湖南省永州市2025届高三下学期模拟考试（二）数学试卷 含解析

这是一份湖南省永州市2025届高三下学期模拟考试（二）数学试卷 含解析，文件包含深圳市龙岗区2025-2026学年第二学期学科素养巩固四年级英语期中Unit1-Unit4含答案+听力材料pdf、25-26下龙岗4年级英语U1-4听力音频mp3等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
命题人：宁远县第三中学胡巧波 审题人：宁远县第三中学胡巧波
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 ，依据并集的定义计算即可.
【详解】解：由已知集合 ，所以 .
故选：C
2. 在复平面内，复数 对应的点坐标为 ，则实数 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简 ，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为 ，则复数 在复平面内对应的点为 ，
又复数 对应的点坐标为 ，所以 .
故选：D
3. 已知向量 ， .若 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解.
第 1页/共 21页
【详解】由 ，得 ，解得 .
故选：D.
4. 若抛物线 的准线为直线 ，则 截圆 所得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出准线 的方程，进而可求出圆心到直线 的距离，结合勾股定理可求得结果.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
圆 的圆心为原点，半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，
所以， 截圆 所得的弦长为 ，
故选：A.
5. 已知互不相等的数据 ， ， ， ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，数据 ， ， ， ，
， 的方差为 ，则（ ）
A. B.
C. D. 与 的大小关系无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给数据分别计算 、 比较大小即可求解.
【详解】根据已知条件第一组数据的个数为 个，且 ，
所以 ，
，
第 2页/共 21页
第二组数据的个数为 个，且平均数 ，
，
因为 ，
所以 .
故选：C
6. 我们曾学习过碳 14 的半衰期约为 5730 年（即碳 14 大约每过 5730 年衰减为原来的一半），即经过 年后，
碳 14 的含量 （ 为碳 14 的初始含量， 为常数），则碳 14 含量由原来的 衰减为 大
约需要经过（ ）
（参考数据： ）
A. 2292 年 B. 2456 年 C. 2674 年 D. 2838 年
【答案】B
【解析】
【分析】利用半衰期的意义求出 ，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【详解】依题意，当 时， ，即 ，解得 ，
设经过 年碳 14 含量衰减为原来的 ，经过 年碳 14 含量衰减为原来的 ，
则 ，即 ，所以
.
故选：B
7. 已知 是公差不为 0 的等差数列，其前 项和为 ，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
第 3页/共 21页
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“ ”能否推出“ ”以及“ ”能
否推出“ ”，进而确定两者之间的条件关系.
【详解】若 ，这意味着 是数列 中的最小值.
因为 是公差不为 的等差数列，所以该数列的前 项和 是关于 的二次函数（且二次项系数不为 ），
其图象是一条抛物线.
当 是最小值时，说明从第 项开始数列的项变为正数，即 ，且 .
所以由“ ”可以推出“ ”，充分性成立.
若 ，仅知道第 项是非正的，但无法确定 就是 的最小值.
例如， ， 就不是最小值，即不能推出 ，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：C
8. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 原 等 式 变 形 为 ， 构 造 函 数 ， 分 析 单 调 性 可 得
，等价变形为 ，根据函数单调性可得 的最小值.
【详解】由 ，得 ，故 .
由题意得， ， ，
由 得， .
设 ， ，则 ，
∴ 上单调递增，
∵ ，∴ ，
第 4页/共 21页
∴ ，即 ， ，
∴ ，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
∴当 时， 取极小值也是最小值，最小值为 ．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 8，6，4，11，3，7，9，10 的上四分位数为 9
B. 若 ， ，且 ，则 C，D 相互独立
C. 某物理量的测量结果服从正态分布 ， 越大，该物理量在一次测量中在 的概率越
大
D. 若样本数据 的平均数为 4， 的平均数为 22，则样本数据
，9 的方差为 20
【答案】BD
【解析】
【分析】A 选项利用上四分位数的计算方法进行计算；B 选项利用对立事件及条件概率公式进行检验；C 选
项利用正态分布中 的意义进行解释；D 选项利用方差公式进行计算.
【详解】对于 A 选项，将数据从小到大排列为 3，4，6，7，8，9，10，11，共 8 个数，
则 ，则上四分位数为 ，故 A 错误；
对于 B 选项， ， ，
第 5页/共 21页
由条件概率公式得 ，得到 ，
即 C，D 相互独立，故 B 正确；
对于 C 选项， ， ，
由对称性可知在 的概率等于在 的概率的 2 倍，
当 越大，数据越离散，其概率越小，故 C 错误；
对于 D 选项，由样本数据 ， ， ， ， 的平均数为 4，
得 ， ， ， ， ，4 的平均数为 4，
由 ， ， ， ， 平均数为 22，得 ，
因此 ， ， ， ， ，4 的方差为 ，
， ， ， ， ，9 的方差为 ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 2025 年春节档共上映 6 部电影全国电影票房达 95.1 亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒
之魔童闹海》和《唐探 1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这 6 部电影，则（ ）
A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探 1900》放在相邻次序观看，则共有 120 种观看顺序
B. 若《唐探 1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有 360 种观看顺序
C. 若将 6 部电影每 2 部一组随机分为 3 组，则共有 90 种分组方式
D. 若将 6 部电影随机分为 2 组，则共有 31 种分组方式
【答案】BD
【解析】
【分析】根据捆绑法计算求解 A，应用全排列计算 B，根据平均分组计算判断 C，分类分组计算判断 D.
【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探 1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，
与其余 4 部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为 种，故 A 错误；
若《唐探 1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在 6 部电影的全排列中，
《唐探 1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，
第 6页/共 21页
故共有 种观看顺序，故 B 正确；
若将 6 部电影每 2 部一组随机分为 3 组，
则可以从 6 部电影中先选出 2 部，再从 4 部电影中选出 2 部，最后除以 消除重复情况，
故分组方式为 ，故 C 错误；
若将 6 部电影随机分为 2 组，则可按两组分别有 1 和 5 部、2 和 4 部、3 和 3 部电影的三种情况分组，
按 1 和 5，有 种分组方式；
按 2 和 4，有 种分组方式；
按 3 和 3，有 种分组方式，
所以共有 31 种分组方式，故 D 正确.
故选：BD.
11. 曲线的形状类似希腊字母“ ”，其方程为 .若点 在 曲线上，
，则（ ）
A. 当 在第一象限时，
B. 当 第四象限时，
C. 直线 与 曲线的所有交点的横坐标之和大于 6
D. 直线 与 曲线恰有 4 个公共点
【答案】BC
【解析】
【分析】去绝对值，结合椭圆、双曲线的性质、直线与椭圆、双曲线的位置关系，逐项判断即可.
【详解】当 时， 可化为 ， 为椭圆 的两
个焦点，则 ，A 错误.
第 7页/共 21页
当 时， 可化为 ， 为双曲线 的两个焦
点，则 ，B 正确.
当 时， 可化 ，所以点 不可能在第三象限.
当 时， 可化为 ，所以 曲线由三段曲线组成，其图形如图所示，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以直线 与曲线 无公共点.
将 代入 ，得 ，
由图可知直线 与曲线 有 2 个交点，则这 2 个交点的横坐标之和为
，其中 1 个交点为 .
将 代入 ，得 ，由图可知直线 与曲线
有 2 个交点，则这 2 个交点的横坐标之和为 ，其中 1 个交点为 ，
所以直线 +4 与 曲线的所有交点的横坐标之和为 ，C 正确.
结合双曲线 与 的渐近线的斜率，
第 8页/共 21页
由图可知直线 与曲线 有 2 个公共点，
与曲线 只有 1 个公共点，
与曲线 没有公共点，
所以直线 与 曲线恰有 3 个公共点，D 错误.
故选：BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ， 均为单位向量，且 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】作出图形，利用向量加法的几何意义求得答案.
【详解】作 ，以线段 为一组邻边作平行四边形 ，如图，
则 ，而 ， 均为单位向量，则 ，
因此 为菱形， .
故答案为：
13. 已知三棱锥 的各顶点均在半径为 2 的球 球面上， ， ，
则三棱锥 体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理得到 ，结合三棱锥体积公式分析得到体积最大时 同时最大，利用余弦
定理结合基本不等式求解 最大值，再使用线面角的定义得到 ，结合勾股定理求出
第 9页/共 21页
，进而分析出点面距离最大的情况并求出 ，最后求解体积的最大值即可.
【详解】由正弦定理可得 ，而 ，
则 ，解得 ，设 到面 的距离为 ，而 ，
如图，我们作出符合题意的三棱锥 ，连接 ，
若三棱锥 的体积最大，则 同时最大即可，
由三角形面积公式得 ，
由余弦定理得 ，
则 ，
得到 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 时取等，
故 ，则 ，
解得 ，即 ，故 面积取得最大值为 ，
由题意得球的半径为 2， ，设球心到面 的距离为 ，
由勾股定理得 ，则 到平面 的距离为 ，
第 10页/共 21页
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
而 ，故 ，则直线 与平面 所成角为 ，
因为三棱锥 的各顶点均在半径为 2 的球 球面上，
所以 ，而 ，故 ，而 ，
则故 是以 为顶点的等腰直角三角形，得到 ，
即 ，当面 垂直于平面 时，点 到平面 的距离最大，
最大距离为 ，
故三棱锥 体积的最大值为 ．
故答案为：
14. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 的两条相互垂直的切线的交点的轨
迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 .已知椭圆 的焦点在 轴
上， 、 为椭圆 上任意两点，动点 在直线 上.若 恒为锐角，根据蒙日圆的相
关知识，则椭圆 离心率的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，直线 与圆 相离，利用直线与圆的位置关系可求出 的
取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆 的离心率.
【详解】由题意可知 ，圆 即为椭圆 蒙日圆，
因为 、 为椭圆 上任意两点，动点 满足 恒为锐角，
则点 在圆 外，
又因为动点 在直线 上，则直线 与圆 相离，
第 11页/共 21页
所以， ，解得 ，
则 ，即 ，
因此，椭圆 的离心率的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足 ， ，且对任意的 ， ，都有 .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义证明 为等差数列，再结合 求出 得到 的首项，
利用等差数列的定义求出 的通项公式；
（2）结合（1）求出 ，再代入求出 的通项公式，再利用裂项相消法求出前 项和为 ，即可
证明 .
【小问 1 详解】
第 12页/共 21页
依题意，对任意的 ， ，都有 ，
故对任意的 ， ， ，
所以对任意的 ， ， ，即 为定值，
所以数列 是公差为 2 的等差数列，
据 ， ，得 ， ，
所以 ，解得 ，故 ，
所以
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
所以当 ， ，
，
又 符合上式，所以
所以 ，
故
，
因为 ， ，
所以
16. 如图，在四棱锥 中，三角形 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， ，
， ，E 为 PD 的中点.
第 13页/共 21页
（1）证明： 平面 PAB；
（2）若 ，求直线 CE 与平面 PBC 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 PA 中点为 F，连接 EF，FB，通过证明 可完成证明；
（2）通过证明 ，可建立如图所示空间直角坐标系，求出平面平面 PBC 法向量，然后由
空间向量知识可得答案.
【小问 1 详解】
取 PA 中点为 F，连接 EF，FB，则 ，
且 ，从而四边形 为平行四边形.
则 ，又 平面 PAB， 平面 PAB，则 平面 PAB；
【小问 2 详解】
如图取 AD 中点为 O，连接 OP，OB.
因三角形 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， ，
则 .因 ， ，
则四边形 为平行四边形，则 ， ，结合 ，
则 ， ，结合 ，则 为等边三角形，
得 .又 ， ，则 ，故 .
又 ， 平面 ADCB，则 .
故如图建立以 O 为坐标原点的空间直角坐标系.
第 14页/共 21页
则 ，
因 E 为 PD 的中点，则 .
从而 ， ， .
设平面 PBC 法向量为 ，则 ，
取 ，设直线 CE 与平面 PBC 的夹角为 ，
则 ，从而 .
17. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，分 ， 结合导数正负求单调性；
（2）由（1）知 时， 在 上单调递增，不符合题意，可知 ，若 有两个零点，
由（1）知 ，分别证明 在 有一个零点.， 在
第 15页/共 21页
有一个零点.
【小问 1 详解】
的定义域为 ，
若 ，则 ，则 在 单调递减；
若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
若 ，由（1）知， 至多有一个零点.
若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 单调递增，
所以 ， ，故 没有零点；
③当 时，由于 ，即 ，
又 ，
故 在 有一个零点.
设正整数 满足 ，则 ，
故 在 有一个零点.
第 16页/共 21页
综上， 的取值范围为 .
18. “你好！我是 DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任
务交给我吧”，DeepSeek 从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI 大
模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对 DeepSeek 的使用情况，随机调查了 200
人，得到如下数据：
单位：人
使用情况
学历 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为 DeepSeek 的使用情况与学历有关？
（2）某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3 道题目，甲、乙同
时依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得 0 分；
若一人答对另一人答错，答对的得 10 分，答错的得 分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独
立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为 ，
．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
第 17页/共 21页
【答案】（1）认为 DeepSeek 的使用情况与学历无关
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）先假设 DeepSeek 的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和 6.635
去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；
（2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能
情况，再根据 重伯努利实验的概率计算式计算即可；
（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对 1 道题的概率，再按照
条件概率的计算式计算即可.
【小问 1 详解】
零假设为 ：DeepSeek 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得 ，
依据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即认为 DeepSeek 的使用情况与学历无关；
【小问 2 详解】
（ⅰ）当甲，乙同时回答第 道题时，甲得分为 ，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分 可能的取值为 10，20，30，
则 ，
，
第 18页/共 21页
，
所以比赛结束后甲获胜的概率 ；
（ⅱ）设 “比赛结束后甲获胜”， “比赛结束时乙恰好答对一道题”，
，
则 ，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率为 ．
19. 二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数
的图象可以由 的图象沿向量 平移得到; 抛物线 ，即 的焦点坐标为
，准线方程为 ; 故二次函数 的焦点坐标为 ，准线方程为 .
（1）求二次函数 的焦点坐标和准线方程；
（2）求二次函数 的焦点坐标和准线方程；
（3）设过 的直线与抛物线 的另一个交点为 ，直线 与直线 交于点 ，
过点 作 轴的垂线交抛物线 于点 . 是否存在定点 ，使得 三点共线? 若存在，
请求出定点 的坐标; 若不存在，请说明理由.
【答案】（1）焦点坐标为 ，准线方程为 ．
（2）焦点坐标为 ，准线方程为 ．
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数平移得出焦点 的坐标和准线方程；
（2）首先配成顶点式，再根据向量平移得到焦点坐标与准线方程；
第 19页/共 21页
（3）先考虑过 的直线与抛物线 的另一个交点为 ，直线 与直线 交于点 ，
过点 作 x 轴的垂线交抛物线 于点 ，讨论是否存在定点 ，使得 三点共线；设设
，表示出直线 的方程，即可求出 ，从而求出 的坐标，表示出直线 的方程，求
出定点坐标，即可得解.
【小问 1 详解】
二次函数 ，
它的图象可以由抛物线 沿向量 平移得到；
抛物线 即 的焦点坐标为 ，准线方程为 ；
所以二次函数 的焦点坐标为 ，准线方程为 ．
【小问 2 详解】
二次函数 ，
它的图象可以由抛物线 沿向量 平移得到；
抛物线 即 的焦点坐标为 ，准线方程为 ；
所以二次函数 的焦点坐标为 ，
准线方程为 ；
即二次函数 的焦点坐标为 ，准线方程为 ．
【小问 3 详解】
由（1）知抛物线 可以由抛物线 沿向量 平
移得到；
先考虑如下问题：过 的直线与抛物线 的另一个交点为 ，直线 与直线 交于
第 20页/共 21页
点 ，过点 作 x 轴的垂线交抛物线 于点 ，讨论是否存在定点 ，使得 三点共线；
设 ，又 ，则直线 的方程为： ，化简得： ，
与 直 线 联 立 得 ： ， 代 入 得 ： ， 即
，
则直线 的方程： ，
化简得 ；
当 时， 恒成立，所以直线 恒过定点 ，即存在定点 ，使得 三点
共线；
故存在定点 ，使得 三点共线．
第 21页/共 21页