2025届永城市高考数学二模试卷含解析

这是一份2025届永城市高考数学二模试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．36 cm3B．48 cm3C．60 cm3D．72 cm3
2．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
3．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）
A．B．C．D．
6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
7．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．
8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知集合，，则
A．B．
C．D．
11．设，则
A．B．C．D．
12．是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．
14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.
15．已知等差数列的前n项和为Sn，若，则____.
16．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.
19．（12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
20．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；
（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
附：，
21．（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
22．（10分）已知函数，其导函数为，
（1）若，求不等式的解集；
（2）证明：对任意的，恒有.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.
考点：三视图和几何体的体积.
2．A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
3．B
【解析】
由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.
【详解】
解：显然是偶函数
所以只需时，有且只有2个零点即可
令，则
令，
递减，且
递增，且
时，有且只有2个零点，
只需
故选：B
考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.
4．C
【解析】
设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.
【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得.
所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.
故选：C.
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
5．B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
6．A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
7．D
【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．
8．C
【解析】
由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.
【详解】
解：由题意知：，，设，则
在中，列勾股方程得：，解得
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
故选C.
本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.
9．D
【解析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．
【详解】
由条件可得
函数关于直线对称；
在，上单调递增，且在时使得；
又
，，所以选项成立；
，比离对称轴远，
可得，选项成立；
，，可知比离对称轴远
，选项成立；
，符号不定，，无法比较大小，
不一定成立．
故选：．
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．D
【解析】
因为，，
所以，，故选D．
11．C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
12．B
【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
【详解】
设对应的集合是，由解得且
对应的集合是 ，所以，
故是的必要不充分条件，故选B。
本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。
设 ，
如果，则是的充分条件；如果B则是的充分不必要条件；
如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
如图，是切点，是的中点，因为，所以，又，所以，，又，根据双曲线的定义，有，即，两边平方并化简得，所以，因此.
14．1
【解析】
设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．
【详解】
抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
据得.设，
则.
线段垂直平分线方程为，令，则，所以，
所以.
故答案为：1．
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
15．
【解析】
由，，成等差数列，代入可得的值.
【详解】
解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，
可得：，代入，
可得：，
故答案为：.
本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.
16．2
【解析】
试题分析：，与的夹角等于与的夹角，所以
考点：向量的坐标运算与向量夹角
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），；（2）.
【解析】
（1）令可求得的值，令，由得出，两式相减可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，，得，即，
所以，数列是首项为，公比为 的等比数列，.
；
（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，
.
，
.
所以.
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
18．（1）（2）
【解析】
（1）直接利用极坐标公式计算得到答案
（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.
【详解】
（1）因为，所以，
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）由题意可设，
则点到直线的距离.
因为，所以，
因为，故的最小值为.
本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；
（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.
试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直.
设其直线方程为，代入（1）得
.
设，则，.
由，得，解得.
从而.
于是.
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
20．（1）190（2）见解析 （3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【解析】
（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；
（2）由茎叶图可得列联表；
（3）由列联表计算可得结论．
【详解】
解：（1）．
（2）
（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．
21．（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.
（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.
（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【详解】
（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，
是递增数列，∴，
∴的前项和.
（2）证明：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的“极差数列”仍是
（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，
，
根据，的定义，得：
，，且两个不等式中至少有一个取等号，
当时，必有，∴，
∴是一个单调递增数列，∴，，
∴，
∴，∴是等差数列，
当时，则必有，∴，
∴是一个单调递减数列，∴，，
∴，
∴.∴是等差数列，
当时，，
∵，中必有一个为0，
根据上式，一个为0，为一个必为0，
∴，，
∴数列是常数数列，则数列是等差数列.
综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22．（1） （2）证明见解析
【解析】
（1）求出的导数，根据导函数的性质判断函数的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；
（2）构造函数，利用导数判断在区间上单调递减，结合可得结果.
【详解】
（1）若，则.
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又当时，；当时，；当时，，
所以
所以在上单调递增，
又，所以不等式的解集为.
（2）设，再令，
，
在上单调递减，
又，
，
，
，
，
.
即
本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.
抗倒伏
易倒伏
矮茎
高茎
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
抗倒伏
易倒伏
矮茎
15
4
高茎
10
16