2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷卷(2)(含解析)(范围：人教A版选择性必修1-3)

这是一份2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷卷(2)(含解析)(范围：人教A版选择性必修1-3)，共12页。试卷主要包含了已知𝑓 =，已知 F 为抛物线𝐶等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数?(1 + i) = 1−i，则|?| = （ ）
2
5
A．1B．2C．D．
2．直线?1，?2的斜率分别为 1，2，?1，?2夹角为?，则sin2? = （ ）
3433
A．4B．5C．5D．10
?−2,? < 0
3．已知?(?) =
A．− 3
2
csπ?,? ≥ 0 ，则? ?(−2) = （ ）
1
B．0C．2
D． 2
2
4．在等差数列{??}中，前?项和为??，若?25 = 5(?2 + ?6 + ?10 + ?14 + ??)，则? = （ ）
A．18B．33
C．36D．40
5．某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为?,?,?,?的四个子任务，并将任务分配给
甲、乙、丙 3 人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为?的子任务的分配方法共有（ ）
A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种 6．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 Trull，于 1996 年被收入世界文化遗产名录，现测量一个 Trull 的屋顶，得到母线 SA 长为 6 米（其中 S 为圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心），C 是母线 SA 的靠近点 S 的三等分点．从点 A 到点 C 绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为2 13米，则圆锥的 SO 的体积为（ ）
A．12π立方米B．16 2π立方米C．16 2π立方米D．12 3π立方米
7?2
?2
33
???
．已知双曲线?：16− 9 = 1的左，右焦点分别为 1， 2，过 2的直线与双曲线?的右支交
于?，?两点，且|??| = 6，则△ ?1??的周长为（ ）
A．20B．22C．28D．36
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有??个小球，第二层有(? + 1) (? + 1)个小球，第三层有(? + 2)(? + 2)个小球……依此类推，最底层有 ??个小球，共有?
6
层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 (2?+?)?+(2?+?)?+(?−?)?.若由小球堆成的某个长方台形垛积共 8 层，小球总个数为 240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
sin3?
9．设函数?(?) = sin?⋅cs?，则（ ）
A．?(?)是周期函数B．?(?)的图象有对称轴? = 3π
π
2
π
2
C．?(?)在区间 0,上单调递增D．?(?)的图象关于点 ,0 中心对称
10．已知 F 为抛物线?:?2 = 4?的焦点，C 的准线为 l，直线?−?−1 = 0与 C 交于 A，B 两点
（A 在第一象限内），与 l 交于点 D，则（ ）
A．|??| = 6
B．|??| = 2|??|
C．以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
π
2
D．l 上存在点 E，使得△ ???为等边三角形
11．已知向量? =3,1，? = (cs?,sin?)，已知? ∈ 0,，则下列结论正确的有（ ）
A．|?| = 1B．若?//?，则? = π
6
3
C．? ⋅ ?的最大值为 2D．|?−?|的最小值为
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12．已知2 ≤ ? ≤ 2，求函数? =
?−1
−4
?
1
2
+2的值域为．
1
4
13．若函数?(?) = (?2 + ??)e?? +1的图象在点(0,1)处的切线与直线? + 2? + 4 = 0互相垂直，则? = ．
14．龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过?个关卡，分别为：?1,?2,⋯,??，记挑战
= .游戏规则如下：从第一
1
每一个关卡??(? = 1,2,⋯,?)失败的概率为??，其中?? ∈ (0,1),?13
个关卡?1开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若? = 2，设龙年在闯关结束时进行到了第?关，?的数学期望?(?) = ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第? + 1关的概率总等于闯到第?关(? = 1,2,⋯,?−1)的概率的一半，则数列
{??}的通项公式?? = ,? = 1,2,⋯,?.
解答题
15．（13 分）记数列{??}的前?项和为??，已知?1 = 1,??
(1)求{??}的通项公式；
(2)设?? = ???，求数列{??}的前?项和??.
= 1? 2
1
+ .
?+12
2
16．（15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点?(?,?)到定点( 2,0)的距离与动点?(?,?)到定直线? = 2 2的距离之比为 2，记?的轨迹为曲线?.
(1)求曲线?的方程；
(2)过点?(1,0)作两条互相垂直的直线?1,?2，其中?1与曲线?交于 A、B 两点，?2与曲线?交于
C、D 两点，求?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ??的最大值.
17．（15 分）如图 1，在边长为 2 的菱形????中，∠??? = 60°，将△ ???沿对角线??折起到△ ??′?的位置，使平面??′? ⊥ 平面???，E 是 BD 的中点，?? ⊥ 平面 ABD，且
?? = 2 3，如图 2．
(1)求证：??//平面??′?；
??
(2)在线段 AD 上是否存在一点 M，使得?′? ⊥ 平面???′，若存在，求??的值；若不存在，说明理由．
?+1
18．（17 分）已知函数?(?) = ln?−?(?−1).
(1)若?(?)在(0, + ∞)上单调递增，求实数?的取值范围；
? + 1
(2)设? ∈ ?∗，求证：ln
111
.
> + +⋯ +
352?+1
?+1
19．（17 分）已知数列{??}的前?项和为??，?? = ?2，数列{??}满足：?2= ? ⋅ ??+2，且
?
?2 +1，?4 +1分别为数列{??}第二项和第三项.
(1)求数列{??}与数列{??}的通项公式；
(2)若数列?? = (−1)?
3⋅2?−2
⋅ (? −1)(?
−1)，求数列{??}的前2?项和?2?；
??+1
(3)当? ≥ 1时，设集合?? = ?? + ??|3 ⋅ 2? < ?? + ?? < 3 ⋅ 2?+1,1 ≤ ? < ?,?,? ∈ N∗，集合??中元素的个数记为??，直接写出数列{??}的通项公式（不用说明理由）.
2025-2026 学年高二下学期人教 A 版数学期末模拟试卷(2)（解析版）
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数?(1 + i) = 1−i，则|?| = （ ）
2
5
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】由复数的运算化简已知等式，再由共轭复数和复数的关系求出共轭复数的模长即可.
【详解】由已知可得? = 1−i = (1−i)(1−i) = 1−2i+i = −i，
2
1+i(1+i)(1−i)
2
所以? = i，
所以|?| = 1，故选：A.
2．直线?1，?2的斜率分别为 1，2，?1，?2夹角为?，则sin2? = （ ）
3433
A．4B．5C．5D．10
2sin?cs?2tan?
故选：C
5
+1
3
2= .
1
3
2×
=3
=
sin2?+cs2?tan2?+1
【答案】C
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果.
【详解】设直线?1，?2的倾斜角分别为?,?，则tan? = 1,tan? = 2,? = ?−?;
所以sin2? = 2sin?cs? =
1
3
1
= ；
1+tan?tan?1+2×1
2−1
因此tan? = tan(?−?) = tan?−tan? =
3．已知?(?) =
A．− 3
2
?−2,? < 0
csπ?,? ≥ 0 ，则? ?(−2) = （ ）
1
B．0C．2
D． 2
2
【答案】D
【分析】根据函数的定义域代入解析式求解即可.
【详解】根据题意? ?(−2) = ? 4 ，? 4 = cs4 = 2 .
故选：D.
1
1
π2
4．在等差数列{??}中，前?项和为??，若?25 = 5(?2 + ?6 + ?10 + ?14 + ??)，则? = （ ）
A．18B．33
C．36D．40
【答案】B
【分析】设等差数列{??}的首项为?1，公差为?，由?25 = 5(?2 + ?6 + ?10 + ?14 + ??)，列出方程，进而求得?的值，得到答案.
【详解】设等差数列{??}的首项为?1，公差为?，
因为?25 = 5(?2 + ?6 + ?10 + ?14 + ??)，可得25?1 +300? = 25?1 +(135 + 5?)?，所以5? = 165，解得? = 33.
故选：B.
某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为?,?,?,?的四个子任务，并将任务分配给
甲、乙、丙 3 人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为?的子任务的分配方法共有（ ）
A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种
则所求的分配方法共有36−6−6 = 24种.
故选：C.
3
甲分到两个子任务（即包含?编号子任务），此时共有A3 = 6种方法；
2
3
甲分到一个子任务（即只有?编号子任务），此时共有C2A2 = 6种方法；
若甲分到?编号子任务，有两种情况：
3
4
【详解】不考虑限制条件则共有C2A3 = 36种方法，
可求解.
3
4
【分析】可以考虑用间接法先不考虑限制求出共有C2A3 = 36种方法，进一步由分类原理即
【答案】C
在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 Trull，于 1996 年被收入世界文化遗产名录，现测量一个 Trull 的屋顶，得到母线 SA 长为 6 米（其中 S 为圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心），C 是母线 SA 的靠近点 S 的三等分点．从点 A 到点 C 绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为2 13米，则圆锥的 SO 的体积为（ ）
A．12π立方米B．16 2π立方米C．16 2π立方米D．12 3π立方米
33
【答案】C
【分析】设圆锥底面半径为 r，如图，根据余弦定理得到∠? ?? = 3 ，计算
′
2π
? = 2，?? = 4
2，再计算体积得到答案.
【详解】设圆锥底面半径为 r，如图，扇形???′是圆锥的侧面展开图，
△ ?′??中，?′? = 6，?? = 2，?′? = 2 13，所以cs∠?′?? =
36+4−52
2×6×2
= −2，
1
所以∠? ?? = 3 ，所以 3 × 6 = 2π?，? = 2，
′
2π
2π
?? =??2−??2 =62−22 = 4 2，
所以圆锥的体积为 π × 22 × 4 2 = 16 2π（立方米），
1
3
3
故选：C
7?2
?2
???
．已知双曲线?：16− 9 = 1的左，右焦点分别为 1， 2，过 2的直线与双曲线?的右支交
于?，?两点，且|??| = 6，则△ ?1??的周长为（ ）
A．20B．22C．28D．36
【答案】C
【分析】先根据双曲线定义列出|??1|−|??2| = 2? = 8，|??1|−|??2| = 2? = 8，然后结合
|??| = 6求出△ ?1??的周长.
【详解】由题意知|??1|−|??2| = 2? = 8，|??1|−|??2| = 2? = 8，所以|??1| + |??1|−|??2|−|??2| = |??1| + |??1|−|??| = 16，
又|??| = 6，
所以|??1| + |??1| = 22，
所以△ ?1??的周长为|??1| + |??1| + |??| = 28．故选：C．
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.
如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有??个小球，第二层有(? + 1)
6
(? + 1)个小球，第三层有(? + 2)(? + 2)个小球……依此类推，最底层有 ??个小球，共有?层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 (2?+?)?+(2?+?)?+(?−?)?.若由小球堆成的某个长方台形垛积共 8 层，小球总个数为 240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
【答案】B
【分析】转化题给条件为2?? + 7? + 7? = 25，再由?,?皆为正整数分类讨论即可求解.
【详解】由题意知，? = 8，于是得最底层小球的数量为?? = (? + 7)(? + 7)，即? = ? + 7，
? = ? + 7.
从而有
8⋅[(2?+?+7)?+(2?+14+?)(?+7)+7]
6
= 240，
整理得(2? + ? + 7)? + (2? + 14 + ?)(? + 7) + 7 = 180，
(3? + 7)? + (3? + 14)(? + 7) = 173， 3?? + 7? + 3?? + 14? + 21? + 98 = 173，
6?? + 21? + 21? = 75，2?? + 7? + 7? = 25，由于?,?皆为正整数，所以
（i）当? = 1,? = 1时，2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1 = 16 < 25，
当? = 1,? = 2时，2 ⋅ 1 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 + 7 ⋅ 2 = 25，
（iii）当? = 1,? = 3时，2 ⋅ 1 ⋅ 3 + 7 ⋅ 1 + 7 ⋅ 3 = 34 > 25，
（iv）当? = 2,? = 2时，2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 7 ⋅ 2 + 7 ⋅ 2 = 36 > 25
只有? = 1,? = 2符合题意，即??的值为 2.
故选：B.
A．1B．2C．3D．4
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
sin3?
9．设函数?(?) = sin?⋅cs?，则（ ）
A．?(?)是周期函数B．?(?)的图象有对称轴? = 3π
π
2
π
2
C．?(?)在区间 0,上单调递增D．?(?)的图象关于点 ,0 中心对称
【答案】ABD
【分析】A 选项，?(? + 2π) = ?(?)，得到 A 正确；B 选项， ?(6π−?) = ?(?)，故 B 正确；
C 选项，先求出?(?) = sin2? ，计算出? 6 > ? 4 ，故 C 错误；D 选项，?(π−?) +?(?)
= 0，D 正确.
2sin3?
π
π
【详解】由题意得sin? ≠ 0,cs? ≠ 0，故? ≠ ?π
2 ,? ∈ ?，
定义域为 ?|? ≠
?π
2
,? ∈ ? ，关于原点对称；
A 选项， ∵ ?(? + 2π) =
sin3(?+2π)
sin3?
sin(?+2π)⋅cs(?+2π)sin?⋅cs?
=
= ?(?)，
∴ ? = 2π是函数?(?)的一个周期，故 A 正确；
B 选项， ∵ ?(6π−?) =
sin3(6π−?)
−sin3?
sin3?
sin(6π−?)⋅cs(6π−?)−sin?⋅cs?sin?⋅cs?
=
=
= ?(?)，
∴ ?(?)关于? = 3π，故 B 正确；
2sin3?π
C 选项，?(?) =， ∵ ?=
2sin
π
3
2
6
4π
=；?=
2sin π
4
sin2?
sin π3
4
= 2，
3
sin π
2
显然? π > ? π ，故?(?)在区间 0, π 上不单调递增，故 C 错误；
6
4
2
D 选项，?(π−?) +?(?) =
sin3(π−?)
sin3?
sin(π−?)⋅cs(π−?)sin?⋅cs?
+
=
sin3?
sin3?
sin?⋅(−cs?)sin?⋅cs?
+
= 0，
∴ ?(?)的图象关于点 2 ,0 中心对称，D 正确．
故选：ABD．
π
10．已知 F 为抛物线?:?2 = 4?的焦点，C 的准线为 l，直线?−?−1 = 0与 C 交于 A，B 两点
（A 在第一象限内），与 l 交于点 D，则（ ）
A．|??| = 6
B．|??| = 2|??|
C．以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
D．l 上存在点 E，使得△ ???为等边三角形
【答案】BC
【分析】由题意可得直线?−?−1 = 0经过抛物线焦点?，设?(?1,?1),?(?2,?2)，联立直线与抛物线，可得?1 + ?2的值，从而求解焦点弦，即可判断 A；根据抛物线的定义过?,?作??′ ⊥ ?,?
?′ ⊥ ?，垂足为?′,?′，从而可得|??|,|??|的关系，即可判断 B；结合抛物线的定义以及直线
所以??为直径的圆与?相切，故 C 正确；
当△ ???为等边三角形时，|??| = |??|，
由抛物线的定义可知?? ⊥ ?，所以∠??? = 45∘，这与△ ???为等边三角形矛盾，所以?上不存在点?，使得△ ???为等边三角形，故 D 错误.
故选：BC.
= 2 ，
|?? |+1
2
=
2
|??|
″
|??|+|??″|
″
易知四边形???? 为直角梯形，其中位线长为
|??|
以??为直径的圆的半径为? = 2 ，
则|??| = 2，又∠??? = 45∘，
所以|??| = |??′|，所以|??| = 2|??′| = 2|??|，故 B 正确；
2
?2 = 4?,
由 ?−?−1 = 0, 整理得? −6? + 1 = 0，则?1 + ?2 = 6，
根据抛物线的定义可知，|??| = |??| + |??| = ?1 + ?2 +2 = 8，故 A 错误；如图，过?,?作??′ ⊥ ?,??′ ⊥ ?，垂足为?′,?′，
与圆的位置关系，即可判断 C；根据抛物线的定义结合正三角形的几何性质，即可判断 D.
.
【详解】易知?(1,0)，准线?的方程为? = −1，则直线?−?−1 = 0经过焦点?.
设?(?1,?1),?(?2,?2)，
11．已知向量? =3,1，? = (cs?,sin?)，已知? ∈ 0,
，则下列结论正确的有（ ）
π
2
A．|?| = 1B．若?//?，则? = π
6
3
C．? ⋅ ?的最大值为 2D．|?−?|的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据向量的模的坐标公式求|?|，判断 A；根据向量平行的坐标表示列方程求?，判断 B，
π
5−4sin ? +
3
∵ ? ∈ 0,
π
2
， ∴ ? + π ∈
π 5π
3
3 6
,
，
当? = ，|?−?|取得最小值 1，D 错误
π
6
故选：ABC.
2
=
|?−?| =?−? 2 =?2−2? ⋅ ? + ?
对于 D，|?| = 2，|?| = 1，
6
3 6
3
ππ 5ππ
? + ∈,，所以当? = 时? ⋅ ?最大值为 2，C 正确；
π
对于 C，? ⋅ ? = 3cs? + sin? = 2sin ? + 3 ，
π
π
3
∴ tan? = 3 ，? ∈ 0, 2 ，所以? = 6；B 正确；
根据数量积的坐标运算结合正弦函数性质求? ⋅ ?最大值，判断 C，根据数量积的运算性质判
断 D.
【详解】对于 A，|?| =cs2? + sin2? = 1，A 正确；对于 B，若?//?，则 3sin?−cs? = 0，
1
4
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12．已知2 ≤ ? ≤ 2，求函数? =
?−1
−4
?
1
2
+2的值域为．
1
由? ∈,
2
4 2
，则?= 4 1 − 1
min
22
+1 = 1，
又当? = 时，? = 4?2−4? + 2 = 4 ×−4 × +2 = ，
1
1
1
5
41644
当? = 2时，? = 4?2−4? + 2 = 4 × 1−4 × 2 +2 = 4−2 2，
2
2
2
有4− 4−2 2 = 2 2− 4 =
5
11
8 2−11
4
=
128− 121
4
> 0，
1 ?
2
【答案】 1, 4
【分析】借助换元法可得? = 4?2−4? + 2，再结合?的范围运用二次函数性质计算即可得.
5
【详解】令? =，由2 ≤ ? ≤ 2，则? =
1 ?
1
2
1 ?
2
∈ 4 , 2 ，
1
则? =
1 ?−1
4
−4
1 2
2+1，
+2 =
1 2?−2
2
−4
1 ?
2
+2
= 4−4
1 2?
2
1 ?
2
+2 = 4? −4? + 2 = 4 ?−
2
2
2
故4 > 4−2 2，故函数? =
5
1 ?−1
4
−4 2+2的值域为 1, 4 .
1 ?
5
故答案为： 1, 5 .
4
【答案】2
【详解】由题意得：?′(?) = (??2 + ?2? + 2? + ?)e??，则在点(0,1)处的切线斜率? = ?′(0)
= ?，
又因为在点(0,1)处的切线与直线? + 2? + 4 = 0互相垂直，且直线的斜率为−2，
1
所以? ×
− 1
2
= −1，解得：? = 2.
13．若函数?(?) = (?2 + ??)e?? +1的图象在点(0,1)处的切线与直线? + 2? + 4 = 0互相垂直，则? = ．
14．龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过?个关卡，分别为：?1,?2,⋯,??，记挑战
= .游戏规则如下：从第一
1
每一个关卡??(? = 1,2,⋯,?)失败的概率为??，其中?? ∈ (0,1),?13
个关卡?1开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若? = 2，设龙年在闯关结束时进行到了第?关，?的数学期望?(?) = ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第? + 1关的概率总等于闯到第?关(? = 1,2,⋯,?−1)的概率的一半，则数列
{??}的通项公式?? = ,? = 1,2,⋯,?.
1
即2?
?+1
=，对两边同时取倒数，可得
??
1
1−??
??+1
2
=
? −2
，即−2 = 2
1
?
??+1
1
??
−2 ，又
1
?1
3
【答案】
5
3
1
2?−1+2
【分析】若? = 2，则?得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望?(?)即可；根据
题意求解游戏结束时进行到第?关的概率为??，由2?? = ??+1可得2?? = (1−??)??+1，于是
根据递推关系式可得数列{??}的通项公式.
1
1
【详解】若? = 2，则?得可能取值为1,2，
又?(? = 1) = 1,?(? = 2) = 1−1 = 2，所以?(?) = 1 × 1 +2 × 2 = 5；
1
33
3
33
设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第?关的概率为??；
那么有?? = 1−(1−? )(1−? )⋯(1−? ) ，
(1−?1)(1−?2)⋯(1−??−1)??
12?
由2?? = ??+1可得2?? = (1−??)??+1；
.
?−1
2+2
3
1
5
故答案为： ；
,? = 1,2,⋯,?.
1
2?−1+2
??
1
从而 −2 = 2?−1,?? =
?
1
故 ? −2 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
−2 = 3−2 = 1，
解答题
15．（13 分）记数列{??}的前?项和为??，已知?1 = 1,??
(1)求{??}的通项公式；
1,? = 1
【答案】(1)?? = 3?−2,? ≥ 2 ；
(2)??
2?−13
=× 3?−1 + .
4
4
【分析】（1）利用??,??的关系求{??}的通项公式；
（2）由题设写出{??}的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前 n 项和公式求??.
【详解】（1）当? = 1时，? = 1? + 1，得? = 1，
1
2 2
2
2
当? ≥ 2时，? = 1?
?
2 ?+1
1
+ ,?
2
?−12 ?
111
= ? + ，得? = 1?? ，整理得?
2
?2 ?+1−
2
?
?+1
= 3? ，
?
所以{??}从?2 = 1开始成公比为 3 的等比数列，则?? = 3?−2(? ≥ 2).
1,? = 1
综上，?? =
3?−2,? ≥ 2 ；
1,? = 1
（2）由（1）得?? = ??? = ? ⋅ 3?−2,? ≥ 2 ，
当? = 1时，?1 = ?1 = 1，
当? ≥ 2时，?? = 1 + 2 × 1 + 3 × 3 + 4 × 32 +⋯ + (?−1) × 3?−3 +? × 3?−2，则3?? = 3 + 2 × 3 + 3 × 32 +4 × 33 +⋯ + (?−1) × 3?−2 +? × 3，
?−1
两式相减，得−2? = 3 + 32 +⋯ + 3?−2−? × 3?−1 = 3(3
?−2
?
3−1
−1)−? × 3?−1 = 1−2? × 3?−1
2
−2
3
，
所以?? = 2?−1 × 3?−1 + 3,?
4
4
1
= 1也满足该式，
故?? = 2?−1 × 3?−1 + 3.
4
4
(2)设?? = ???，求数列{??}的前?项和??.
= 1? 2
1
+ .
?+12
2
16．（15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点?(?,?)到定点( 2,0)的距离与动点?(?,?)到定直线? = 2 2的距离之比为 2，记?的轨迹为曲线?.
求曲线?的方程；
过点?(1,0)作两条互相垂直的直线?1,?2，其中?1与曲线?交于 A、B 两点，?2与曲线?交于
C、D 两点，求?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ??的最大值.
2
2
【答案】(1)? + ? = 1
42
(2)−4
【分析】（1）设?(?,?)，利用两点距离公式与点到直线的距离公式，结合已知即可求得动点
?的轨迹方程；
（2）设直线?1的方程为?? = ?−1，与动点?的轨迹方程联立，可得根与系数的关系，由
?? ???? ????9(? +1)
22
?? ⊥ ??，分别求出⋅，⋅，从而可得⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = −，由
(?2+2)(2?2+1)
?2+2 + 2?2+1 = 3，结合基本不等式可求得?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ??的最大值．
?2+1?2+1
【详解】（1）动点?(?,?)到定点( 2,0)的距离为 ?− 2
2
+ ?2，
动点?(?,?)到定直线? = 2 2的距离为|?−2 2|，
?− 2
2
+?2 2
22?22
所以
|?−2 2|
= 2 ，平方后得2 ?− 2
+ ?2 = |?−2 2| ，整理得
+ ? = 1，
2
4
2
2
故曲线?的方程为? + ? = 1；
42
（2）①不妨设直线??的斜率不存在，直线??的斜率为0，
则? 1, 6
2
,? 1,− 6
2
,?(−2,0),?(2,0)，
= − −3 = − ；
所以?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = 0, 6 ⋅ 0,− 6 + (−3,0) ⋅ (1,0)39
2222
②设直线?1的方程为?? = ?−1，设?(?1,?1)，?(?2,?2)，?(?3,?3)，?(?4,?4)，
联立方程
? = ?? + 1
?2 + ?2 = 1 ，消去?可得：(2 + ?2)?2 +2??−3 = 0，
42
2?3
所以?1 + ?2 = −?2+2，?1?2 = −?2+2，
则?? ⋅ ?? = (? −1)(? −1) + ? ?
= (?? )(?? ) + ? ?
= (?2 +1)? ?
3(?2+1)
= −，
121 2
121 2
1 2?2+2
3(? +1)
= −，
当且仅当?2 +2 = ?2 +1，即? =± 1时等号成立，
所以当? =± 1时，?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ??的最大值为−4．综上，?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ??的最大值为−4．
9
4
?2+1 ?2+1
9
≤ − = −4，
?2+2 × 2?2+1
9
= −
2
?2+22?2+1(?2+2)(2?2+1)
2
9(? +1)
2
2
所以?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = −3(? +1)−3(? +1) = −
2?2+1
2
同理，用− 代换?，可得⋅ ?? = (? −1)(? −1) + ? ? = (1 + 1 )? ?
3 4
4
3
则?? ⋅ ?? = (? −1)(? −1) + ? ?
2?2+1
2
3(? +1)
= −，
3 4
?2
3 4
4
3
??
?
1
17．（15 分）如图 1，在边长为 2 的菱形????中，∠??? = 60°，将△ ???沿对角线??折起到△ ??′?的位置，使平面??′? ⊥ 平面???，E 是 BD 的中点，?? ⊥ 平面 ABD，且
?? = 2 3，如图 2．
求证：??//平面??′?；
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到??// ?′?，证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，假设存在 M，使得?′? ⊥ 平面???′，设??＝???，求出平面
???′的法向量? =3,1,1 ，得到方程组，方程组无解，假设不成立，不存在点 M.
【详解】（1）∵?? = ??，E 为 BD 的中点，
∴?′?⊥??，
又平面??′?⊥平面???，且平面??′? ∩ 平面??? = ??，?′? ⊂ 平面??′?，
∴?′?⊥平面???，
∵?? ⊥ 平面???，
??
在线段 AD 上是否存在一点 M，使得?′? ⊥ 平面???′，若存在，求??的值；若不存在，说明理由．
∴??// ?′?，
而?′? ⊂ 平面??′?，??⊄平面??′?，
∴??//平面??′?；
（2）由（1）知，?′?⊥平面???，??,?? ⊂ 平面???，所以?′?⊥??，?′?⊥??，又??⊥??，
故以??,??,??′所在直线分别为?,?,?轴，建立空间直角坐标系，
则?(1,0,0),? 0,− 3,0 ,?(−1,0,0),? 0,− 3,2 3 ,?′ 0,0, 3 ，
设平面???′的法向量为? = (?,?,?)，
? ⋅ ?? = (?,?,?) ⋅ 1, 3,−2 3 = ? + 3?−2 3? = 0
则
? ⋅ ??′ = (?,?,?) ⋅ −1,0, 3 = −? + 3? = 0
，
令? = 1，则? = 3,? = 1，故? =3,1,1 ，
假设在线段 AD 上存在?(?,?,?)，使得?′? ⊥ 平面???′，设??＝???，则(?,? + 3,?) = ? −1, 3,0 = −?, 3?,0 ，
∴? = −?,? = 3?− 3,? = 0．则?′? = (−?, 3?− 3,− 3)．
平面???′的法向量? =3,1,1 ，
3 = −??
由?//?′?，即? = ??′?，即 1 = ?( 3?− 3) ，无解，?不存在．
1 = − 3?
∴线段 AD 上不存点 M，使得?′? ⊥ 平面???′．
?+1
18．（17 分）已知函数?(?) = ln?−?(?−1).
(1)若?(?)在(0, + ∞)上单调递增，求实数?的取值范围；
? + 1
(2)设? ∈ ?∗，求证：ln
111
.
> + +⋯ +
352?+1
【答案】(1)(−∞,2]
(2)证明见解析
【分析】（1）?(?)在(0, + ∞)上单调递增等价于?′(?) ≥ 0在(0, + ∞)上恒成立，再分离参数，结合不等式求最值即可；
（21?+11
）令? = 1 + ?，利用小问（1）可得到：ln? > 2?+1，再根据此式放缩，累加即得答
案.
【详解】（1）?′(?)
1 2?
，
= ?−(?+1)2
因为?(?)在(0, + ∞)上单调递增，所以?′(?) ≥ 0在(0, + ∞)上恒成立，
所以2? ≤
(?+1)2
?恒成立，令?(?) =
(?+1)2(? > 0)，只需2? ≤
?
?(?)
min，
?(?) = (?+1)2
?
1
= ? + ?
+2 ≥ 2
? ⋅ 1
?
+2 = 4，
1
当且仅当? = ?，即? = 1时等号成立，所以?(?)min = 4.
由2? ≤ 4，得? ≤ 2，即?的取值范围是(−∞,2].
（2）由（1）知，当? = 2时，?(?)在(0, + ∞)上单调递增，
所以当? > 1时，?(?) > ?(1) = 0，即ln? > 2(?−1)(? > 1).
?+1
1
令? = 1 + ?，? ∈
?∗
，所以ln
1 + 1 >
?
1
，
2 1+ −1
?
1
1+ +1
?
即ln ?+1 >1
1
，所以ln ? + 1−ln ? >
，? ∈ ?∗.
?2?+1
2?+1
当?依次取 1，2，…，n
11…，ln ? + 1−ln ? >1 .
时，ln 2−ln 1 > 3，ln 3−ln 2 > 5，
2?+1
上面式子叠加即得ln ? + 1 > 1 + 1 +⋯ + 1 .
352?+1
?+1
19．（17 分）已知数列{??}的前?项和为??，?? = ?2，数列{??}满足：?2
= ??
⋅ ??+2，且
?2 +1，?4 +1分别为数列{??}第二项和第三项.
(1)求数列{??}与数列{??}的通项公式；
(2)若数列?? = (−1)?
3⋅2?−2
⋅ (? −1)(?
−1)，求数列{??}的前2?项和?2?；
??+1
【答案】(1)?? = 2?−1，?? = 2?；
(2)?2? = −1 +
1
22?+1−1
(3)?? = ?
(3)当? ≥ 1时，设集合?? = ?? + ??|3 ⋅ 2? < ?? + ?? < 3 ⋅ 2?+1,1 ≤ ? < ?,?,? ∈ N∗，集合??中元素的个数记为??，直接写出数列{??}的通项公式（不用说明理由）.
1
−
1
则?2? = ?1 + ?2 + ?3 +⋯ + ?2?，
,? = 2?,? ∈ N∗
?+1
1
2−1
+
?
,? = 2?,? ∈ N∗
(2?−1) (2?+1−1)
2?+1−1
=
,? = 2?−1,? ∈ N∗
1
1
1
1
1
1
=
− 2−1 − 22−122−1 + 23−1
+
+
− 23−1 − 24−1
+ ⋯ +
22?−1 + 22?+1−1
1
= −1 +
22?+1−1
（3）集合??中元素个数等价于满足3 ⋅ 2? < 2? + 2? < 3 ⋅ 2?+1的不同解 ?,? 的个数，若? < ? + 2，则2? + 2? ≤ 2? + 2?+1 ≤ 2? + 2?+1 = 3 ⋅ 2?，与已知矛盾；
若? > ? + 2，则2? + 2? ≥ 2? + 2?+3 > 3 ⋅ 2?+1，与已知矛盾，所以，? = ? + 2，
又因为(2 + 2?+2)−3 ⋅ 2? = 2 + 2? > 0，
所以，对? ∈ {1,2,...,?}，2? + 2?+2 < 2? + 2?+2 = 5·2? < 6·2? = 3 ⋅ 2?+1，满足题意.
即? = 1，2，3，…，?，共?个解 ?,? ，故?? = ?.
?
【分析】（1）利用??与??的关系求出??，?2,?3，再由?2+1 = ?
?
? ⋅ ??+2知{??}是等比数列，
即可求解；
由题意可得{??}，对{??}裂项，即可求解；
通过对?分类讨论，确定?的取值，再利用不等式性质求解?的取值个数即可.
【详解】（1）?? = ?2(? ∈ N∗)，
当? ≥ 2时，?? = ??−??−1 = ?2−(?−1)2 = 2?−1，当? = 1时，?1 = ?1 = 1，满足上式，
所以?? = 2?−1，
数列{??}满足：?2+1 = ?
?
? ⋅ ??+2，即数列{??}为等比数列，
? = ?
22
+1 = 4，?3 = ?4
+1 = 8，则? = ?3 = 2，
?2
所以?? = 2?；
（2）由（1）可得，?? = (−1)
−
⋅
3⋅2?−2 (??−1)(??+1−1)
= (−1) ⋅
?
3⋅2?−2 (2?−1)(2?+1−1)，
2−3 ⋅ 2?
,? = 2?−1,? ∈ N∗
?? =
(2 −1) (2−1)
3 ⋅ 2?−2
?
?+1
1
2?−1
1
2 −1
1