2027届高考数学一轮总复习素能培优(17)概率与统计的综合问题【课件】

这是一份2027届高考数学一轮总复习素能培优(17)概率与统计的综合问题【课件】，共42页。
考情分析:概率与统计解答题每年高考必考,主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等.既有比较基础的简单应用,也有各类知识交汇的综合题,如概率与统计图表交汇、概率与统计和统计案例交汇、概率与函数及数列及不等式等的交汇等.此类问题能体现“返璞归真,支持课改;突破定势、考查真功”的命题理念,题目一般篇幅较长,对阅读理解能力要求较高,考查数学建模和数学运算等核心素养.
题型一　统计图表与概率
例1　(2025·四川成都模拟)某保险公司给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保险,现从10 000名参保人员中随机抽取100名进行分析,这100个样本按年龄段[20,30),[30,40), [40,50),[50,60),[60,70]分成了五组,其频率分布直方图如下图所示,每人每年应交纳的保费
(单位:元)与参保年龄有关,年龄在[10(n+1), 10(n+2))(n∈N*,1≤n≤5)内所缴保费记为an,数列{an}是公差为30的等差数列,前n项和为Sn,S5=450.
(1)根据样本估计总体,求保险公司这一年的保费收入;(2)经调查,年龄在[60,70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为12 000元,如果参保,保险公司补贴治疗费10 000元.某老人年龄65岁,若购买该项保险,针对此疾病所支付的费用为X元;若没有购买该保险,针对此疾病所支付的费用为Y元.试比较X和Y的期望值大小,并判断该老人购买此项保险是否划算.
规律方法　频率分布直方图与概率的综合问题有两个考查方向:(1)通过阅读频率分布直方图,寻找规律的统计类或综合类问题,用样本估计总体,特别是平均数、方差的计算等;(2)以综合事件为载体,通过对事件进行分解求事件发生的概率,也可能通过随机变量的分布研究期望和方差,进行统计决策等.
(1)若初评中甲获得C等级,乙、丙获得D等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是B等级的概率.
题型二　回归分析与概率
例2　(2025·广东惠州模拟)强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才,对考生设置两项能力测试:学科知识整合能力指标x(考察数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维能力指标y(考察逻辑推理、问题建模等能力).随机抽取5名考生的测试结果如下表.
规律方法　破解概率与回归分析的综合问题的关键(1)求两个变量的平均值;(2)能根据已知数据求方程;(3)能利用概率公式、离散型随机变量的分布列等处理数据.
[对点训练2](2025·河北石家庄调研)为了丰富农村儿童的课余文化生活,某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2020年以来,某村一直在组织开展“悦读小屋”读书活动.下表是对2020年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计.
题型三　独立性检验与概率
例3　(2023·全国甲,文19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下.对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.826.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.635.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.823.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
(1)计算试验组的样本平均数.(2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表.
规律方法　高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查.解决独立性检验问题,要注意过好“三关”:假设关、公式关、对比关.解决概率问题要准确把握题中所涉及的事件,明确所求问题所属的事件类型.
[对点训练3](2025·陕西西安一模)某地一景区为了吸引游客,进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度,随机抽取400人进行调查,得到如下2×2列联表.
题型四　概率统计与函数、导数的综合问题
例4　(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
规律方法　在概率与统计的问题中,决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.
题型五　概率统计与数列的综合问题
规律方法　概率统计与数列的综合问题的步骤(1)审题拆分:定概率事件类型(如独立重复、随机游走)与数列形式(等差、等比、递推),提取变量建概率递推关系;(2)建模转化:列概率递推式,通过构造等差或等比数列简化模型;(3)性质计算:求数列通项,求解问题;(4)代入验证:代初始值校验,确保概率在[0,1]内,契合实际场景.