湖南省永州市2025届高三上学期二模数学试卷 含答案

这是一份湖南省永州市2025届高三上学期二模数学试卷 含答案，共8页。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的关系是（ ）
A. 垂直 B. 共线 C. 夹角为 D. 夹角为
4. 已知函数 是 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 作 x 轴的垂线交 C 于 A、B 两点，
其中点 A 在第一象限，且 .若 P 是 C 上的动点，则满足 是直角三角形的点 P 的个数为
（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
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6. 正三棱台 的上、下底边长分别为 6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和
三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 已知数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 所有项恒大于等于 B. 若 ，则 是单调递增数列
C. 若 是常数列，则 D. 若 ，则 是单调递增数列
8. 在平面直角坐标系 xOy 中， ， ， ，其中 ， ， ，则当
面积最小时， （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
9. 设样本空间 含有等可能的样本点，且 ， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 斜率为 2 的直线 l 与双曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，与
双曲线交于 C，D 两点，P 是线段 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B. P 也是线段 的中点
C. 若 l 过双曲线的焦点，则直线 的斜率是
D. 若 l 过双曲线的焦点，点 P 的坐标为 ，则
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11. 已知 的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
① ；
② ；
③当 时， ，其中
下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 恰有两个整数解
C. 若 ， ，则 ， ， 中至少有两个相等
D 若 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 _________.
13. 用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相
同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用
了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有________种.
14. 在平面直角坐标系 xOy 中，射线 ， ，半圆 C： .现从
点 向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线 、 时会发生镜面反射.设光
线在发生反射前所在直线的斜率为 k，若光线始终与半圆 C 没有交点，则 k 的取值范围是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， ， .
（1）求 的外接圆半径；
（2）若 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
16. 如图，正方体 的棱长为 1，点 M，N 分别在线段 ， 上，且 ，
.
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（1）若 ，证明： ；
（2）若 ，点 P，Q 分别在直线 ， 上，且 ， ，求 的取值范围.
17. 箱子里有四张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概
率均为 ，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：
（a）第一次抽取的卡片上写的数字是 4；
（b）设 n 为大于等于 2 的整数，第 n 次抽取的卡片上写的数字大于第 次抽取的卡片上写的数字.例如，
当记录的数字依次为 3，2，2，4 时，这个操作在第 4 次结束.
（1）若操作进行了 4 次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
（2）求操作在第 n 次结束的概率.
18 已知函数 ， .
（1）设直线 与曲线 交于点 P，求 P 点纵坐标 最小值；
（2）a 取遍全体正实数时，曲线 在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数 ，求
的解析式；
（3）证明：当 时，对任意正实数 a， .（附： ）
19. 在直角坐标系 xOy 中，椭圆 经过点 ，短半轴长为 .过点
作直线 l 交 C 于 A，B 两点，直线 PA 交 y 轴于点 M，直线 PB 交 y 轴于点 N，记直线 PA，PB 的斜
率分别为 和 .
（1）求 C 的标准方程；
（2）证明 是定值，并求出该定值；
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（3）设点 ，证明 C 上存在异于其上下顶点的点 Q，使得 恒成立，并求出所有满足
条件的 Q 点坐标.
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永州市 2025 年高考第二次模拟考试
数学
本试卷共 6 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
【1 题答案】
【答案】B
【2 题答案】
【答案】D
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】A
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】D
【7 题答案】
【答案】C
【8 题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
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【9 题答案】
【答案】ABD
【10 题答案】
【答案】ABD
【11 题答案】
【答案】AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
【12 题答案】
【答案】
【13 题答案】
【答案】2
【14 题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15 题答案】
【答案】（1）
（2）
【16 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17 题答案】
【答案】（1）15； （2）操作在第 n 次结束的概率为 .
【18 题答案】
【答案】（1） 点纵坐标的最小值为 ；
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（2） ；
（3）证明见解析.
【19 题答案】
【答案】（1） ；
（2） ，证明见解析；
（3）证明见解析， 或
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