湖南省永州市2025届高三下学期模拟考试（二）数学试卷（解析版）

这是一份湖南省永州市2025届高三下学期模拟考试（二）数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=-1,0,2，B=x∣xx-1=0，则A∪B=（ ）
A．0B．0,1,2C．-1,0,1,2D．-1,0,2
【答案】C
【解析】由已知集合B=x∣xx-1=0=0,1，所以A∪B=-1,0,1,2.
故选：C
2．在复平面内，复数z=i-ai对应的点坐标为1,-2，则实数a=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】D
【解析】因为z=i-ai=i-aii2=1+ai，则复数z在复平面内对应的点为1,a，
又复数z=i-ai对应的点坐标为1,-2，所以a=-2.
故选：D
3．已知向量a=(m+1,2)，b=(1,m).若a⊥b，则m的值为（ ）
A．1B．-2C．13D．-13
【答案】D
【解析】由a⊥b，得m+1+2m=0，解得m=-13.
故选：D.
4．若抛物线y=12x2的准线为直线l，则l截圆C:x2+y2=1所得的弦长为（ ）
A．3B．32C．374D．378
【答案】A
【解析】抛物线x2=2y的准线方程为y=-12，
圆C的圆心为原点，半径为1，圆心到直线l的距离为d=12，
所以，l截圆C所得的弦长为21-122=3，
故选：A.
5．已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，t的平均数为t，方差为s12，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为s22，则（ ）
A．s12>s22B．s12=s22
C．s120，
所以s120，
由e3x>0,eln3xy>0,ln3xy⋅eln3xy=3xe3x得，ln3xy>0.
设ft=tet，t>0，则f't=t+1et>0，
∴ft在0,+∞上单调递增，
∵fln3xy=f3x，∴ln3xy=3x，
∴3xy=e3x，即y=e3x3x，x>0，
∴y'=3x-1e3x3x2，令y'=3x-1e3x3x2=0，得x=13，
当x∈0,13时，y'0，
所以fx在-∞,-ln2a上单调递减，在-ln2a,+∞上单调递增.
综上，当a≤0时，fx在-∞,+∞单调递减；
当a>0时，fx在-∞,-ln2a上单调递减，在-ln2a,+∞上单调递增.
（2）若a≤0，由（1）知，fx至多有一个零点.
若a>0，由（1）知，当x=-ln2a时，fx取得最小值，最小值为f-ln2a=1-12a+ln2a.
①当a=12时，由于f-ln2a=0，故fx只有一个零点；
②当a∈12,+∞时，因为1-12a单调递增，ln2a单调递增，所以1-12a+ln2a单调递增，
所以1-12a+ln2a>1-12×12+ln2×12=0，f-ln2a>0，故fx没有零点；
③当a∈0,12时，由于1-12a+ln2a0，
故fx在-∞,-ln2a有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln32a-1，则fn0=en02aen0+2a-2-n0>en0-n0>0，
故fx在-ln2a,+∞有一个零点.
综上，a的取值范围为0,12.
18．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
（2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为35，12．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
解：（1）零假设为H0：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得χ2=200×(65×50-35×50)2100×100×115×85≈4.604