湖北省荆州市荆州中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定是，.
故选：D
2. 设集合，集合，则的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，进而确定正确答案.
【详解】依题意，，共个元素，
所以子集个数为.
故选：D
3. 若是第四象限角，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据，即可求解.
【详解】由于是第四象限角，故，
故在第三象限，
故选：C
4. 已知，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案.
【详解】因为，则，
且，可得，
所以.
故选：A.
5. 已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】，所以AD选项错误，
，所以C选项错误.
综上所述，B选项正确.
故选：B
6. 两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A. 第一种B. 第二种C. 都一样D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，为正数，且，
第一种方式购买的平均价格为，
第二种方式，设每次购买的花费为，
则购买的平均价格为，
由基本不等式得，
所以选第二种方式比较经济.
故选：B
7. 设，，则等于（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果.
【详解】因为，，则，
可得，，则，
又因为，
所以.
故选：B
8. 已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件构造新函数得到它在上是增函数，再利用分段函数的单调性列式求解即可.
【详解】因为且，
不妨设，则，
则，
所以，
令函数
则为上的增函数，则
解得.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象（B的横坐标为），则下列说法正确的是（ ）
A. 图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B. 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C. 图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D. 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.
【详解】A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；
B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；
C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；
D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.
故选：ABD
10. （多选）下列化简正确的是（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简.
【详解】对于选项A，因为，
所以，
所以，A错误.
对于选项B，因为，
所以，B 正确.
对于选项C，方法一：
.
方法二：
，C正确.
对于选项D，，D正确.
故选：BCD
11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ）
A. 所有偶函数都具有性质
B. 具有性质
C. 若，则一定存正实数，使得具有性质
D. 已知，若函数具有性质，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D.
【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则，
可得，
所以所有偶函数都具有性质，故A正确；
对于选项B：因为，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故对任意的，，
所以具有性质，故B正确；
对于选项C：因为，
且函数的值域为，
所以不存在实数，使得，故C错误；
对于选项D：因为
，
因为，，，则，则，
可得，即，则，
要使得恒成立，则，
又因为，则，
所以，若函数具有性质，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果.
【详解】由题意得，
所以，
因为，所以可得 ，
所以，
又因为是第二象限角，则，可得
所以.
故答案为：.
13. 若幂函数为偶函数，则不等式的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可.
【详解】因为为幂函数，
则，解得或，
若，则为偶函数，符合题意；
若，则为奇函数，不符合题意；
综上所述：.
不等式，即为，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故答案：.
14. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意化简的解析式，注意到的零点为，讨论在内的零点个数，结合二次函数零点分析运算求解.
【详解】由题意可知：，
注意到的零点为，且的对称轴为,
时，有3个零点，不符合题意；
1.若，可知在内无零点，
①当时，则，解得；
②当时，可知在内单调递增，则，符合题意；
综上所述：；
2.若，可知在内有且仅有1个零点，
因为在内单调递减，在内单调递增，
则或，解得或；
所以；
3.若，可知在内有2个零点，
因为在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
1.利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2.分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解；
3.转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合
（1）当时，求
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合，当时，求得，可求
（2）由题意可得集合是集合B的真子集，进而可得，求解即可.
【小问1详解】
由可得，且，
因为，
则解得：或，即集合或，
则；
又由可得，
所以，即，所以集合，
当时，，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，集合，
因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合B的真子集，
所以，解得，
故实数a的取值范围为.
16. 已知.
（1）化简；
（2）若，且满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可；
（2）由（1）可得，解得，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可.
【小问1详解】
由题意可知
.
【小问2详解】
由（1）可知，则，即，
可得，
且，可得，
所以.
17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且，
（1）求实数a，b的值；
（2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1），
（2）当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元.
【解析】
【分析】（1）根据，得到两个方程，求解方程组即可；
（2）根据对数函数单调性的性质、运用换元法，结合基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，且，
所以，.
【小问2详解】
，
当时，
，
令，在上单调递减，在上单调递增，
，所以，
于是根据对数型函数单调性的性质，
可知当或2时，所以.
当时，
，
当且仅当即时等号成立.
综上所述，当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数型函数的单调性的性质和换元法的应用.
18. 已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）证明：函数在上是增函数；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性、定义域、对数运算等知识求得.
（2）利用函数单调性的定义证得函数在上是增函数.
（3）根据绝对值不等式、分式不等式等知识来求得不等式的解集.
【小问1详解】
若，则，定义域为，
是非奇非偶函数，所以.
定义域满足且，
所以，
函数为奇函数，故，即，又因为，所以.
故，
则，函数为奇函数，满足条件.
【小问2详解】
任取，
则
，
，，，
所以，所以，即，
故函数在上是增函数.
【小问3详解】
由上知，（）得.
所以或，
或.
解得或，
所以不等式的解集为.
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.
（1）若，，试写出、表达式；
（2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；
（3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由.
【答案】（1），；，；
（2）；
（3）为上的“4阶收缩函数”.
【解析】
【分析】（1）根据题意结合的单调性分析求解即可；
（2）分析可知在内单调递增，，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；
（3）根据题意求的解析式，分、和三种情况，结合恒成立问题分析求解即可.
【小问1详解】
因为在内单调递增，
所以，；，.
【小问2详解】
因为与恰好为同一函数，
可知在内单调递增，
令，可设，
因为的图象开口向下，对称轴为，
若，则在内单调递减，且，
可知在内单调递减，则，解得，不合题意；
若，则在内单调递增，且，
可知在内单调递增，则，解得；
综上所述：的取值范围为.
【小问3详解】
因为在内单调递减，在内单调递增，
由题意可知：，，
可得，
（i）当时，则，可得，
①若，则，符合题意，可知；
②若，则，
且在内的值域为，可得；
综上所述：；
（ⅱ）若，则，即，
且在内的值域为，可得；
（ⅲ）若，则，可得，
可知对任意恒成立，
令，则在内单调递增，
可知，可得；
综上所述：，
且为最小正整数，可得，所以为上的“4阶收缩函数”.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.