重庆市永川中学2026届高三下学期考前模拟预测数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市永川中学2026届高三下学期考前模拟预测数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了5C，6B， 实数满足，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 考试时间120分钟，试题满分150分，试卷共4页.
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
3. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号.解答题的过程写在答题卡相应区域内，写在试卷和草稿纸上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）.
1. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ）
A. 6B. 6.5C. 7D. 7.5
【答案】C
【解析】
【分析】首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据个数据的第百分位数的求法求解即可.
【详解】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由，
该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7.
故选：C
2. 复数，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而根据模长公式得.
【详解】复数，
故.
故选：D.
3. 若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式得到集合 ，集合 ，所以由交集的运算得到.
【详解】由得到,则 ，由 ，则
所以集合 ，集合 ，所以
故选B
4. 已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据为、的等差中项得出，结合可求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】一方面，若，由可得，
此时，
则为、的等差中项，
所以“”“为、的等差中项”；
另一方面，若为、的等差中项，所以，
所以，解得，
故“”“为、的等差中项”.
所以“”是“为、的等差中项”的充要条件.
5. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值.
【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为，
所以函数的最小正周期为，所以，所以.
由函数的图象关于点对称，
得，所以.
所以正实数的最小值为.
6. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ）
A. 0.6B. 0.8C. 1.25D. 1.6
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，，代值化简即可求解./
【详解】已知工时递减速率，且,
所以，
由于生产前件产品的平均工时：，
生产前件产品的平均工时：，
所以，
将​，代入：，
则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8
7. 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】设点和，根据题意，得到，代入圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，结合，列出不等式，即可求解.
【详解】因为点在直线上，不妨设点，且，
又因为向量，可得 ，解得，
因为点在圆上，可得，
整理得，
该方程是关于的一元二次方程，存在实数解的充要条件为，
即，整理得，
即，解得，所以实数的最大值为.
8. 实数满足，则（ ）
A. 2025B. 2026C. 2027D. 2028
【答案】C
【解析】
【详解】设，因为，所以当时，，即，
又函数和函数在上都单调递增，
故在上也单调递增，
又，，，
.
二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.
9. 在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）
A. 圆的面积为B. 椭圆的长轴长为
C. 抛物线的焦点到准线的距离为1D. 双曲线的离心率为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD.
【详解】由题意底面半径为1，圆锥高，
对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，
即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确；
对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，
为母线的中点，，，
椭圆的长轴长，B错误；
对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，
以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线方程为，则，解得：，
则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误.
对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，

则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，
设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程得，解得，
所以，故双曲线的离心率为，D正确.
10. 设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二项分布的期望与方差公式可判定A，利用随机变量的期望与方差公式可判定B、C，由正态分布的对称性可判定D.
【详解】依据二项分布相关公式，．
依据正态分布定义，．
故而由期望可加性，A选项正确．
由随机变量数学期望和方差的相关性质，，
，因此B选项正确，C选项错误．
由正态分布的相关性质，有，
而，所以，D选项正确．
故选：ABD
11. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A. “等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形
B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为
D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为
【答案】ABC
【解析】
【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】如图，将“等腰四面体”补成一个长方体.
设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为，，，
与之对应的长方体的长宽高分别为，，，
则，得，，.
结合图形，容易判断出AB都是正确的；
对于C，由，，，得，，，
因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，
所以“等腰四面体”的体积为，故C正确；
对于D，三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为
，故D不正确.
故选：ABC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 用斜二测画法画一个边长为 的正方形，其直观图面积为 .则展开式的常数项为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据斜二测画法求出直观图的面积，进而求出，再根据二项式定理求出展开式的常数项.
【详解】正方形斜二测画法直观图面积为，可得，
展开式的通项公式为，
令，则，
所以展开式的常数项为.
13. 已知定义在上的偶函数满足，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合周期性可得出的值.
【详解】因为定义在上的偶函数满足，所以，
所以，
所以函数是周期为的周期函数，且，
因为，故.
故答案为：.
14. 有正整数，满足，且，现从以上6个正整数中任选3个组成三位数，则组成的不同三位数个数有___________．
【答案】13
【解析】
【详解】若，则无解；
若，则，所以，
因为5为质数，又，所以，解得，
若1的个数小于等于3，
由，可得，
又，代入得，所以，
因为，所以可得，
所以，所以的值只能为4，5，6.
若，只能是，
则，解得，
若，因5是质数，无法分解为两个大于等于2的整数的乘积，故舍去；
若，只能是，
则，解得，
综上所述：若1的个数小于等于3，该方程无正整数解，
所以6个数字为1，1，1，1，2，6.
从中任选3个排成三位数，取3个1，有1种排法；
取2个1，取1个2或1个6，有种排法；
取1，2，6，有种排法；
所以组成的不同三位数个数有.
四、解答题（本题共5小题，共77分）.
15. 我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度(单位：)，与其根茎长度(单位：)之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：
参考数据：，，.
（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系(若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001)；
（2）求y关于x的经验回归方程．
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，
【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，，，，根据，可判断出可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）求出和，从而得到关于的经验回归方程.
【小问1详解】
，，
，
，
，可用线性回归模型拟合与的关系；
【小问2详解】
，，
故关于的经验回归方程为.
16. 的内角的对边分别为，且.
（1）判断的形状；
（2）若为锐角三角形，，求的最大值.
【答案】（1）为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0时的情况即可；
（2）先根据（1）中的结论判断此时为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角B的三角函数求值域，注意角B在锐角三角形中的范围即可.
【小问1详解】
由题意：，
整理得，
故或，
当时，，为直角三角形，
当时，，为等腰三角形，
当且时，，，为等腰直角三角形.
所以为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
【小问2详解】
由（1）知，若为锐角三角形，则一定为等腰三角形，，
由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
当时，即时取最大值，最大值为.
综上，最大值为
17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出；
（2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值；
法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
，分别是和的中点，与平行且xd；
和都垂直于平面，且，与平行且相等，
与平行且相等，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面．
【小问2详解】
设到平面的距离为，
则，故．
法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系，
，，
，，，，
设，则，
，，
设平面的法向量为，则由得
取，得，，因此平面的一个法向量．
由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
法二：延长和交于点，过作于，
平面，，又,，且两直线在平面内，
平面，，
为平面与平面的夹角，
由，得，
而，所以，当且仅当时等号成立；
，，
∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
18. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，.
（1）求p的值.
（2）设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上.
①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由.
②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①存在，24；②存在，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求；
（2）①根据直线轴，得出直线的方程，进而计算平行四边形的顶点坐标，即可计算面积；
②，，当时求出矩形顶点坐标推出矛盾，当时求出矩形顶点坐标，将点坐标代入抛物线方程中求出即可.
【小问1详解】
由抛物线定义知，，解得；
【小问2详解】
由（1）可得抛物线，，
①若四边形FBAD是平行四边形，则，所以直线DF的方程为，
由，得，因为点B，D均在第一象限，所以，
所以，则，
点A到直线DF的距离为6，平行四边形FBAD的面积为，
故存在点B，D，使得四边形FBAD是平行四边形，且其面积为24；

②设，，
若，则，因为在矩形FBED中，，则，
又，则，
而不在上，不符合题意；
若，则直线的斜率，
因为在矩形FBED中，，所以，则，
所以直线FB的方程为，
由点的纵坐标，得，
因为在矩形FBED中，
则，将其坐标代入，得，
解得或（舍），
因为，所以，即，
综上，存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形，此时.

19. 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围；
（3）若，是的极值点，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程求解即得；
（2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，求导研究函数在上的单调性，作出其图象数形结合即可求得参数的范围.
（3）对求导，根据题设可得，由代入化简并放缩得到，令，求导判断其单调性，得到，即得，则得证.
【小问1详解】
当时，，则，
，则，
所以在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
因为在上恰有2个零点，所以在上恰有2个解．
当时，在上单调递增，不符合题意，故，
所以在上恰有2个解，
故可得与的图象有2个不同的交点．
令，则，
所以当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示．
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，解得，
即实数m的取值范围为．
【小问3详解】
因为，所以．
因为是的极值点，所以．
要证，即证．
因为
．
令，则，由解得，
则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即得证，样本编号
1
2
3
4
根茎长度
10
12
14
16
植株高度
62
86
112
132