北京市月坛中学2026年春学期九年级下册数学5月份阶段学情自测试卷（有答案和解析）

这是一份北京市月坛中学2026年春学期九年级下册数学5月份阶段学情自测试卷（有答案和解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2026的相反数是( )
A. −2026B. 2026C. −12026D. 12026
2.以下图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x(a−b)=ax−bxB. x2−1+y2=(x−1)(x+1)+y2
C. x2−1=(x+1)(x−1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c
4.下列现象能用“垂线段最短”来解释的是( )
A. B.
C. D.
5.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为( )
A. 1.75×103B. 1.75×1012C. 175×108D. 1.75×1011
6.如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A. B. C. D.
7.下列计算正确的是( )
A. −3x2=−9x2B. x−32=x2−6x+9
C. 7x+5x=12x2D. x−2yx+2y=x2+4y2
8.如图：小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是( )
A. 3B. 13C. 34D. 33
9.在《西游记》中，孙悟空从龙宫得了披挂武器后，与牛魔王结拜为兄弟，彼此推杯换盏，把酒言欢，若他们二人共喝了84斗酒，且孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，设孙悟空喝了x 斗酒，牛魔王喝了y斗酒，则可列方程为( )
A. x+y=84y−x=4B. 4x+y=84x−y=4C. x+y=84x−y=4D. 4x+y=84x=4y
10.如图：AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、CD、AD，若∠ADC=60 ∘，则∠BAC的度数是( )
A. 15 ∘B. 20 ∘C. 25 ∘D. 30 ∘
11.如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90 ∘至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB=8，BC=6，则MN=( )
A. 8B. 6C. 5D. 5 2
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为( )
①abc0；③9a−3b+c=0；④am2+bm>a−b(m为任意实数)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.因式分解：3a−12ay2= .
14.如图：已知AB//CD,EF⊥BD,∠1=50 ∘，则∠2= .
15.若二次根式 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
16.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF//AB时，∠EDB的度数为 .
17.数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足BCAC= 22(AC>BC)，则点C为线段AB的白银分割点．如图，已知点C是线段AB的白银分割点(AC>BC)，且BC=4，则AC= .
18.如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为 m.
三、计算题：本大题共1小题，共15分。
19.根据题目要求认真计算下列各题
(1)−12−2+2cs60 ∘+−3− 2−10−327
(2)解不等式组1+x>−22x−13≤1
(3)解方程x2x−1=32x−1
(4)解方程组2x+y=23542x−y=−274
(5)先化简再求值1−1y+2÷y2−1y+2，其中y=2− 2.
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：
(1)本次参与调查的学生共有 人，n= ；
(2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？
21.(本小题6分)
图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度(轮毂中心高度)的示意图．已知无人机在距塔筒AB水平距离100m的地面点C处竖直升至点D处悬停，点D距离地面的高度为50m，在点D处测得塔筒顶端A的仰角∠ADE为42 ∘.求这座风电塔筒AB的高度(结果取整数).(参考数据：sin42 ∘≈0.669，cs42 ∘≈0.743，tan42 ∘≈0.900)
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90 ∘，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB、AC于点E、点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CF=2cm，OA:OC=3:5，求AE的长．
23.(本小题9分)
如图：一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象相交于A−1,3、Ba,−1两点，与y轴相交于点C.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
(3)根据函数图象直接写出不等式mx+n>kx的解集．
24.(本小题9分)
综合与实践：
【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为45 ∘的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45 ∘，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点，易证得EF=BE+FD.
证明思路：如图2，延长CB至点H，使BH=DF，连接AH，可证△ADF≌△ABH，再证△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF.
(1)【知识应用】如图2，已知DF=2，CF=3，则BE的长为 ；
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90 ∘，∠BAD=120 ∘，以A为顶点的∠EAF=60 ∘，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展提升】若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，点E为CD中点且AE平分∠DAM，如图4，试判断AM，AD和MC之间的数量关系并给出证明．
25.(本小题9分)
已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A−1,0、B4,0两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图(1)：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接CE、AD交于点P，连接AC，若S△ACP=14S△ACE，求点D的坐标；
(3)如图(2)：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线MN分别交x轴、y轴于点F、T，直线CM交x轴于点G，若∠CGO=∠MFG，且OF+OG=32CT，求直线MN的解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：−2026的相反数是2026，
故选：B.
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C中的图象都可以沿着中间竖直的直线折叠，两边可以完全重合，故是轴对称图形；选项D中图形无论沿着哪条线折叠，都不可能让两侧完全重合，则不是轴对称图形．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查学生对因式分解知识点概念的掌握．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，根据概念可逐一进行分析.
【解答】
解：A.本选项右边不是整式乘积的形式，不合题意；
B.本选项右边不是整式乘积的形式，不合题意；
C.本选项右边属于整式乘积的形式，符合题意；
D.本选项右边的乘积与左边不等，不属于因式分解，不合题意.
4.【答案】A
【解析】根据几何原理判断求解即可；
【详解】
解：A.，用垂线段最短解释；
B.，用两点确定一条直线解释；
C.，用两点确定一条直线解释；
D.，用两点之间线段最短解释；
5.【答案】D
【解析】解：175000000000=1.75×1011.
6.【答案】A
【解析】主视图是从正面看得到的平面图形，根据几何体的排列确定每一列小正方形的个数．
【详解】从正面看，该几何体共有3列，从左到右每列小正方形的个数分别为1，1，2，
∴主视图底层有3个小正方形，最右侧上层有1个小正方形，
∴主视图是A项．
7.【答案】B
【解析】根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，逐一计算各选项即可得到答案．
【详解】解：A、−3x2=9x2，原式计算错误；
B、x−32=x2−6x+9，原式计算正确；
C、7x+5x=12x，原式计算错误；
D、x−2yx+2y=x2−4y2，原式计算错误．
8.【答案】D
【解析】直接用勾股定理求出水平距离为10 3，再根据坡度等于竖直距离与水平距离的比求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，水平距离为 202−102=10 3(米)，
∴斜坡的坡度是1010 3= 33.
9.【答案】C
【解析】本题考查了二元一次方程的应用，根据他们二人共喝了84斗酒，可得x+y=84，根据孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，可得x−y=4，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
x+y=84x−y=4，
故选：C.
10.【答案】D
【解析】连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等，求出∠ABC的度数；再根据直径的性质得到△ABC是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出∠BAC的度数．
【详解】解：如图，连接BC.
∵∠ADC和∠ABC都是⊙O中弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=60 ∘.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90 ∘，
∴在Rt△ABC中，∠BAC=90 ∘−∠ABC=90 ∘−60 ∘=30 ∘.
11.【答案】D
【解析】先由矩形的判定与性质、旋转性质得到相关角度与线段，再由勾股定理及三角形中位线的判定与性质求解即可．
【详解】解：连接BD、BF、DF，延长FE、AD交于点H，如图所示：
∴四边形HECD是矩形，
∴∠H=90 ∘，HE=CD=AB=8，HD=CE，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90 ∘至矩形EBGF的位置，
∴BE=AB=8，EF=AD=BC=6，
则HD=CE=BE−BC=8−6=2，
在Rt△DHF中，HF=HE+EF=8+6=14，由勾股定理可得DF= HD2+HF2= 22+142=10 2，
在矩形ABCD中，BD=AC，且MB=MD；在矩形EBGF中，BF=EG，且NB=NF，
∴MN是△BDF的中位线，
则MN=12DF=12×10 2=5 2.
12.【答案】C
【解析】解：①由抛物线可知：a>0，c0，
∴abc0，
即b2−4ac>0，故②正确；
③由题意，∵(1,0)关于x=−1的对称点为(−3,0)，
∴x=−3时，y=9a−3b+c=0，故③正确；
④当x=−1时，y的最小值为a−b+c，
∴x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
∴am2+bm≥a−b，故④错误．
综上，正确的有①②③共3个．
故选：C.
依据题意，由抛物线可得a>0，cBC)，BC=4，∴4AC= 22，∴AC=4 2.故答案为4 2.
18.【答案】1.8
【解析】解：如图建立坐标系：

∵AB=2m，CD=4m，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，
∴B(1,0)，P(0,0.6)，
设y=ax2+0.6，将B(1,0)代入得0=a+0.6，
解得a=−0.6，即y=−0.6x2+0.6，
当x=12CD=2时，y=−0.6×22+0.6=−1.8，
即点B到CD的距离为1.8m，
故答案为：1.8.
建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入D的横坐标即可．
本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：−12−2+2cs60 ∘+−3− 2−10−327
=4+2×12+3−1−3
=4+1+3−1−3
=4.
【小题2】
解：{1+x>−2①2x−13⩽1②
解不等式①，得x>−3，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为−3kx的解集为x