确的关系式．
｛立方根、算术平方根★｝若一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是
A．B．C．2D．4
【分析】根据算术平方根、立方根解决此题．
【解答】解：由题意得：这个数为64．这个数的立方根为．故选：．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根是解决本题的关键．
｛立方根★｝已知为实数，且，则的算术平方根为
A．3B．2C．3和D．2和
【分析】根据立方根、算术平方根解决此题．
【解答】解：，．．
．．的算术平方根为．故选：．
【点评】本题主要考查立方根、算术平方根，熟练掌握立方根、算术平方根是解决本题的关键．
｛平方根、立方根★｝4的平方根是，27的立方根是，则的值为
A．2B．3C．5或1D．5或
【分析】根据平方根、立方根定义求出、．
【解答】解：的平方根是，，的立方根是，，
，或．故选：．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根定义在解题中起关键作用．
｛算术平方根★｝（2018•安顺）的算术平方根是
A．B．C．D．2
【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．
【解答】解：，2的算术平方根是．故选：．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．
｛平方根、算术平方根、立方根★★｝下列说法中正确的有
①0的算术平方根是0；②8的算术平方根是4；③是11的平方根；④是25的平方根；
⑤是8的平方根；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】应用平方根和算数平方根的性质进行求解即可得出答案．
【解答】解：①根据算术平方根的定义，0的算术平方根是0，所以①说法正确；
②根据算术平方根的定义，8的算术平方根是，所以②说法错误；
③根据平方根的定义，是11的平方根，所以③说法正确；
④根据平方根的定义，是25的一个平方根，所以④说法正确．
⑤根据平方根的定义，是8的平方根，所以⑤说法不正确．
综上：说法正确的有①③④，共3个．故选：．
【点评】本题主要考查平方根和算数平方根，熟练掌握平方根和算数平方根的定义是解决本题的关键．
｛平方根、算术平方根、立方根★★｝（2021•福建模拟）下列说法不正确的是
A．21的平方根是B．的平方根是
C．0.01的算术平方根是0.1D．是25的一个平方根
【分析】利用算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：．21的平方根是，正确，故选项不符合题意；
．的平方根是，原说法错误．故选项符合题意；
．0.01的算术平方根是0.1，正确，故选项不符合题意；
．是25的一个平方根，正确，故选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查算术平方根和平方根，解题注意：平方根和算术平方根的区别：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正数为算术平方根．
｛算术平方根★★｝若方程的两根分别为和，且，则下列结论中正确的是
A．是19的算术平方根B．是19的平方根
C．是19的算术平方根D．是19的算术平方根
【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．
【解答】解：方程的两根为和，
和是19的两个平方根，且互为相反数，，是19的算术平方根．故选：．
【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为．
｛立方根的性质★｝若，，那么 23700． ．
【分析】根据立方根的值扩大10倍，被开方数就扩大1000倍即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：立方根的值扩大了10倍，被开方数就扩大1000倍，故答案为：23700．
【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的值扩大了10倍，被开方数就扩大1000倍是解题的关键．
｛立方根的性质-新定义★★★｝按照下面的思路可以口算得到．
（1）由，，能确定是个两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，，由此可以确定十位上的数字是3；
类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么 97 ．
【分析】根据题干中所提供的方法求解即可．
【解答】解：（1）由，，能确定是个两位数；
（2）由912673的个位上的数是3，可以确定个位上的数是7；
（3）如果划去912673后面的三位数673得到数912，而，，由此可以确定十位上的数字是9；所以，故答案为：97．
【点评】本题考查立方根，理解题干中所提供的计算方法是得出正确答案的关键．
（2021•东营）16的算术平方根为
A．B．4C．D．8
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：16的算术平方根为4．故选：．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
（2021•凉山州）的平方根是
A．9B．C．3D．
【分析】求出，求出9的平方根即可．
【解答】解：，的平方根是，故选：．
【点评】本题考查了对算术平方根，平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
（2021•包头）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 2 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得的值；将、的值代入计算得出的值，再求其立方根即可．
【解答】解：一个正数的两个平方根是和，
，．，．，
的立方根为2，的立方根为2．故答案为：2．
【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．
考点9：实数的运算
①乘方：几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）
②零指数幂：a0= (a≠0)
③负指数幂：a－p= （a≠0，p为整数）
④混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化.

｛★★｝计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及立方根的性质和二次根式的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
｛★★｝计算：．
【分析】根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，分母有理化和特殊三角函数值，本题属于基础题型．
｛★★｝计算：．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
｛★★｝（2019•内江）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．
【分析】化简每一项为（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°＝﹣1+4+（2﹣）+3×；
【解答】解：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°
＝﹣1+4+（2﹣）+3×
＝3+2﹣+＝5；
【点评】本题考查实数的运算；掌握实数的运算，负整数指数幂的运算，牢记特殊三角函数值是解题的关键．
｛★★｝（2019•安顺）计算：（﹣2）﹣1﹣+cs60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．
【分析】分别根据负指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂以及积是乘方化简即可解答．
【解答】解：原式＝﹣﹣3++1+（﹣0.125×8）2019＝﹣3++1﹣1＝﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
｛★★｝（2019•常德）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
｛★｝计算：．
【分析】首先计算乘方、开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
｛★｝计算：．
【分析】首先计算开方、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
｛★｝计算：．
【分析】首先计算乘方、开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
求值：．
【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
计算：．
【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
计算：．
【分析】根据立方根的定义，绝对值的代数意义，有理数的乘方计算即可．
【解答】解：原式．
【点评】本题考查了立方根的定义，绝对值，考核学生的计算能力，属于简单题，算对的值是解题的关键．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．的相反数是
A．B．3C．D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：的相反数是．
故选：．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．的绝对值是
A．B．2022C．D．
【分析】利用绝对值的定义计算并判断即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．
3．如图，，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从大到小的顺序排列，正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据数轴对，，，进行的相比较就那辨别出此题正确的答案．
【解答】解：由题意得，
，且，
，故选：．
【点评】此题考查了利用数轴进行有理数大小比较的能力，关键是能准确运用以上知识和数形结合思想．
4．已知有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用，，在数轴上的位置，可以判断出，再用有理数的加减乘除法则判断即可．
【解答】解：利用数轴，可以判断出，
则选项正确，不符合题意；
由数轴可以看出，，
则，则选项正确，不符合题意；
由数轴可以看出，，
则，则选项正确，不符合题意；
由数轴可以看出，，，
则，故选项错误，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是判断，，的大小．
5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6．植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是
A．36B．60C．100D．180
【分析】根据题目当中信息列式计算即可．
【解答】解：七年级2班植树棵数：（棵，
故选：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，准确的约分是关键．
7．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．
则数轴上点所对应的数为
A．3B．C．D．
【分析】根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．
8．在式子“〇中的“〇”内填入下列运算符号，计算后结果最大的是
A．B．C．D．
【分析】分别计算各选项的结果即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
计算结果最大的是，
故选：．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握表示个相乘是解题的关键．
9．若，互为相反数，的倒数是4，则的值为
A．B．C．D．16
【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1，由此可解出此题．
【解答】解：，互为相反数，的倒数是4，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查的是相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为0；两数互为倒数，它们的积为1．
10．数轴上的点到原点的距离是6，则点表示的数为
A．12或B．6C．D．6或
【分析】根据数轴上互为相反数的两个数表示的点到原点的距离相等即可得出答案．
【解答】解：点到原点的距离是6，
点表示的是，
故选：．
【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上互为相反数的两个数表示的点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
11．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
12．估计的值应在
A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间
【分析】先计算出原式得，再根据无理数的估算可得答案．
【解答】解：原式，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
13．在实数，，，中，最小的数是
A．B．C．D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：，
，
在实数，，，中，最小的数是．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
14．如图，数轴上有，，，四点，以下线段中，长度最接近的是
A．线段B．线段C．线段D．线段
【分析】估算出的值，即可解答．
【解答】解：，
，
如上图，数轴上有，，，四点，长度最接近的是线段，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
15．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是
A．2B．C．D．
【分析】将在数轴上表示出来，可得出在数轴上的位置．
【解答】有题意可知，在数轴上的位置如图所示：
，
在，，，四个选项中，只有在数轴上的到之间．
故选：．
【点评】本题主要考查了数轴中相反数的表示，属于基础题．
16．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧），则点表示的数为
A．3.2B．C．D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数．
【解答】解：正方形的面积为5，且，
，
点表示的数是1，且点在点的右侧，
点表示的数为．
故选：．
【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
17．估计的值应在
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【分析】先进行二次根式的混合运算，然后再估算出的值即可解答．
【解答】解：
，
，
，
，
估计的值应在：5和6之间，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
18．已知，，，．若为整数且，则的值为
A．43B．44C．45D．46
【分析】根据题意可知与是两个连续整数，再估算出的值即可．
【解答】解：，，
，
，
为整数且，
的值为：44，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据题意判断与是两个连续整数，再估算出的值是解题的关键．
19．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据已知确定原点位置，即可得到答案．
【解答】解：，
原点在、对应的点之间，
，，，，
故选：．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是确定原点的位置．
20．的平方根是
A．B．5C．D．
【分析】先求出，再根据平方根定义求出即可．
【解答】解：，
的平方根是，
故选：．
【点评】本题考查了对平方根和算术平方根的应用，主要考查学生对平方根和算术平方根的定义的理解能力和计算能力，难度不大．
1．下面关于0的说法，正确的是
A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数
C．0不是有理数D．0的倒数是0
【分析】根据有理数，正数和负数，倒数的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、0既不是正数也不是负数，故符合题意；
、0是整数，不是分数，故不符合题意；
、0是有理数，故不符合题意；
、0没有倒数，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了有理数，正数和负数，倒数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
2．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是
A．B．C．D．
【分析】先观察数轴得出，再根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则，对四个答案依次分析即可．
【解答】解：由图可知：，
，，
则，，
故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了数轴的知识，注意根据、在数轴上的位置，找出它们的大小关系是关键．
3．下列说法中，正确的是
A．不带负号的数都是正数
B．最大的负有理数是
C．一个有理数不是正的就是负的
D．一个有理数不是整数就是分数
【分析】根据有理数，正数和负数的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、不带负号的数都是正数或0，故不符合题意；
、最大的负整数数是，故不符合题意；
、一个有理数不是正的就是负的或0，故不符合题意；
、一个有理数不是整数就是分数，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用，，在数轴上的位置，可以判断出，，再用有理数的加减法则判断即可．
【解答】解：利用数轴，可以判断出，，可得，则选项不符合题意；
由数轴可以看出，，可得，则选项不符合题意；
由数轴可以看出，则，则选项符合题意；
由数轴可以看出，则，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了数轴的有关知识，掌握有理数与数轴上点的对应关系是解决问题的关键．
5．下列各数：，，3.14，，，有理数的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】直接利用有理数的定义（整数和分数统称为有理数）进而判断得出答案．
【解答】解：有理数有，3.14，，共4个．
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键．
6．如图是一个简单的数值运算程序，若开始输入，则最后输出的结果是
A．B．C．D．
【分析】将代入按程序进行计算即可．
【解答】解：当时，，
当时，，
故选：．
【点评】此题考查了运用程序进行有理数混合运算的能力，关键是能准确理解程序并进行正确地计算、辨别．
7．点、在同一条数轴上，其中点表示的数为1，若点到点的距离为4，则点表示的数是
A．3B．5C．3或D．5或
【分析】与点距离为4的点有两个，分别在点左侧4个单位长度和点右侧4个单位长度．
【解答】解：，，
点表示的数是5或，
故选：．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．
8．三位同学在计算：时，用了不同的方法．
嘉嘉说：12的、和分别是3、2和6，所以结果是；
琪琪说：先计算括号里面的数，，再乘12，得结果；
嘉琪说：利用分配律，先把12与、和分别相乘，得结果．
对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是
A．三位同学都用了运算律B．琪琪使用了加法结合律
C．嘉琪使用了分配律D．嘉嘉使用了乘法交换律
【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序，以及运算律，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、琪琪是先算括号里，再算括号外，没有用运算律，故不符合题意；
、琪琪是先算括号里，再算括号外，没有用加法结合律，故不符合题意；
、嘉琪使用了分配律，故符合题意；
、嘉嘉使用了乘法分配律，不是乘法交换律，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的运算顺序，以及运算律是解题的关键．
9．下列说法中正确的个数有
①0是最小的有理数；
②3.3不是整数；
③正有理数、负有理数统称为有理数；
④非负有理数不包括零；
⑤一个有理数不是整数就是分数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数的定义可判断①③⑤；根据整数的定义可判断②，根据非负有理数的定义可判断④．
【解答】解：①因为没有最小的有理数，所以原说法不正确，故①不符合题意；
②3.3是分数，不是整数，原说法不正确，故②不符合题意；
③因为正有理数、负有理数和0统称为有理数，所以原说法不正确，故③不符合题意；
④因为非负有理数包括零，所以原说法不正确，故④不符合题意；
⑤一个有理数不是整数就是分数，所以原说法正确，故⑤符合题意．
所以说法正确的有①，1个．
故选：．
【点评】本题主要考查了有理数，整数，分数，非负有理数，熟练掌握相关的定义进行判定是解决本题的关键．
10．下列说法正确的个数为
（1）0是绝对值最小的有理数；（2）乘以任何数仍得这个数；（3）数轴上原点两侧的数互为相反数；（4）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；（5）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】（1）根据绝对值的性质判断；
（2）举例说明是否符合题意；
（3）根据相反数的定义判断；
（4）举例说明是否符合题意；
（5）根据平方的定义判断．
【解答】解：（1）0是绝对值最小的有理数，符合题意；
（2）乘以负数是这个数的相反数，不符合题意；
（3）数轴上原点两侧的到原点距离相等的数数互为相反数，不符合题意；
（4）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数，如的平方是4，它的立方是，不符合题意；
（5）一对相反数的平方相等，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了绝对值、相反数、有理数的乘方、正数和负数，熟练掌握运算性质是解题的关键．
11．“十四五”期间，我省高端装备制造产业要保持中高速增长，力争到2025年营业收入超过5500亿元，其中数据“5500亿”用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：5500亿．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12．定义一种新的运算：★，如：3★，则5★2的值为
A．B．C．D．
【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：5★，故选：．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
13．估计的取值范围在
A．20到21之间B．6到7之间C．8到9之间D．5到6之间
【分析】利用平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
估计的取值范围在6到7之间，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
14．若，且、为两个连续的正整数，则等于
A．7B．8C．9D．10
【分析】先由题意确定出，的值，再计算出此题的结果．
【解答】解：，
，，
，
故选：．
【点评】此题考查了实数的估算与大小比较的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
15．若，则、，，这四个数中
A．最大，最小B．最大，最小
C．最大，最小D．最大，最小
【分析】利用实数的大小比较来计算即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较方法．
16．实数，，0，，0.15，中，有理数的个数为，无理数的个数为，则的值是
A．2B．3C．7D．5
【分析】根据实数的分类，先求出，的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：实数，，0，，0.15，中，
有理数有：，0，，0.15；无理数有：，；
有理数的个数为4，无理数的个数为2，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
17．下列说法：①是整数；②是分数；③0是有理数；④是无理数，其中正确的是
A．①②B．①③C．②③D．③④
【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答．
【解答】解：①是整数，故①正确；
②是无理数，故②不正确；
③0是有理数，故③正确；
④是有理数，故④不正确；
所以，上列说法，其中正确的是①③，
故选：．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
18．在下列说法中：
①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．
正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①无理数和有理数统称为实数，原说法正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确；
③0的算术平方根是0，原说法正确；
④无限不循环小数都是无理数，原说法错误．
正确的有3个．
故选：．
【点评】本题考查了实数的相关概念、算术平方根的概念，熟记实数的相关概念、算术平方根的概念是解题的关键．
19．下列实数：、0、、0.120135、、0.16、，其中属于无理数的个数是
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：0、，这些是整数，属于有理数；
0.120135、0.16是有限小数，属于有理数；
无理数有，，，共有3个．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
20．已知为整数，且，则等于
A．5B．6C．7D．8
【分析】先估算出与的值的范围，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
为整数，且，
，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
21．若整数满足，则的值是
A．8B．9C．10D．11
【分析】先估算出和的值的范围，然后再估算出和的值答范围，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
整数满足，
的值是10，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
22．对于“”，有下列说法：①它是一个无理数；②它是数轴上离原点个单位长度的点所表示的数；③若，则整数为2；④它表示面积为7的正方形的边长．其中正确的说法是
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【分析】根据无理数的意义，实数与数轴，估算无理数的大小，逐一判断即可解答．
【解答】解：①是一个无理数，故①正确；
②数轴上离原点个单位长度的点所表示的数有和，故②不正确；
③，
，
，
整数为2，
故③正确；
④表示面积为7的正方形的边长，故④正确；
所以，上列说法中正确的说法是①③④，
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
23．已知的整数部分为，的整数部分为，那么的平方根是 ．
【分析】先估算的值的范围，从而估算出和的值的范围，进而求出，的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：，，，，
的整数部分为2，的整数部分为6，，，，
的平方根是，故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
1．估计的值应在
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【分析】先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：原式，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握是解题的关键．
2．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是
A．B．C．0D．2
【分析】根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
【解答】解：，，
原式．
故选：．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
3．若，则
A．B．C．D．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把被开方数化简，根据立方根的概念计算，得到答案．
【解答】解：
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
4．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是
A．B．或C．D．
【分析】以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【解答】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．
故选．
【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母，，，，依次对应0，1，2，，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文
按上述规定，将明文“”译成密文后是 ．
【分析】对应的数字是12，，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是；对应的数字是0，，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是；对应的数字是19，，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是；，所以本题译成密文后是．
【解答】解：、、、、分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为．
故答案为：．
【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
6．在数学中，为了简便，记．，，，，，则 0 ．
【分析】本题需根据有理数混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
【解答】解：
．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意找出规律列出式子并运用简便方法的计算是本题关键．
0.04
4
400
40000
0.2
2
20
200
字母
序号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
字母
序号
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25