2027年高考数学人教A版一轮复习2.5 函数的对称性及应用（课件+讲义）

这是一份2027年高考数学人教A版一轮复习2.5 函数的对称性及应用（课件+讲义），共9页。PPT课件主要包含了知识重构，ACD，ABD，抽象函数等内容，欢迎下载使用。
[考情引航]　1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　2.会利用对称公式解决问题.
启航　固本清源　自主诊断
2.函数自身的对称性(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线______对称.特别地,当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)时,则y=f(x)的图象关于直线_____对称.(2)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点____对称.特别地,当b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0或f(-x)+f(2a+x)=0时,则y=f(x)的图象关于点_____对称.
[常用结论]1.奇偶性与对称性之间的两个常用结论(1)y=f(x+a)是偶函数⇔f(a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于x=a对称.(2)y=f(x+a)是奇函数⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.2.对称性与周期性之间的三个常用结论(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期为T=2|a-b|.(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T=2|a-b|.(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.
[诊断自测]1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称.( )(2)若函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.( )(3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0,则f(x)的图象关于y轴对称.( )(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称. ( )
3.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=　　　　. 
解析　∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),由f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5.
解析　y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称,y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1,2).
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点　　　　. 
导航　考点精研　核心突破
(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是(　　 )A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.4为f(x)的周期D.y=f(x+4)为偶函数
解析　∵f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误;∵函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f(x),∴4为f(x)的周期,故C正确;∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.
对称轴、对称中心的判断　设P0(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点1.若y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称⇔点P1(2a-x0,2b-y0)在y=f(x)的图象上.2.若y=f(x)的图象关于直线x=m对称⇔点P2(2m-x0,y0)在y=f(x)的图象上.
2.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则ab=　　　　. 
应用对称性与周期性综合解题的技巧函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.
解析　f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,由f(1-x)=f(1+x),知f(0)=f(2),则f(26)=f(4×6+2)=f(2)=f(0)=0.
考点三　对称性、周期性与单调性例3 (多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+4)为偶函数,f(-x+2)为奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递增,则(　　 )A.f(2)=0B.直线x=4为函数f(x)图象的一条对称轴C.函数f(x)在[4,6]上单调递增D.函数f(x)是周期函数
解析　因为f(-x+2)为奇函数,所以f(-x+2)=-f(x+2),令x=0,可得f(2)=0,故A正确;由于f(x+4)为偶函数,f(-x+4)=f(x+4),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故B正确;因为f(-x+2)为奇函数,所以f(-x+2)=-f(x+2),则f(4-x)=-f(x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,因为f(x)在[0,2] 上单调递增,所以在[2,4] 上单调递增,又函数f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(x)在[4,6] 上单调递减,故C错误;由f(4+x)=f(4-x)=-f(x),所以f(x+8)=-f(4+x)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数,故D正确.
解决函数性质的综合问题,一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间,然后利用单调性比较大小或解不等式.
1.我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,解决抽象函数问题的两种常用方法有:函数性质法和特殊值法.2.常见的抽象函数模型(1)f(x+y)=f(x)+f(y)可看作f(x)=kx的抽象表达式.(2)f(x+y)=f(x)f(y)可看作f(x)=ax的抽象表达式(a>0,且a≠1).(3)f(xy)=f(x)+f(y)可看作f(x)=lgax的抽象表达式(a>0,且a≠1).(4)f(xy)=f(x)f(y)可看作f(x)=xα的抽象表达式.
例 (1)(一题多解)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)x2,则x1-x2>0,所以f(x1-x2)