2026年吉林长春市绿园区九年级中考一模数学试卷（含解析）

这是一份2026年吉林长春市绿园区九年级中考一模数学试卷（含解析），共12页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 小明从小区楼出发，实数的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
【详解】解：实数的绝对值是，
故选：A．
2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据科学记数法表示即可．
【详解】，
故选C
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，已知，且平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质，，因为平分，所以，再由平行线的性质，即可求得．
【详解】解：∵，，
平分，
，
，
，
故选：D．
4. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A. B. 20tan37°C. D. 20sin37°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B．
考点：解直角三角形的应用.
5. 下列函数的图象经过第一、二、四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数图像与性质，熟记函数表达式中系数与图像的关系是解决问题的关键．根据一次函数图像与性质，对选项中的一次函数表达式逐个分析即可得到答案．
【详解】解：A、，由一次函数图像与性质可知，图像经过一、三、四象限，不符合题意；
B、，由一次函数图像与性质可知，图像经过二、三、四象限，不符合题意；
C、，由一次函数图像与性质可知，图像经过一、二、三象限，不符合题意；
D、，由一次函数图像与性质可知，图像经过一、二、四象限，符合题意．
故选：D．
6. 如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A. 先向下平移3格，再向右平移1格
B. 先向下平移2格，再向右平移1格
C. 先向下平移2格，再向右平移2格
D. 先向下平移3格，再向右平移2格
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】解：观察图形可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格．
故选：D．
本题是一道简单考题，考查的是图形平移的方法．
7. 《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（ ）
A. 36个B. 27个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方．根据乘方的意义得出算式，求解即可．
【详解】解：（个）；
答：文中的鸟巢共有个．
故选：C．
8. 如图，已知点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC＝OD，则k的值为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据OC=OD，设A（x，y）、B（3x，y）,再将两点坐标代入y＝，建立方程组，求出k即可.
【详解】∵AB∥x轴，AC⊥x轴，BD⊥x轴，OC=OD，
∴设A（x，y）、B（3x，y）；
又∵点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴，
解得，k=12；
故选B．
主要考查了用待定系数法求反比例函数解析式．只要根据题意找到反比例函数上的点的坐标，列出相关方程即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 在实数中，最小的无理数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，先确定无理数，再比较大小即可．
【详解】无理数有，，，可知，
所以最小的无理数是．
故答案为：．
10. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
用提公因式的方法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11. “的倍与的差小于”用不等式表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】明确运算顺序与不等关系，的倍为，再计算与的差，根据“差小于”的条件列出不等式．
【详解】解：由题意得．
12. 若n边形内角和为900°，则边数n= ．
【答案】7
【解析】
【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解．
【详解】解：根据题意得：180°（n﹣2）=900°，
解得：n=7．
故答案为：7．
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是熟记公式．
13. 甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选____（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：∵s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，
∴s2甲＜s2乙，
则甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
此题考查方差的实际应用，掌握方差的大小对数据稳定性的决定性作用是解题的关键．
14. 如图，是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合），给出下列结论：
①；②当最长时，；③当，时，​；④当​时，四边形的最大面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于结论①：由“是等边的外接圆”以及“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，可得，该结论正确；对于结论②：先分析得出当最长时，为的直径，再求出，，最后根据“直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半”判断该结论正确；对于结论③：过点C作交延长线于点E．先求出，，在中，运用特殊角的三角函数值，求出、的长度，再在中，运用勾股定理求出的长度，从而得出该结论错误；对于结论④：延长至点F，使得，连接，过点B作交于点G．先证，从而得到，为等边三角形，再推导出，从而得出当为的直径时，有最大值．最后根据特殊角的三角函数值，解出的直径即可得到四边形的最大面积是，该结论正确．
【详解】解：对于结论①：∵是等边的外接圆，
∴，，
∴．
结论①正确，符合题意；
对于结论②：如图，当最长时，为的直径．
∵为的直径，
∴，
∵是等边的外接圆，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
即．
结论②正确，符合题意；
对于结论③：如图，过点C作交延长线于点E．
由①可知，，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴．
结论③错误，不符合题意；
对于结论④：如图，延长至点F，使得，连接，过点B作交于点G．
∵等边，
∴，
∵是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合），
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴，，
∴，
∴，
即．
∴当取最大值时，有最大值，
即当为的直径时，有最大值．
如图，为的直径，此时点C与点G重合，
由②可知，在中，
∵，，，
∴，
∴的最大值为：．
结论④正确，符合题意；
综上，正确结论为①②④．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，24
【解析】
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】
当时，
原式
．
本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
16. 将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法，概率公式求概率，一次函数图像上点的坐标特征．
先利用画树状图展示，得到12种等可能的结果，先找出点P在直线上的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果；只有在直线上，
∴点在直线上的结果数为2，
∴点在直线上的概率是．
17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中，过点C作的中线．
（2）在图2中，在边上找到点E，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查复杂作图，熟练掌握矩形和正方形的性质是解答本题的关键．
（1）作出矩形对角线的交点，连接，则是的中线．
（2）两次作出正方形的对角线，得到边的三等分点，得出
【小问1详解】
解：如图，即为的中线．
【小问2详解】
解：如图，点即为所作，使

18. 列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由
于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面
积．
【答案】2.5平方米
【解析】
【分析】设每人每小时的绿化面积x平方米，根据“增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时”为等量关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得：
解得：x=2.5．
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．．
答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．
19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．
【答案】10+2．
【解析】
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==2．
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
20. 某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）见解析 （2）82
（3）估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人．
【解析】
【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数求得的人数，即可补全直方图；
（2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得；
（3）用样本估计总体即可得．
【小问1详解】
解：(人)，
补全的频数分布直方图如下图所示，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴第20、21个数为81、83；
∴抽取的40名学生成绩的中位数是；
故答案为：82；
【小问3详解】
解：由题意可得：（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人．
本题考查频数分布直方图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21. 小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
【答案】（1）y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；（2）4小时
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可；
（2）根据“时间＝路程÷速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
本题考查一次函数的解析式，及函数值问题，掌握函数的待定系数法求解析式，会用解析式求函数值，掌握路程速度与时间的关系，会用路程与速度求时间解决问题是关键．
22. 【问题背景】如图①，、是⊙的半径，且，点、分别为、的中点，点为弧上的一个动点，连接、，若，求的最小值．
【问题探究】小明是这样考虑的：如图②，连接，再延长至点，使，连接，通过证明，将转化为，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下：
解：连接，再延长至点，使，连接，
∵点为的中点，
∴，
∴．
，
．
，
若使最小，只需最小，
∴当点、、共线时，最小，即最小．
（1）请你帮助小明补全上述解题过程．
（2）【问题解决】的最小值是________．
（3）【拓展提升】如图③，在扇形中，，，，，点为弧上的一个动点，连接、，直接写出的最小值．
【答案】（1），
，
（2）
（3）13
【解析】
【分析】（1）由上文，写出对应线段成比例，得到；
（2）因为，将转化为，当点、、共线时，最小，利用勾股定理求出的值；
（3）构造相似三角形，使为公共角，且角的两边之比为，依据两个三角形相似得到，当点、、共线时，最小，即最小，求出的最小值即可．
【小问1详解】
解：∴，
∴，
【小问2详解】
解：的最小值，即的最小值，
当点、、共线时，最小，
此时的最小值；
【小问3详解】
解：延长至点，使，连接，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点、、共线时，最小，即最小，
此时，
即的最小值．
23. 如图，在中，，，．点为边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
（1）当时，求的长．
（2）尺规作图：用圆规和无刻度的直尺，在图中边上作点，连结，使．（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）
（3）在（2）的条件下，当点、、三点在同一条直线上时，求的长．
（4）在（2）的条件下，当点到直线的距离是点到直线距离的倍时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）或
【解析】
【分析】1）先推导出，得到，则，即可解答；
（2）根据尺规作图，作线段等于已知线段，即可解答；
（3）先推导出，，得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，得到，当C，E，Q三点在同一条直线上时，推导出，继而证明出，得到，则，即可解答；
（4）过点作于点，于点，过点作于点，延长交所在直线于点，分类讨论：①当点P、Q都在左侧时，②当点P、Q在异侧时，逐项分析求解即可．
【小问1详解】
解：如图
，
，
又，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示，点E即为所求；
【小问3详解】
解：由题意，得，
．
在中，，
．
∵，
．
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
．
当C，E，Q三点在同一条直线上时，如图
，
，
，
，
，
，
；
【小问4详解】
解：过点作于点，于点，过点作于点，延长交所在直线于点，
①当点P、Q都在左侧时，如图，连接，
，
四边形MNQF是矩形，，
，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
②当点P、Q在异侧时，如图
同理可得，
，
同理可得四边形是矩形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
综上所述，为或．
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点．抛物线经过点，点是直线上一动点，其横坐标设为．连接、，当、、三点不共线时，以、为邻边构造平行四边形．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当平行四边形恰好为菱形时，的值为________．
（3）当点恰好落在轴上时，求平行四边形的面积．
（4）当抛物线在平行四边形的内部（不包括顶点）没有图象时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）2 （3）8
（4）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出的值．
（2）由菱形的性质可知，，则此时点P在对角线OA的垂直平分线上，由此求m即可．
（3）由平行四边形对角线互相平分求出点的坐标，再根据点落在轴上求出的值，进而判断此时平行四边形的状态并求面积；
（4）令抛物线恰好经过点，求出临界值和，分别讨论抛物线与平行四边形的位置关系，从而确定取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，
，
即，
解得：，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：点在直线上，横坐标为，
，
平行四边形为菱形，
，
∴点P在对角线OA的垂直平分线上，
解得：．
【小问3详解】
解：四边形是以、为邻边的平行四边形，
对角线与互相平分，
，，
的中点坐标为，
设点的坐标为，
，
，，
解得：，，
，
点恰好落在轴上，
，
解得：，
，，
平行四边形的面积为；
【小问4详解】
解：由(3)知，
抛物线经过点和，开口向上，对称轴为直线，
当抛物线恰好经过点时，有，
整理得，
解得：，，
如图，当时，，恰为抛物线顶点，
除顶点外，抛物线上点在其下方，内部无图象，
如图，当时，，恰在抛物线上，
除点外，抛物线上点在其下方，内部无图象，
当时，点的纵坐标大于抛物线在处的函数值，
即点在抛物线上方，平行四边形的下边界线段、均在抛物线上方，内部无图象，
当或时，抛物线会穿过平行四边形的下边界进入内部，
当时，抛物线在平行四边形的内部没有图象．解题过程缺失