2025-2026年安徽省滁州市九年级下学期数学中考模拟检测卷

这是一份2025-2026年安徽省滁州市九年级下学期数学中考模拟检测卷，共5页。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
１．数据３，１，５，２，７，２的极差是（＊）
（Ａ）２ （Ｂ）７ （Ｃ）６ （Ｄ）５
２．单项式－的系数为（＊）
（Ａ）２ （Ｂ）－２ （Ｃ）３ （Ｄ）－３
３．不等式组的解集是（＊）
（Ａ）３ （Ｂ）－２≤＜３ （Ｃ）≥－２ （Ｄ）－２＜≤３
４．一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数为（＊）
（Ａ）４ （Ｂ）５ （Ｃ）６ （Ｄ）７
５．如图１，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ的正切是（＊）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
６．已知两条线段的长度分别为２cm、８cm，下列能与它们构成三角形的线段长度为（＊）
（Ａ）４cm （Ｂ）６cm （Ｃ）８cm （Ｄ）１０cm
７．６４的算术平方根与６４的立方根的差是（＊）
（Ａ）－１２ （Ｂ）±８ （Ｃ）±４ （Ｄ）４
８．如图２，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，∠Ａ＝５０°，则∠ＯＢＣ的度数等于（＊）
（Ａ）５０° （Ｂ）４０° （Ｃ）４５° （Ｄ）１００°
９．如图３，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ，ＡＤ＝１，ＢＣ＝３，
则Ｓ△ＡＯＤ︰Ｓ△ＢＯＣ等于（＊）
（Ａ）１︰２ （Ｂ）１︰３ （Ｃ）４︰９ （Ｄ）１︰９
１０．若一次函数＝＋，当的值增大１时，值减小３，则当的值减小３时，值（＊）
（Ａ）增大３ （Ｂ）减小３ （Ｃ）增大９ （ Ｄ）减小９
图3
图1
C
B
A
图2
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
１１．已知∠α＝５０°，则∠α的余角的度数为 ＊ °．
１２．不等式－的解集为 ＊ ．
１３．点（－２，１）关于原点对称的点的坐标为 ＊ ．
１４．在一次数学测验中，某学习小组的六位同学的分数分别是５４，８５，９２，７３，６１，８５．这组数据的平均数是 ＊ ，众数是 ＊ ，中位数是 ＊ ．
图4
B
C
P
D
A
·
１５．计算并化简式子的结果为 ＊ ．
１６．如图４，是以边长为６的等边△ＡＢＣ一边ＡＢ为半径的四分之一圆周，Ｐ为上一动点．当ＢＰ经过弦ＡＤ的中点Ｅ时，四边形ＡＣＢＥ的周长为 ＊ （结果用根号表示）．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
１７．（本小题满分９分）
A
B
C
D
E
F
图5
解方程组：．
１８．（本小题满分９分）
已知，如图５，Ｅ、Ｆ分别为矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ和ＢＣ上的点，ＡＥ＝ＣＦ．
求证：ＢＥ＝ＤＦ．
１９．（本小题满分１０分）
先化简，再求值：，其中＝－．
y
1
x
1
O
图6
B
A
２０．（本小题满分１０分）
如图６，等腰△ＯＡＢ的顶角∠ＡＯＢ＝３０°，点Ｂ在轴上，腰ＯＡ＝４．
（１）Ｂ点的坐标为： ；
（２）画出△ＯＡＢ关于轴对称的图形△ＯＡ１Ｂ１（不写画法，保留画图痕迹），求出Ａ１与Ｂ１的坐标；
（３）求出经过Ａ１点的反比例函数解析式．
（注：若涉及无理数，请用根号表示）
２１．（本小题满分１２分）
在－２，－３，４这三个数中任选２个数分别作为点Ｐ的横坐标和纵坐标．
（１）可得到的点的个数为 ；
（２）求过Ｐ点的正比例函数图象经过第二、四象限的概率（用树形图或列表法求解）；
（３）过点Ｐ的正比例函数中，函数随自变量的增大而增大的概率为 ．
２２．（本小题满分１１分）
图7
在同一间中学就读的李浩与王真是两邻居，平时他们一起骑自行车上学．清明节后的一天，李浩因有事，比王真迟了１０分钟出发，为了能赶上王真，李浩用了王真速度的１.２倍骑车追赶，结果他们在学校大门处相遇．已知他们家离学校大门处的骑车距离为１５千米．求王真的速度．
２３．（本小题满分１３分）
如图７，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半径，连结ＯＢ并延长使ＢＣ＝ＯＢ．
（１）∠ＡＢＣ＝ °；
（２）ＡＣ与⊙Ｏ有什么关系？请证明你的结论；
（３）在⊙Ｏ上，是否存在点Ｄ，使得ＡＤ＝ＡＣ？若存在，请画出图形，并给出证明；若不存在，请说明理由．
２４A
B
C
D
E
图8
．（本小题满分１４分）
如图８，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（两动点都不与端点重合）．
（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是 ；
（２）说出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值时，点Ｐ、点Ｑ的位置，并在图８中画出；
（３）请对（２）中你所给的结论进行证明．
２５．（本小题满分１４分）
已知抛物线＝＋＋－4．
（１）当＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；
（２）求证：无论为什么实数，抛物线都与轴有交点，且经过轴上的一定点；
（３）已知抛物线与轴交于Ａ（1，0）、Ｂ（2，0）两点（Ａ在Ｂ的左边），|1|＜|2|，与轴交于C点，且Ｓ△ABC＝１５．问：过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．
O
y
x
1
备用图
参考答案及评分建议
一、选择题
二、填空题
三、解答题
１７．（本小题满分９分）
解：
解法一（加减法）：①－②×３，………………………………………………３分
得
………………………………………………………５分
…………………………………………………………………………６分
＝－１，…………………………………………………………………………７分
代入②式，得＝２，……………………………………………………………８分
∴原方程组的解为：．…………………………………………………９分
解法二（代入法）：
由②得：，……………………………………………………３分
把③代入①式，……………………………………………………………………５分
得3（）+＝４，………………………………………………………６分
解得＝－１，……………………………………………………………………７分
代入③式，得＝２，……………………………………………………………８分
∴原方程组的解为：．…………………………………………………９分
１８．（本小题满分９分）
证法一：∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，
∴ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°．…………………………………………４分
在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，……………………………………………………５分
∵， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ），……………………８分
∴ＢＥ＝ＤＦ（全等三角形对应边相等）．…………………………………９分
证法二：∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，
∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，…………………………………………………３分
又∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＡＤ－ＡＥ＝ＢＣ－ＣＦ，……………………………５分
即ＥＤ＝ＢＦ，…………………………………………………………………６分
而ＥＤ∥ＢＦ，
∴四边形ＢＦＤＥ为平行四边形………………………………………………８分
∴ＢＥ＝ＤＦ（平行四边形对边相等）．……………………………………９分
１９．（本小题满分１０分）
解：
＝………………………………………………………５分
＝…………………………………………………………６分
＝………………………………………………………………………７分
当＝－时，………………………………………………………………８分
原式＝４×（－）＋１３
＝－６＋１３……………………………………………………………９分
＝７………………………………………………………………………１０分
２０．（本小题满分１０分）
解：（１）（４，０）；…………………………………………………………１分
（２）如图１，过点Ａ作ＡＣ⊥轴于Ｃ点．………………………………２分
在Ｒt△ＯＡＣ中，∵斜边ＯＡ＝４，∠ＡＯＢ＝３０°，
∴ＡＣ＝２，ＯＣ＝ＯＡ·cs３０°＝２，……………………………４分
∴点Ａ的坐标为（２，２）．………………………………………………５分
由轴对称性，得Ａ点关于轴的对称点
Ａ１的坐标为（－２，２），………………………………………………６分
Ｂ点关于轴的对称点Ｂ１的坐标为（－４，０）；…………………………７分
（３）设过Ａ１点的反比例函数解析式＝，……………………………８分
把点Ａ１的坐标（－２，２）代入解析式，
得２＝，∴＝－４，………………………………………………９分
y
1
x
1
O
图1
B
A
A1
B1
C
从而该反比例函数的解析式为＝－．…………………………………１０分
２１．（本小题满分１２分）
解：（１） ６ ；……………………………………………………………………３分
（２）树形图如下：
点P的横坐标
点P的纵坐标
－2
－3
4
－3
－2
4
－2
4
－3
……………６分
所经过的６个点分别为
Ｐ１（－２，－３）、Ｐ２（－２，４）、Ｐ３（－３，－２）、
Ｐ４（－３，４）、Ｐ５（４，－２）、Ｐ６（４，－３），……………………………８分
其中经过第二、四象限的共有４个点，………………………………………………９分
∴Ｐ（经过第二、四象限）＝＝；……………………………………………１０分
列表法：
……………………………………………………………………………………………６分
所经过的６个点分别为
Ｐ１（－２，－３）、Ｐ２（－２，４）、Ｐ３（－３，－２）、
Ｐ４（－３，４）、Ｐ５（４，－２）、Ｐ６（４，－３），……………………………８分
其中经过第二、四象限的共有４个点，………………………………………………９分
∴Ｐ（经过第二、四象限）＝＝；……………………………………………１０分
（３）．……………………………………………………………………………１２分
２２．（本小题满分１１分）
解：设王真骑自行车的速度为千米／时，……………………………………１分
则李浩的速度为１.２千米／时．
根据题意，得．…………………………………………………６分
即，两边同乘以去分母，
得７５＋＝９０，………………………………………………………………８分
解得＝１５．……………………………………………………………………９分
经检验，＝１５是该分式方程的根．………………………………………１０分
答：王真的速度为１５km／时．………………………………………………１１分
２３．（本小题满分１３分）
解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分
（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切线．……………………………………………………３分
证法一
∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ为等边三角形，…………………………４分
∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分
∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ，
∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分
又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ，
即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分
在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°，
∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分
∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线；
证法二：
∵ＢＣ＝ＯＢ，∴点Ｂ为边ＯＣ的中点，……………………………………４分
即ＡＢ为△ＯＡＣ的中位线，…………………………………………………５分
∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是边ＯＣ的一半，……………………………６分
∴△ＯＡＣ是以ＯＣ为斜边的直角三角形，…………………………………７分
∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分
∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线；
（３）存在．……………………………………………………………………９分
方法一：
如图２，延长ＢＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………１０分
证明如下：
连结ＡＤ，∵ＢＤ为直径，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分
在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中，
∵，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分
∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分
（也可由ＯＣ＝ＢＤ，根据ＡＡＳ证明；或ＨＬ证得，或证△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ）
方法二：
如图３，画∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分
ＯＤ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………………………１１分
∵∠ＯＢＡ＝６０°，
∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°．
在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中，
∵，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分
图2
图3
∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分
２４．（本小题满分１４分）
解：（１） ；…………………………………………………………２分
（２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分
ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分
过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分
（３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高，
∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分
∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点，
且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ，
∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分
∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．
下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值：
在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ１（图5）．…………………………………９分
①过Ｑ１点作Ｑ１Ｆ１⊥ＡＣ于点Ｆ１，………………………………………１０分
过Ｑ１点作Ｑ１Ｐ１⊥ＡＤ于点Ｐ１，…………………………………………１１分
则Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＝Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１，
由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短，
∴得Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＦＱ＋ＤＱ，
即Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分
②若Ｐ２是ＡＤ上异于Ｐ１的任一点，………………………………………１３分
可知斜线段Ｐ２Ｑ１＞垂线段Ｐ１Ｑ１，………………………………………１４分
∴Ｐ２Ｑ１＋ＤＱ１＞Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．
从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小．
P
Q
A
B
C
D
E
图5
F
P2
Ｑ1
F1
P1
P
Q
A
B
C
D
E
图4
F
２５．（本小题满分１４分）
解：（１）当＝２时，抛物线为＝＋，…………………………１分
配方：＝＋＝＋＋１－１
得＝－１，
∴顶点坐标为（－１，－１）；………………………………………………３分
（也可由顶点公式求得）
（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分
此一元二次方程根的判别式
⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分
∵无论为什么实数，≥０，
方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分
即抛物线总与轴有交点．
由求根公式得＝，………………………………………………７分
当≥４时，＝，
1＝＝－２，2＝＝－＋２；
当＜４时，＝，
1＝＝－＋２，2＝＝－２．
即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０），
而点（－２，０）是轴上的定点；…………………………………………８分
（３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点．…………………９分
设此点为Ｄ．∵|1|＜|2|，C点在y轴上，
由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点．……………………………１０分
由于圆和抛物线都是轴对称图形，
过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．……………………１１分
∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称，
∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个
交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称．……………………………………１２分
由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）：
当－２＜－＋２，即＜４时，……………………………………………１３分
Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）．
即1＝－２，2＝－＋２．
由|1|＜|2|得－＋２＞２，解得＜０．
根据Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．
ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，
ＯＣ＝|２－４|＝４－２，
∴（４－）（４－２）＝１５，
化简整理得＝０，
解得＝７（舍去）或＝－１．
此时抛物线解析式为＝，
其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６），
它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）；………………………………１４分
当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边，
知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）．
O
y
x
C
1
D
B
A
图6
即1＝－＋２，2＝－２．
但此时|1|＞|2|，这与已知条件|1|＜|2|不相符，
∴不存在此种情况．
故第四个交点的坐标为（１，－６）．
（如图６）
题 号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
答 案
Ｃ
Ｂ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
题 号
１１
１２
１３
１４
１５
１６
答 案
４０
＜－３
（２，－１）
７５，８５，７９
－
１２＋６
（－２，－３）
（－２，４）
（－３，－２）
（－３，４）
（４，－２）
（４，－３）