2027届高中数学高考一轮复习学案：第八章　第56课时　圆的方程

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1．(北师大版选择性必修第一册P44复习题一A组T2改编)圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0的圆心坐标与半径分别为( )
A．(2，－2)，4B．(－2，2)，4
C．(－2，2)，2D．(2，－2)，2
2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4
3．(人教B版选择性必修第一册P110练习BT4改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞)B．−2，−12
C．−2，12D．(－2，2)
4．(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T4)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x－2)2＋y2＝10D．(x＋2)2＋y2＝10
5．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为___________．
1．圆的定义及方程
[二级结论]
(1)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且DA2+EA2−4·FA>0，即D2＋E2－4AF>0．
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则__________________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则__________________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则__________________________．
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a+rcs θ，y＝b+rsin θ，其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标．
考点一 圆的方程
[典例1] (1)(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．x−432+y−732＝22
D．x−852+(y−1)2＝95
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为___________．





名师点评：几何法求圆的方程时常用的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
[巩固迁移]
1．(2025·北京海淀区二模)圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是___________，半径是___________．
3．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为___________．
考点二 与圆有关的最值问题
斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
建立函数关系求最值
[典例3] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为___________．
利用对称性求最值
[典例4] 已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．2 B．3 C．2 D．3





名师点评：(1)与圆有关的最值问题的三种几何转化法
①斜率型：形如μ＝y−bx−a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
②截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
③距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[巩固迁移]
4．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋322 B．4
C．1＋32D．7
5．已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则PC·PO(O为坐标原点)的取值范围是( )
A．[－3，1]B．[－1，1]
C．[－1，3]D．[1，3]
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是___________．
考点三 与圆有关的轨迹问题
[典例5] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．





名师点评：求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
提醒：注意特殊点的取舍．
[巩固迁移]
7．已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝2|PM|．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
【拓展融合】 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
【拓展典例】 (多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知A(1，0)，M(－2，0)，N(2，0)，直线l：y＝kx＋1，动点P满足|PM|＝3|PN|，则( )
A．点P的轨迹是圆
B．△PMN面积的最大值为3
C．点A到l距离的最大值为2
D．sin∠PMN的最大值为13
【加固训练】 (2025·宁夏吴忠二模)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|＝3，则|PA|2＋|PB|2的最大值为( )
A．16＋83B．8+43
C．7＋43D．3+3
第56课时 圆的方程
以题引理·激活思维
N1．深研教材典题
1．D 2．A 3．C 4．C 5．x2＋y2－2x＝0
N2．储备知识要点
1．定点 定长 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) (a，b) −D2，−E2 12D2+E2−4F
2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (3)(x0－a)2＋(y0－b)2