2025年高考数学一轮复习-第七章-第三节 空间直线、平面的平行-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第七章-第三节 空间直线、平面的平行-课时作业【含解析】，共12页。
1.下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行；
（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行；
（4）两条直线能确定一个平面.
A.0 B.1
C.2 D.3
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
3.（多选）（2024·北京质检）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
4.（多选）（2024·山东淄博）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题有（ ）
A.①②③⇒④ B.①③④⇒②
C.①②④⇒③ D.②③④⇒①
5.（多选）（2024·山东济宁）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是（ ）
6.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且 ，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有 （填序号）.
7.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝ .
8.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
（1）证明：GH∥EF；
（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
[B组 能力提升练]
9.（多选）如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点（不含端点），则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有（ ）
A.B，E，C，F四点不共面
B.存在点F，使得CF∥平面BAE
C.三棱锥B－ADC的体积为定值
D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝3，E，F，G分别是AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是 .
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点.
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P－ABM的体积.
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD＝23.
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA.
（2）若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
2025年高考数学一轮复习-第七章-第三节 空间直线、平面的平行-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行；
（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行；
（4）两条直线能确定一个平面.
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：A
解析：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4），两条直线不一定能确定一个平面，所以是错误的.
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
答案：B
解析：过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），则BQ和平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG和AP必相交，故平面APC和平面EFG相交，故C错误；平面A1BQ与平面EFG有公共点Q，故平面A1BQ和平面EFG相交，故D错误.
3.（多选）（2024·北京质检）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
答案：ABC
解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1∥AA1，CC1⊄平面A1ABB1，AA1⊂平面A1ABB1，
所以CC1∥平面A1ABB1，A正确；
因为平面ABC∥平面A1B1C1，AF⊂平面ABC，所以AF∥平面A1B1C1，B正确；
取AB中点G，连接A1G，GF（图略），
因为G，F分别是棱AB，BC的中点，
所以GF∥12AC，且A1E∥12AC，
所以GF∥A1E，且GF＝A1E，所以四边形GFEA1为平行四边形，
所以EF∥A1G，EF⊄平面A1ABB1，A1G⊂平面A1ABB1，
所以EF∥平面A1ABB1，C正确；
取AC中点H，连接C1H（图略），易证得四边形AHC1E为平行四边形，所以EA∥C1H，C1H与平面B1BCC1相交，所以AE与平面B1BCC1相交，D不正确.
4.（多选）（2024·山东淄博）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题有（ ）
A.①②③⇒④ B.①③④⇒②
C.①②④⇒③ D.②③④⇒①
答案：AC
解析：∵m∥α，α∥β，∴m∥β.∵n∥m，n⊄β，∴n∥β，A正确.
α∥βm∥α⇒m∥βn∥β⇒m与n可能相交、异面或平行，B错.
当α∥β，m∥n，n∥β，
且m⊄α，则
有m∥α，C正确.
对于D，α与β可能相交，D错.
5.（多选）（2024·山东济宁）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是（ ）
答案：AC
解析：对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图，设正方体两顶点分别为M，N，
∵AB∥MN，MN与平面DEF相交，
∴AB与平面DEF相交，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，
∴直线AB与平面DEF相交，故D错误.
6.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且 ，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有 （填序号）.
答案：①或③
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.
7.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝ .
答案：52
解析：由平面α∥平面β，平面PAB∩平面α＝CD，平面PAB∩平面β＝AB，
∴AB∥CD，∴PCPA＝CDAB.∵PC＝2，CA＝3，CD＝1，
∴1AB＝22+3，∴AB＝52.
8.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
（1）证明：GH∥EF；
（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
（1）证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
（2）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，
从而GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK＝12PO，且G是PB的中点，所以GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.
易得EF＝BC＝8，故四边形GEFH的面积
S＝GH＋EF2·GK＝4+82×3＝18.
[B组 能力提升练]
9.（多选）如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点（不含端点），则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有（ ）
A.B，E，C，F四点不共面
B.存在点F，使得CF∥平面BAE
C.三棱锥B－ADC的体积为定值
D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直
答案：AB
解析：对于A，假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，
又因为E在折前线段BC上，BC∩平面BCF＝C，所以E与C重合，与E异于C矛盾，
所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，即B，E，C，F四点不共面，故A正确；
对于B，如图，当F为线段BD的中点，
EC＝12AD时，直线CF∥平面BAE，证明如下：
取AB的中点G，连接GE，GF，
则EC∥FG且EC＝FG，
所以四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG.又因为EG⊂平面BAE，FC⊄平面BAE，
则直线CF与平面BAE平行，故B正确；
对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE.
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D不正确.
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝3，E，F，G分别是AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是 .
答案：72
解析：如图，连接D1A，AC，D1C.
因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，
所以AC∥EF.又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
则EF∥平面ACD1.
同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，
EF，EG⊂平面EFG，
所以平面ACD1∥平面EFG.
因为直线D1P∥平面EFG，
所以点P在直线AC上.
在△ACD1中，易得AD1＝2，AC＝2，CD1＝2，
所以S△AD1C＝12×2×22－222＝72，
故当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为7212×2＝72.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点.
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P－ABM的体积.
（1）证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA.
又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.
（2）解：由（1）知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，
∴VP－ABM＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝13×12×1×3×2＝33.
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD＝23.
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA.
（2）若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
（1）证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝23.
又因为CQQD1＝BPPD＝23，所以CQQD1＝CPPM＝23，
所以PQ∥MD1.
又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
（2）解：当ARAB的值为35时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，
如图，证明如下：
因为ARAB＝35，即BRRA＝23，故BRRA＝BPPD，
所以PR∥DA.
又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA.
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.