2027届高中数学高考一轮复习第47讲 空间直线、平面的平行 课时作业

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1.(2026·湖南郴州模拟)设α,β是两个平面,m,n是两条直线,若m⊂α,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β,n∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:若m∥β,n∥β,则α,β可能平行,也可能相交,故α∥β不一定成立,
若α∥β,则m∥β,n∥β,
故“α∥β”是“m∥β,n∥β”的充分不必要条件.
2.已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C'.若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=( )
A.2∶3B.2∶5
C.4∶9D.4∶25
答案:D
解析:∵平面α∥平面ABC,∴A'C'∥AC,A'B'∥AB,B'C'∥BC.又PA'∶AA'=2∶3,∴PA'∶PA=A'B'∶AB=2∶5,∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.
3.(2026·贵州贵阳模拟)已知直线l,平面α,则l∥α的一个充要条件是( )
A.α内存在一条直线与l平行
B.l平行α内无数条直线
C.垂直于α的直线都垂直于l
D.存在一个与α平行的平面经过l
答案:D
解析:对于A,由α内存在一条直线与l平行,则l∥α或l⊂α,所以A不正确.
对于B,由l平行α内无数条直线,则l∥α或l⊂α,所以B不正确.
对于C,由垂直于α的直线都垂直于l,则l∥α或l⊂α,所以C不正确.
对于D,如图所示,由l∥α,在直线l上任取一点P作直线a,使得a∥α,因为l∩a=P且l,a⊂平面β,所以α∥β,即充分性成立;反之,若存在一个与α平行的平面经过l,根据面面平行的性质,可得l∥α,即必要性成立,所以D正确.
4.(多选)(2026·云南昆明模拟)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,下列结论正确的是( )
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.PA∥平面BDG
C.EF∥平面PBC
D.EF∥平面BDG
答案:ABC
解析:先把平面展开图还原为一个四棱锥如图所示,对于A,因为E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,所以EF∥AD,GH∥BC,因为AD∥BC,所以EF∥GH,所以EF,GH确定平面EFGH,因为EF⊂平面EFGH,AD⊄平面EFGH,所以AD∥平面EFGH,同理可得AB∥平面EFGH.因为AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD,所以A正确.对于B,连接AC,BD交于点O,则O为AC的中点,连接OG,因为G为PC的中点,所以OG∥PA,因为OG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,所以PA∥平面BDG,所以B正确.对于C,由E,F分别为PA,PD的中点,可得EF∥AD,由AD∥BC,可得EF∥BC.因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,所以C正确.对于D,若EF∥平面BDG,因为PA∥平面BDG,且EF∩PA=E,EF,PA⊂平面PAD,可得平面PAD∥平面BDG,显然不正确,所以EF与平面BDG不平行,所以D不正确.
5.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有 .(填序号)
答案:①③
解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以m∥n,③正确.
6.(2026·江苏南京模拟)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.
(1)证明:EF∥平面BDD1B1;
(2)设G为CD的中点,证明:平面GEF∥平面BDD1B1.
证明:(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,连接BM,如图.
因为E,F分别是BC,CM的中点,所以EF∥BM.
又EF⊄ 平面BDD1B1,BM⊂ 平面BDD1B1,所以EF∥ 平面BDD1B1.
(2)因为G 是CD 的中点,E是BC 的中点,
所以EG∥BD.
又EG⊄ 平面BDD1B1,BD⊂ 平面BDD1B1,所以EG∥ 平面BDD1B1.
由(1)知EF∥ 平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF,EG⊂ 平面GEF,所以平面GEF∥ 平面BDD1B1.
[B组 能力提升练]
7.(多选)(2026·河南焦作模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则( )
A.D1D⊥AF
B.A1G∥平面AEF
C.直线A1B与EF夹角的余弦值为12
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
答案:BC
解析:因为D1D∥C1C,C1C不与AF垂直,所以D1D不与AF垂直,故A错误.
根据题意,易得AD1∥EF,所以平面AEF 即平面AEFD1.又A1G∥D1F,A1G⊄ 平面AEFD1,D1F⊂平面AEFD1,所以A1G∥ 平面AEFD1,故B正确.
易得EF∥BC1,故直线A1B 与EF夹角的余弦值为12,故C正确.
点G到平面AEF的距离即为点A1 到平面AEF的距离,也为点D到平面AEF的距离.而CD与平面AEF相交,所以C,D两点到平面AEF的距离不相等,故D错误.
8.(2026·山东青岛质检)我国古代的数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M,N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为 .
答案:2213
解析:延长AN,与CC1的延长线交于点P,
则P∈平面BB1C1C,
连接PM,与B1C1交于点E,连接NE,得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形,由题意解三角形可得NE=ME=173,
AM=AN=5,MN=6,
∴在△AMN中MN边上的高
h1=(5)2−(62)2=142,
在△EMN中MN边上的高
h2=(173)2−(62)2=146,
∴平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为S△AMN+S△EMN=12MN·(h1+h2)=12×6×(142+146)=2213.