2025-2026学年安徽省阜阳市临泉县临化高级中学高一（下）期中数学试卷（A卷）

这是一份2025-2026学年安徽省阜阳市临泉县临化高级中学高一（下）期中数学试卷（A卷），共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.向量=（ ）
A. B. C. D.
2.已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+b=4，c=，C=，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. 4D.
3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为（ ）
A. 2B. 2C. 4D. 8
4.设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
5.平面向量，满足|-|=3，||=2||，则-与夹角最大值时||为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为（ ）
A. 1
B.
C. 3
D. 2
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若=6，则的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，若P为侧面ADD1A1内（含边界）的动点，且B1P∥平面BEF，则B1P的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A. z为纯虚数B. 在复平面内，对应的点位于第三象限
C. z的虚部为2iD.
10.正多面体统称为柏拉图体.若连接某正方体ABCD-A1B1C1D1的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体Ω.则（ ）
A. Ω是正六面体
B. 正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2
C. Ω与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比是
D. 平面ACC1A1与Ω相交所得截面的面积是
11.如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把三角形ABC折起来，则（ ）
A. 在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C
B. 三棱锥A-DB′C的体积的最大值为
C. 当∠B′DC=60°时，点A到B′C的距离为
D. 当∠B′DC=90°时，点C到平面ADB′的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若|=||=3，∠AOB=60°，则|+|= ______．
13.如图，设ΔABC的重心为M，O为平面内任意一点，，试用表示向量，则= .
14.如图，在△ABC中，F，E分别在线段BC，AC上，且2BF=FC，AE=2EC，AF，BE交于点P，若，则x-2y= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知||=4，||=8，与的夹角是120°．
（1）计算||，|4-2|；
（2）当与k的夹角为钝角时，求k的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量，，x∈[0，π].
（1）若，求x的值；
（2）记，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=-．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，a+c=4，求a的值．
18.(本小题17分)
如图，正△ABC边长为2，D、E分别是边AB，AC的中点，现沿着DE将△ADE折起，得到四棱锥A′-BCED，点M为A′C中点.
（1）求证：ME∥平面A′BD.
（2）若，求四棱锥A′-BCED的表面积.
（3）过ME的平面分别与棱A′D，A′B相交于点S，T，记△A′ST与△A′BD的面积分别为S△A′ST、S△A′BD，若，求的值.
19.(本小题17分)
如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD=DA，，线段BC上的点G满足AG∥平面DEF，点Q在PC上，AQ∥DF.
（1）求证：平面AQG∥平面DEF；
（2）求证：QG∥EF；
（3）若GC=2BG，求λ的值.
​​​​​​​
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】解：（1）因为||=4，||=8，与的夹角是120°，
所以||2==16+64+2•4•8cs120°=48，
所以||=，
因为|2|2==4•16+64-4•4•8cs120°=12•16，
所以|2-|=8，
所以|4-2|=2|2-|=16，
（2）由（1）知，与不共线，所以与k均非零向量，
①当与k方向相反时，设k=-λ（），λ＞0，
则有（k+λ），因为与不共线，所以，
解得，所以当与k的夹角为钝角时，k≠-，
②当与k方向不相反时，即k≠-，
与k的夹角为钝角⇔（）•（k）＜0⇔
⇔16k+（2k-1）4•8•cs120°-2•64＜0⇔-k-7＜0⇔k＞-7，
由①②知k的取值范围为（-7，-）∪（-，+∞）．
16.【答案】 时，f（x）取到最大值2，x=0时，f（x）取到最小值-1
17.【答案】解：（1）由正弦定理得===2R，得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入=-，
即2sinAcsB+sinCcsB+csCsinB=0，
化简得：2sinAcsB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcsB+sinA=0，
∵sinA≠0，∴csB=-，
又∵角B为三角形的内角，∴B=；
（2）将b=，a+c=4，B=，
代入余弦定理b2=a2+c2-2accsB，得
13=a2+（4-a）2-2a（4-a）cs，
∴a2-4a+3=0，
∴a=1或a=3．
18.【答案】解：（1）取A′B中点N，连DN，MN，
因为点M为A′C中点，
∴MN∥BC，且，
同时因为∵D、E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且，
∴MN∥DE，MN=DE，∴四边形MNDE是平行四边形，
∴ME∥ND，
又ND⊂平面A′BD，ME⊄平面A′BD，
∴ME∥平面A′BD．

（2）∵，∴A′D2+DB2=A′B2，
∴∠A′DB=90°，
∴，
根据对称性有，而BC=2，
∴A′C2+A′B2=BC2，
∴∠CA′B=90°，
∴，
而，
四棱锥A′-BCDE的面积．
（3）

由（1）知ME∥平面A′BD，
ST=平面A′BD∩平面MEST
∴ME∥ST，，∴，
又∵ST∥DN，
∴，
∴．
19.【答案】解：（1）证明：∵AQ∥DF，DF⊂平面DEF，AQ⊄平面DEF，
∴AQ∥平面DEF，
∵AG∥平面DEF，AQ∥平面DEF，AG∩AQ=A，AG⊂平面AGQ，AQ⊂平面AGQ，
∴平面AQG∥平面DEF，得证；
（2）证明：由（1）知：平面AQG∥平面DEF，
又平面BCP∩平面DEF=EF，平面BCP∩平面AQG=QG，
∴QG∥EF，得证；
（3）由题意可得D是PA的中点，
由于AQ∥DF，可得，
可得F是PQ的中点，PF=FQ，
∵，且三棱锥P-ABC各棱长均为1，可得BE=PF=λ，
∴PE=1-λ，FQ=λ，PQ=2λ，CQ=1-2λ，
∵点Q在PC上，
∴1-2λ＞0，解得，
∵GC=2BG，
∴，
∴==，
=
=
=-2λ-+
=，
由（2）知：QG∥EF，
∴，
∴∃k∈R，使得，
即，
由平面向量基本定理可得，解得，
综上所述，λ的值为．