湖北省荆州中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试卷 Word版含答案

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（全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟）
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知 ， 表示直线， ， ， 表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A． ，
B． ， 且
C． ， ， ，
D． ， ，
4．已知非零平面向量 ， ， ， ，向量 在向量 方向上的投影向量为 ，则
向量 ， 的夹角θ为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在空间四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，
点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，则下列说法正确的
为（ ）
① ， ， ， 四点共面；
② 与 异面；
③ 与 的交点 可能在直线 上，也可能不在直线 上；
④ 与 的交点 一定在直线 上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．在 中，已知 ，点 O 是 的外心，则 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．
7．如图，在棱长为 2 的正方体 中， 、 分别为 、
的中点，则过点 、 、 的平面 与侧面 的交线长为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，（ ），若函数在区间 内不存在对称轴，则 的范围
为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下面命题中是假命题的有（ ）
A． 中，若 ，则
B．若 ，则 是第一象限角或第二象限角
C．若一个扇形所在圆的半径为 ，其圆心角为 弧度，则扇形的周长为
D．函数 的最小值为
10．如图，已知 是 内一点，三角形 、 、 的面积分别为 、 、 ，且
．若 是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且 点满足
，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的垂心
B．
C．
D．
11．如图，已知正方体 的棱长为 2，点 M 为 的中点，点 P 为底面 上的动点（包
括边界），则（ ）
A．满足 平面 的点 P 的轨迹长度为
B．满足 的点 P 的轨迹长度小于
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C．存在点 P 满足
D．存在点 P 满足
三、填空题
12．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的最小值为 .
13．已知正四棱锥 的体积为 2，底面边长为 ，则该正四棱锥的外接球的体积为 .
14．电影《哪吒 》中的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文
化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正
八边形 ，边长为 ， ，点 在线段 上且 ，则 的值
为 ；若点 为线段 上的动点，则 的最小值为 .
四、解答题
15．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为 ，两底面面积分别为 和
.求：
（1）圆台的体积；
（2）圆台所在圆锥的表面积；
16．如图，某人开车在山脚下水平公路上自 向 行驶，在 处测得山顶 处的仰角 ，该车以
的速度匀速行驶 4 分钟后，到达 处，此时测得仰角 ，且 .
(1)求此山的高 的值；
(2)求该车从 到 行驶过程中观测 点的仰角正切值的最大值．
17．如图所示，四边形 为空间四边形 的一个截面，且截面 为平行四边形．
(1)求证： 平面 ．
(2) ， ，求 的值．
18．如图已知四棱锥 ，底面 为梯形， ， ， ，P、Q 为侧
棱 上的点，且 ，点 为 上的点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)平面 与侧棱 相交于点 ，求 的值．
19．已知 O 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，
同时称函数 为向量 的相伴函数.
（1）设函数 ，试求 的相伴特征向量 ；
（2）记向量 的相伴函数为 ，求当 且 ， 的值；
（3）已知 ， ， 为 的相伴特征向量， ，请
问在 的图象上是否存在一点 P，使得 .若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由.
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