2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷卷(3)(含解析)(范围：人教A版选择性必修1-3)

这是一份2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷卷(3)(含解析)(范围：人教A版选择性必修1-3)，共12页。试卷主要包含了若函数𝑓 =，已知抛物线 𝐸等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一质点 A 沿直线运动，位移 s(单位：米)与时间 t(单位：秒)之间的关系为 ?(?) = 1?2 +
2
ln?，则质点 A 在 t=1 秒时的瞬时速度为（ ）
A．1 米/秒B．2 米/秒C．4 米/秒D．5 米/秒
2．如图，函数? = ?(?)的图象在点 P 处的切线是?，则?(−2) + ?′(−2) = （ ）
A．0B．1
C．2D．3
7
3．根据表中数据，得到?关于?的一元线性回归方程为? = 0.5? + ?，且?? = 28，则? =
?=1
（）
A．1B．2C．4D．2.4
?
1
2
3
4
5
6
7
y
?1
?2
?3
?4
?5
?6
?7
4?2
?2
(? > 0,? > 0)
．设双曲线?: 2− 2 = 1的离心率为 5，实轴长为 2，则双曲线 C 上任意一点
??
到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积为（ ）．
24816
A．5B．5C．5D． 5
某班组织文艺晚会，准备从?,?等 7 个节目中选出 3 个节目演出，要求?,?两个节目中至少有一个被选中，且?,?同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A．84B．72C．76D．130
从装有 3 个白球、5 个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A 表示事件“两次取出的球颜色相同”，B 表示事件“两次取出的球中至少有 1 个是红球”，则??|? =
（ ）
31310
B．4C．13D．13
下列说法正确的是（ ）
根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到?2 = 4.712，根据小概率值? = 0.05
的独立性检验（?0.05 = 3.841），可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05
若随机变量 ξ，η 满足? = 3?−2，则?(?) = 3?(?)−2
“事件 A，B 互斥”是“事件 A，B 对立”的充分不必要条件
1
若随机变量 X 服从两点分布，?(?)
(? = 1) = 2
= 9，则?3
已知函数?(?)的定义域为?，对任意? ∈ ?，有?′(?)−?(?) > 0，则“? < 2”是“e??(? + 1) > e4?(2?−3)”的（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件D．充要条件
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
2
在( ? + ?)
8
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
常数项为 1120B．第 4 项二项式系数最大 C．所有项的二项式系数和为28D．所有项的系数和为38
10．已知函数?(?) = ?3−3?，则下列说法正确的有（ ）
?(?)在(−∞,−1)上单调递增B．?(?)的极小值为−2 C．?(?)的图象关于原点对称D．?(?)有两个零点
如图，在棱长为 2 的正方体????−?1?1?1?1中，?是侧面???1?1内的一点，?是线段
??1上的一点，则下列说法正确的是（）
过?1?的平面截此正方体所得的截面为四边形
9
当?为棱?? 的中点时，过点?,?,?
11的平面截该正方体所得的截面的面积为4
2
点?到直线??1的距离的最小值为
当?为棱?? 的中点且?? = 2 2时，则点?的轨迹长度为2π
13
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．方程|?2−5| = ?有四个可以排列成等差数列的实根，则?的值为.
13．某班有团员男生 5 名、女生 3 名，从这 8 人中选出 4 名代表，记选出的代表中男生的人数为 Y，则?(? = 3) = .
14．若函数?(?) =
1?2
2
+4??与?(?) = 5?2
4
ln?−e5?，? > 0有公共点，且在公共点处的切线
方程相同，则?的最小值为.
解答题
15．（13 分）已知函数?(?) = ?3 +??2 +?? + 1在? = 2处取得极值−9.
求实数?、?的值；
求函数?(?)在区间[−3,3]上的最值.
16．（15 分）已知抛物线 ?:?2 = 4? ，焦点为 ? ，过 ? 且垂直于 ? 轴的直线交 ? 于
? . 以 ? 为圆心、 |??| 为半径作圆 ? . 设直线 ?:? = ?(?−1)(? > 0) 与圆 ? 交于 ?,?
两点，与 ? 交于 ?,? 两点， 其中 ?,? 在第一象限.
求圆 ? 的方程；
是否存在 ? 使 |??| = |??| ？若存在，求出 ? ；若不存在，说明理由.
17．（15 分）如图，在三棱台???−?1?1?1中，平面??1?1? ⊥ 平面???，??1 = ?1?1 = ?1
? = 2，?? = 4，?? = ??．
证明：?1? ⊥ ??1；
求直线??1与平面??1?1所成角的正弦值的最大值．
18．（17 分）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为90%，乙生产线的产品合格率为95%．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为94%．
求甲、乙两条生产线的产量之比．
从混合产品中随机抽取 3 件，记其中甲生产线生产的件数为?，以频率估计概率，求?的分布列及数学期望．
从混合产品中随机抽取?(? ≥ 2)件，若发现恰有 2 件甲生产线生产的不合格品，记这一事
件发生的概率为??，求??取得最大值时?的值．
19．（17 分）已知函数?(?) = ?−?ln(? + 1).
若?(?) ≥ 0，求?的值；
已知数列{??
}满足?1
3
?
= 2，且
? = 3??−1
2??−1+1
(? ≥ 2).
证明：数列
−1 为等比数列，并求{??
}的通项公式；
1
??
设{??}的前?项积为??，?为整数，若对任意的正整数?都有?? < ?，求?的最小值.
参考数据：ln2 ≈ 0.6931，ln3 ≈ 1.0986，ln5 ≈ 1.6094.
2025-2026 学年高二下学期人教 A 版数学期末模拟试卷(3)（解析版）
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一质点 A 沿直线运动，位移 s(单位：米)与时间 t(单位：秒)之间的关系为 ?(?) = 1?2 +
2
ln?，则质点 A 在 t=1 秒时的瞬时速度为（ ）
米/秒B．2 米/秒C．4 米/秒D．5 米/秒
【答案】B
【分析】根据导数的定义计算.
【详解】由题意得?′(?) = ? + 1，则?′(1) = 2，
?
所以质点?在? = 1秒的瞬时速度为2米/秒.
故选：B.
2．如图，函数? = ?(?)的图象在点 P 处的切线是?，则?(−2) + ?′(−2) = （ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】D
【分析】根据图象求出切线方程，由导数的几何意义得?′(−2)，由切线方程得?(−2)，从而可得结论．
【详解】由题可得函数? = ?(?)的图象在点?处的切线与?轴交于点(−4,0)，与?轴交于点(0,4)，
则切线?:?−? + 4 = 0，
所以?(−2) = 2，?′(−2) = 1，所以?(−2) + ?′(−2) = 3.
故选：D．
7
3．根据表中数据，得到?关于?的一元线性回归方程为? = 0.5? + ?，且?? = 28，则? =
?=1
（）
B．2C．4D．2.4
【答案】B
【分析】根据线性回归直线经过样本中心点(?,?)，求?的值.
?
1
2
3
4
5
6
7
y
?1
?2
?3
?4
?5
?6
?7
【详解】由题意：? = 1 ×
7
7
? = 4，? = 1 ×
7
?=1
7
?
?=1
1
? = × 28 = 4.
7
因为一元线性回归直线? = 0.5? + ?经过点(4,4)，
可得：4 = 0.5 × 4 + ? ⇒ ? = 2.
故选：B
4?2
?2
(? > 0,? > 0)
．设双曲线?: 2− 2 = 1的离心率为 5，实轴长为 2，则双曲线 C 上任意一点
??
到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积为（ ）．
24816
B．5C．5D． 5
【答案】B
【分析】结合双曲线的性质设?(?,?)，利用点在双曲线上和点到直线的距离公式求出即可；
【详解】由已知，2? = 2，? = 5，所以? = 1，? = 5，则? = 2．
?
设?(?,?)为双曲线 C 上任意一点，则?2−? = 1，即4?2−?2 = 4．
2
4
而双曲线 C 的渐近线为2? ± ? = 0，
所以点 M 到两条渐近线的距离之积为
|2?−?|
5
|2?+?|
×= |4? −? | =
22
4
5
．
5
5
故选：B.
某班组织文艺晚会，准备从?,?等 7 个节目中选出 3 个节目演出，要求?,?两个节目中至少有一个被选中，且?,?同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A．84B．72C．76D．130
【答案】D
【分析】求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可.
【详解】依据题意分两类：第一类为：?,?只有一个选中，
则不同演出顺序有C1 ⋅ C2 ⋅ A3 = 120种情况；
2
53
第二类为：?,?同时选中，则不同演出顺序有C1 ⋅ A2 = 10种情况，
5
2
故不同演出顺序的种数为120 + 10 = 130，
故选：D．
从装有 3 个白球、5 个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A 表示事件“两次取出的球颜色相同”，B 表示事件“两次取出的球中至少有 1 个是红球”，则??|? =
（ ）
31310
A．4B．4C．13D．13
故选：D
?(?)13
?(??)10
==.
故? ?|?
14
8
C2
5
?(??) ==，
28
8
C
=，
C2
25
13
35
22
C +C
从而?(?) =
【答案】D
【分析】求出?(?)和?(??)，再利用条件概率的公式求解.
【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
下列说法正确的是（ ）
根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到?2 = 4.712，根据小概率值? = 0.05
的独立性检验（?0.05 = 3.841），可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05
若随机变量 ξ，η 满足? = 3?−2，则?(?) = 3?(?)−2
“事件 A，B 互斥”是“事件 A，B 对立”的充分不必要条件
1
若随机变量 X 服从两点分布，?(?)
(? = 1) = 2
= 9，则?3
【答案】A
【分析】由卡方的独立性检验可判断 A；故方差的性质可判断 B；利用充分与必要条件的定
义可判断 C；设?(? = 1) = ?，可昨?(1−?) = 9，可判断 D.
【详解】A 选项，?2 = 4.712 > 3.841 = ?0.05，故可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05，故 A 正确．
1
B 选项，若随机变量 ξ，η 满足? = 3?−2，则?(?) = 9?(?)，故 B 错误；
C 选项，事件 A，B 互斥不能推出事件 A，B 对立，但事件 A，B 对立，则一定有事件 A，B
互斥，
故“事件 A，B 互斥”是“事件 A，B 对立”的必要不充分条件，故 C 错误；
D 选项，随机变量 X 服从两点分布，设?(? = 1) = ?，由?(?) = 1
9
得：?(1−?) = 9，显然? = 3不是方程的解，故 D 错误．
故选：A.
1
2
已知函数?(?)的定义域为?，对任意? ∈ ?，有?′(?)−?(?) > 0，则“? < 2”是“e??(? + 1) >
e4?(2?−3)”的（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件D．充要条件
⇔? + 1 > 2?−3⇔? < 4，
所以“? < 2”是“e??(? + 1) > e??(2?−3)”的充分不必要条件，故选：A.
⇔?(? + 1) > ?(2?−3)
?(2?−3)
e2?−3
>
?(? + 1)
e?+1
e??(? + 1) > e4?(2?−3)⇔
e?
?(?)
令?(?) =，则?′(?) > 0，所以?(?)在?上单调递增.
?′(?)−?(?)
e?> 0，
′
【详解】因为? (?)−?(?) > 0，则
?(?)
【分析】根据题意，构造函数?(?) = e? ，可得函数?(?)在?上单调递增，再根据函数单调
性解得?>4，由充分性必要性的定义，即可得到结果.
【答案】A
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
2
在( ? + ?)
8
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
【答案】ACD
284
【详解】对于 A，( + ?) 展开式的常数项为C4 2
4
?
8( ? ) ·? = 1120，A 正确；
对于 B，展开式共 9 项，第 5 项的二项式系数最大，B 错误；
对于 C，所有项的二项式系数和为28，C 正确；
对于 D，取? = 1，得所有项的系数和为38，D 正确.
常数项为 1120B．第 4 项二项式系数最大 C．所有项的二项式系数和为28D．所有项的系数和为38
10．已知函数?(?) = ?3−3?，则下列说法正确的有（ ）
【答案】ABC
?(?)在(−∞,−1)上单调递增B．?(?)的极小值为−2 C．?(?)的图象关于原点对称D．?(?)有两个零点
【分析】求出函数的导数，求出单调递增区间判断 A；求出极小值判断 B；利用奇偶函数定义判断 C；求出函数的零点判断 D.
【详解】函数?(?) = ?3−3?的定义域为 R，求导得?′(?) = 3?2−3 = 3(? + 1)(?−1)，
对于 A，由?′(?) > 0，得? < −1或? > 1，函数?(?)在(−∞,−1),(1, + ∞)上单调递增，A 正确；
对于 B，由?′(?) < 0，得−1 < ? < 1，函数?(?)在(−1,1)上单调递减，
结合选项 A 得函数?(?)在? = 1取得极小值?(1) = −2，B 正确；
对于 C，?(−?) = (−?)3−3(−?) = −?3 +3? = −?(?)，函数?(?)是奇函数，其图象关于原点对称，C 正确；
对于 D，由?(?) = 0，解得? = 0,? =± 3，函数?(?)有 3 个零点，D 错误.
如图，在棱长为 2 的正方体????−?1?1?1?1中，?是侧面???1?1内的一点，?是线段
??1上的一点，则下列说法正确的是（）
过?1?的平面截此正方体所得的截面为四边形
9
当?为棱?? 的中点时，过点?,?,?
11的平面截该正方体所得的截面的面积为4
2
点?到直线??1的距离的最小值为
当?为棱?? 的中点且?? = 2 2时，则点?的轨迹长度为2π
13
【答案】ACD
【分析】根据题意和正方体的性质、空间点到直线的距离、圆的定义等，逐项分析即可解出.
【详解】选项 A，如图 1 所示，连接?1?，在??1上任取一点?，连接?1?,??，
过?1在侧面???1?1作?1? ∥ ??，?1?与??1的交点为?，连接??，得?1,?,?,?四点共面，
?在??1，?1?1，??上都有类似结果，?在其它棱上时，截面都是正方体的对角面，所以过?1?的平面截此正方体所得的截面为四边形，所以 A 正确；
选项 B，如图 2 所示，取??中点?，根据?,?分别为??,??1中点，易得?? ∥ ??1，所以
?,?,?,?1四点共面，该截面为四边形且为等腰梯形，
又?? = 2,??1 = 2 2,?? = ??1 = 5，
2
所以等腰梯形的高ℎ =5 −
1
2 2− 2
2
3 2
23 2
，
= 2
9
所以截面的面积为2 ×2 + 2 2 × 2 = 2，所以 B 错误；
选项 C，如图 3 所示，建立空间直角坐标系，可得?(2,2,0),?1(0,0,2)，所以??1 = (−2,−2,2).
设点?(0,2,?)(0 ≤ ? ≤ 2)，所以?? = (−2,0,?)，
2
?2??1·??
=
，
2 (?−1)2 + 2
则点?到直线?
1的距离? =?? −
|??1|3
所以? = 1时，距离最小，最小为 2，所以 C 正确；
【答案】7
3
选项 D，如图 4 所示，取??1的中点?，连接??,??,??，易得?? ⊥ 平面???1?1且?? = 2，
又?? ⊂ 平面???1?1，所以?? ⊥ ??，
所以?? =??2−??2 =
2 2 −22 = 2，
2
则点?在侧面???1?1内的运动轨迹为以点?为圆心，以 2 为半径的劣弧，其圆心角为3，
?
所以点?的轨迹长度为3 × 2 = 3 ，所以 D 正确.
?
2?
故选：ACD.
填空题
12．方程|?2−5| = ?有四个可以排列成等差数列的实根，则?的值为.
【答案】4
【分析】解法一：根据等式求解出方程的根，再根据等差数列性质列式求解即可；解法二：根据等差数列性质及绝对值等式的对称性设出四个解，再代入等式求解即可.
【详解】解法一：直接解方程
解得这四个解分别是： 5−?， 5 + ?，− 5−?，− 5 + ?
由等差关系，可知： 5 + ? = 3 5−?，解得? = 4.
解法二：利用对称性
可知，这四个解分别是：?，3?，−?，−3?，计算可得5−?2 = (3?)2−5，解得? = 1
即：? = 4.
故答案为：4.
13．某班有团员男生 5 名、女生 3 名，从这 8 人中选出 4 名代表，记选出的代表中男生的人数为 Y，则?(? = 3) = .
【分析】根据题意可知，从 8 人中抽出 4 人作为代表，求出其中男生代表为 3 人的概率，可
用超几何分布的概率公式计算.
【详解】根据超几何分布的概率公式?(? = ?) = ? ?−?，本题中? = 8,? = 3,? = 5,? = 4，
C? C?−?
C?
?
将数值代入可得：
3 4−3
?(? = 3) =
C ⋅C
5 8−5
C4
== .
10×3
3
8
707
故答案为：3.
7
14．若函数?(?) =
1?2
2
+4??与?(?) = 5?2
4
ln?−e5?，? > 0有公共点，且在公共点处的切线
22
0
令函数ℎ(?) = 5?ln?−9?，则ℎ′(?) = 5ln?−2.
2
22
5
e
5
0
9 2
2
5 2
9 2
2
2
= 5? ln? −e ?，即 ? = 5? ln?− ? = ? ln? − ? .
2
4
4
令ℎ′(?) < 0，解得0 < ? < e5，令ℎ′(?) > 0，解得? > e5，
4
4
所以ℎ(?)在 0,e5 上单调递减，在 e5, + ∞ 上单调递增，
4
则ℎ(?) ≥ ℎ e5 = − e5，即e5? ≥ − e5，解得? ≥ − .
5 4
4
5 4
5
222
则?的最小值为− .
5
2
故答案为：−
5
2
9 2
2
5?
因此? +4? =，即? +4?? −5? = 0，解得= ?或−5?.
?
设曲线? = ?(?)与? = ?(?)(? > 0)的公共点为(?0,?0)，两者在公共点处的切线方程相同，
2
【详解】?′(?) = ? + 4?，?′(?) = 5? .
9
22
5
= ?ln?− ?求其最小值即可.
22
2
? ln? − ? ，令函数ℎ(?)
2
5 2
4
【分析】根据两函数在公共点处的切线方程相同得?0 = ?及e5? =
5
2
【答案】−
+4??
0
2
?0
0
0
?
0
因为? > 0，?0 > 0，所以舍去?0 = −5?.
4
4
又
1 2
2
?
0
方程相同，则?的最小值为.
解答题
15．（13 分）已知函数?(?) = ?3 +??2 +?? + 1在? = 2处取得极值−9.
求实数?、?的值；
令?′(?) = 0，得?1 = −1，?2 = 2，令?′(?) < 0得−1 < ? < 2，
令?′(?) > 0得−3 < ? < −1或2 < ? < 3，
?′(?)、?(?)的值随?的变化情况如下表：
2
3?2−6? + 1，?′(?) = 3(? + 1)(?−2)，
（2）由（1）知?(?) = ?3−
3
所以当? = 2时，?(?)有极小值−9，所以? = −2，? = −6.
所以?′(?) = 3?2−3?−6 = 3(? + 1)(?−2)，
当? ∈ (−1,2)时，?′(?) < 0，?(?)在(−1,2)上单调递减；当? ∈ (2, + ∞)时，?′(?) > 0，?(?)在(2, + ∞)上单调递增.
2 .
−6
? = − 3
?′(2) = 0
【分析】（1）由题意可得 ?(2) = −9 ，解出?、?的值，结合函数极值的定义验证即可；
（2）利用导数求出函数?(?)在区间[−3,3]上的最大值和最小值，即可得出答案.
【详解】（1）由?(?) = ?3 +??2 +?? + 1，得?′(?) = 3?2 +2?? + ?.
?′(2) = 12 + 4? + ? = 0
又当? = 2时，?(?)有极值−9，所以 ?(2) = 8 + 4? + 2? + 1 = −9 ，解得 ? =
43
9
(2)最大值2，最小值− 2
3
【答案】(1)? = −2，? = −6
求函数?(?)在区间[−3,3]上的最值.
由表可知?(?)在[−4,4]上的最大值为?(−1) = 2，最小值为?(−3) = − 2 ，
9
43
16．（15 分）已知抛物线 ?:?2 = 4? ，焦点为 ? ，过 ? 且垂直于 ? 轴的直线交 ? 于
? . 以 ? 为圆心、 |??| 为半径作圆 ? . 设直线 ?:? = ?(?−1)(? > 0) 与圆 ? 交于 ?,?
两点，与 ? 交于 ?,? 两点， 其中 ?,? 在第一象限.
求圆 ? 的方程；
?
−3
(−3,−1)
−1
(−1,2)
2
(2,3)
3
?′(?)
+
0
−
0
+
?(?)
43
− 2
单调递增
9
极大值2
单调递减
极小值
−9
单调递增
7
− 2
?2
4
所以 = 0，无解，故不存在这样的?，使得|??| = |??|.
?2
= 2，即2 + 4 = 2，
2
2
+2，所以?1 + ? +2 = 4，即?1 + ?
+ ?
12
又|??| = ?
12
若|??| = |??|，则|??| = |??| + |??| = |??| + |??| = |??|，即得|??| = 4，
4
故Δ = 16?2 +16 > 0，? + ? = 2 +，
?2
2
2
2
2
，消去?整理得? ? −(2? + 4)? + ? = 0，
? = ?(?−1)
?2 = 4?
联立
【答案】(1)(?−1)2 + ?2 = 4
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据抛物线方程求出点?的坐标和|??|的长，得解；
（2）设?(?1,?1)，?(?2,?2)，联立直线与抛物线方程，由条件结合抛物线定义可得?1 + ?2
= 2，代入韦达定理得解.
【详解】（1）抛物线?2 = 4?的焦点?(1,0)，令? = 1，得? =± 2，所以|??| = 2，所以圆?的方程为(?−1)2 + ?2 = 4.
（2）不存在这样的?，理由如下：
设?(?1,?1)，?(?2,?2)，
是否存在 ? 使 |??| = |??| ？若存在，求出 ? ；若不存在，说明理由.
17．（15 分）如图，在三棱台???−?1?1?1中，平面??1?1? ⊥ 平面???，??1 = ?1?1 = ?1
? = 2，?? = 4，?? = ??．
证明：?1? ⊥ ??1；
求直线??1与平面??1?1所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)1
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，进一步得到??1 ⊥ ??，作出辅助线易得??1 ⊥ ?1?，可证明??1 ⊥ 平面?1??，再根据线面垂直的定义即可证得?1? ⊥ ??1；
（2）取?1?1中点?，易知直线??,??,??两两垂直，建立空间直角坐标系，设?? = ?
(? > 0)，再分别求出直线??1的方向向量与平面??1?1法向量，由线面角的夹角公式结合基本不等式求最大值即可.
【详解】（1）在三棱台???−?1?1?1中，取 AC 的中点 O，连接 BO，?1?，?1?，由?? = ??，得?? ⊥ ??，
由平面??1?1? ⊥ 平面???，平面??1?1? ∩ 平面??? = ??，
?? ⊂ 平面???，得?? ⊥ 平面??1?1?，而??1 ⊂ 平面??1?1?，则??1 ⊥ ??，
又?1?1 ∥ ??，?1?1 = ?? = ??1，则四边形?1???1是菱形，故??1 ⊥ ?1?，
而?1? ∩ ?? = ?，?1?，?? ⊂ 平面?1??，因此??1 ⊥ 平面?1??，又?1? ⊂ 平面?1??，所以?1? ⊥ ??1．
（2）取?1?1中点?，则?? ⊥ ??，
由平面??1?1? ⊥ 平面???，平面??1?1? ∩ 平面??? = ??，?? ⊂ 平面??1?1?，则?? ⊥ 平面???，直线??,??,??两两垂直，
以点 O 原点，直线 OB，OC，OM 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设?? = ?(? > 0)，
则?(?,0,0)，?(0,−2,0)，?1 0,−1, 3 ，?1 0,1, 3 ，
?1? = ?,1,− 3 ，?1?1 = (0,2,0)，?? = (?,2,0)
11?
??1 = ??1 + ?1?1 = ??1 + 2?? = −?,−1, 3 + 2(?,2,0) = − 2 ,0, 3 ，
+ 3 ⋅ ?2 + 3
= 3? = 3? = 3 (?2+12)(?2+3)
?4+15?2+36?2+15+ 36
≤
3 = 1，
3
?2
15+2 ?2⋅
36
?2
当且仅当? = 6时等号成立．
故直线??1与平面?? ?1所成角的正弦值的最大值为1.
1
3

?2
4
1
= 2
|?? | |?|
1
3 ?
1
|?? ⋅ ?|
sin? = |cs⟨?? ,?⟩| =
令? = 3，得? =3,0,? ，
设直线??1与平面??1?1所成的角为?，
?1?1 ⋅ ? = 2? = 0
设平面?1??1的法向量? = (?,?,?)，则 ?1? ⋅ ? = ?? + ?− 3? = 0 ，
18．（17 分）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为90%，乙生产线的产品合格率为95%．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为94%．
求甲、乙两条生产线的产量之比．
从混合产品中随机抽取 3 件，记其中甲生产线生产的件数为?，以频率估计概率，求?的分布列及数学期望．
从混合产品中随机抽取?(? ≥ 2)件，若发现恰有 2 件甲生产线生产的不合格品，记这一事
件发生的概率为??，求??取得最大值时?的值．
【答案】(1)1:4
(2)分布列见解析，5
(3)? = 99或 100
3
【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解；
(2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的5，可得? ∼ ? 3, 5 ，利用二项分布的分布列以及
期望公式求解即可；
1
1
(3)由题可得? = ? ⋅ (0.02) ⋅
?
2
2
?
(0.98)
?−2
，利用
? ≥ ?
??+1
?? ≥ ??−1
，解不等式即可求解.
【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有?件，乙生产线生产的这批电子产品有?件，
事件? = “混合在一起的电子产品来自甲生产线”，事件? = “混合在一起的电子产品来自乙生产线”，事件? = “混合在一起的某一零件是合格品”，
?? ≥ ??+1
由 ?? ≥ ??−1 ，解得99 ≤ ? ≤ 100．
所以当? = 99或 100 时，??取得最大值．
?
则?? = ?2 ⋅ (0.02)2 ⋅ (0.98)?−2，
1
（3）从混合产品中抽取 1 件是甲生产线生产的不合格品的概率为5 × 0.1 = 0.02，
3
1
?(?) = 3 × 5 = 5．
19．（17 分）已知函数?(?) = ?−?ln(? + 1).
若?(?) ≥ 0，求?的值；
2
2 1
4 1
12
3
1 3
4 0
1
3 5
5=
125
，?(? = 3) = ?3
5
5=
125
?
0
1
2
3
?
64
125
48
125
12
125
1
125
已知数列{??
}满足?1
3
?
= 2，且
? = 3??−1
2??−1+1
(? ≥ 2).
证明：数列
−1 为等比数列，并求{??
}的通项公式；
则?(?) = ?+?，?(?) = ?+?．
?
?
由?(?) = ?(?)?(?|?) + ?(?)?(?|?) =× 0.9 +× 0.95 = 0.94，
?
?
?+??+?
得? = 4．
所以甲、乙两条生产线的产量之比为1:4．
?1
（2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的5，所以? ∼ ? 3, 5 ．
1
1
?(? = 0) = ?0 1
03
1
3 5
4
5
641
=，?(? = 1) = ?1
2
125
3 5
4
5
48
=，
125
?(? = 2) = ?
，
所以?的分布列：
1
??
设{??}的前?项积为??，?为整数，若对任意的正整数?都有?? < ?，求?的最小值.
【答案】(1)? = 1
(2)（i）证明见解析，?? = 3?−1；（ii）2
【分析】（1）依题意可得?(0) = 0，当? ≤ 0时可知?(?)单调递增，不符合题意，当? > 0时，
3?
参考数据：ln2 ≈ 0.6931，ln3 ≈ 1.0986，ln5 ≈ 1.6094.
利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的值；
（2）（i）将?
= 3??−1 (? ≥ 2)
111
−1 ，结合等比数列的
?2?
?−1+1
两边取倒数，即可得到??−1 = 3
??−1
定义及通项公式计算可得；（ii）首先可得? > 1，则问题转化为ln?? < ln?，由（1）可得
1
ln(? + 1) ≤ ?，当且仅当? = 0等号成立，即可得到ln?? < 3?−1，再利用放缩法及等比数列
求和公式计算可得.
【详解】（1）函数?(?) = ?−?ln(? + 1)的定义域为(−1, + ∞)，由题意可得?(0) = 0.
若? ≤ 0，则?(?)单调递增，当−1 < ? < 0时，?(?) < 0，不符合题意；
若? > 0，则?′(?) = 1− ?
?+1
= ?+1−?，令?′(?) = 0，解得? = ?−1，
?+1
故当? ∈ (−1,?−1)时，?′(?) < 0，?(?)单调递减，当? ∈ (?−1, + ∞)时，?′(?) > 0，?(?)单调递增，此时?(?−1)为?(?)最小值，
若? ≠ 1，则有?(?−1) < ?(0) = 0，不满足题意，
若? = 1，则?(?) ≥ ?(0) = 0，故? = 1.
（2）（i）因为?? = 3??−1 (? ≥ 2)，
2??−1+1
1 2
所以
1 (? ≥ 2)1
11 −1
?? = 3 + 3?
11
?−1
1 −1
，即??−1 = 3
1
??−1，
1
1
?
又? −1 = −3，故 ?是以首项为−3，公比为3的等比数列，
113?
?
故? −1 = −3?，得?? = 3?−1，
经检验? = 1时同样成立，故?
3? .
? = 3?−1
（ii）由?1 = 3 > 1，且?? > 1，可得? > 1，
2
则?? < ?即ln?? < ln?，
而ln?? = ln(?1 ⋅ ?2 ⋅⋅⋅⋅⋅ ??) = ln?1 + ln?2 + ⋅⋅⋅ + ln??，
又?
3?1
? = 3?−1 = 3?−1 +1，
由（1）可得?−ln(? + 1) ≥ 0，则ln(? + 1) ≤ ?，当且仅当? = 0等号成立，
故ln?
1
= ln
1
+ 1