2024年吉林省长春市绿园区九年级下学期中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的（ ）
A. -6B. 6C. 0D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】－6的相反数是6，A点表示－6，所以B点表示6.
故答案为：B.
【点睛】考点：相反数的定义
2. 著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是 （ ）
A. 青B. 春C. 梦D. 想
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体展开字型和型找对面的方法即可求解．
【详解】解：展开图中“点”与“春”是对面，
“亮”与“想”是对面，
“青”与“梦”是对面；
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键．
4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
5. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．
【详解】解：作交于点，
，
平分，点是的中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
6. 如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
【详解】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故选B.
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出∠COP.
7. 过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．
【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．
8. 如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A. 36B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【详解】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．解决该题型题目时，要设出等腰直角三角形的直角边并表示出面积，再用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：________.
【答案】
【解析】
【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解时，要分解到不能分解为止.
10. 不等式组的整数解是_____
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．最后求出整数解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∴不等式组的解集是：．
∴不等式组的整数解是3．
11. 如图，，平分，点为射线上一点，过点作，使点在点的右侧，作于点，则________°．

【答案】
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质求出和的大小，再利用三角形外角的性质求出的大小，根据平行线的性质求出的大小，进而可得的大小．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了相交线与平行线的相关知识，以及角平分线的性质、垂线和三角形内角和、外角相关知识，解题的关键是求出和的大小．
12. 如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
【答案】48
【解析】
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角
∴
在中：
故答案为：48
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°
13. 如图，在矩形中，点在边上，将沿翻折得到（点与点是对应点），点落在上．若，则的长____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，得到，，结合，得到，，根据勾股定理，得，根据三角形面积的不变性，得，得到，继而求得，再计算即可．
【详解】根据题意，得到，，
∵，
∴，，
根据勾股定理，得，
根据三角形面积的不变性，得，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得(舍去)，
故，
故答案为：．
14. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点是抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出是解题的关键．求得抛物线的解析式，设，则，即可得出，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解： ∵抛物线经过点和，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∵点P是抛物线上第一象限内一动点，
∴
∴的最大值为
故答案为：
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】
【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【详解】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
16. 一只不透明袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，再次搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记下数字，用画树状图或列表的方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【答案】两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
17. 列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
【答案】小明速度是50米/分钟，小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
【解析】
【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
【详解】设小明速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟，根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，故，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
18. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接与交于O，先由平行四边形对角线互相平分得到，再利用证明得到，进而证明，得到，由此即可证明平行四边形是菱形；
（2）先由菱形的性质得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，则，，则．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19. 某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取名学生进行问卷调查，收回有效问卷份，形成了如下调查报告：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）________；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
（3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数．
【答案】（1）200 （2）
（3）人．
【解析】
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体等知识，准确找到相关数据进行计算是解题的关键．
（1）求和即可得到答案；
（2）利用“天天参与”的占比乘以即可得到答案；
（3）用总人数乘以整理房间的占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
故答案为：200
【小问2详解】
由题意可得，,
即扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
（人）
即估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为人．
20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，⊙O是的外接圆，只用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作∠BMC，使，且格点M在⊙O上．
（2）在图2中作∠BNC，使，且格点N在⊙O上．
（3）在图3中作∠PBC，使，且格点P在⊙O上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据同一个圆中等弧所对的圆周角相等画出即可；
（2）根据整个圆所对的圆周角是画出即可；
（3）根据直径所对的圆周角是画出即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
如图所示：
【小问3详解】
如图所示：
【点睛】此题考查了无刻度的直尺作图及圆周角，解题的关键是熟悉圆周角的性质．
21. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程与所用时间的函数关系如图②所示．
图① 图②
（1）求大巴离营地路与所用时间的函数表达式．
（2）直接写出、、的值，______，_____，_____．
【答案】（1）
（2）；；
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出军车的速度，然后求出军车到达仓库的时间，把代入得：，求出，即可得出c的值；求出从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去从仓库出发到达基地的时间即可求出b的值．
【小问1详解】
解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由图象可知，军车的速度为：，
∴军车到达仓库所用时间为：，
∴；
把代入得：，
解得：，
∴，
∵从仓库到达基地所用时间为：，
∴．
22. 【探究】如图①，在中，，是的中点，连结．若，则________；
【应用】如图②，在中，，是边上的高，、分别是、边的中点，若，，求的周长；
【拓展】如图③，四边形中，，，连结、．是的中点，连结、，若的面积为32，则的长为________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线等于斜边的一半是解题的关键．
探究：直接利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半进行求解即可；
应用：利用三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质进行求解即可；
拓展：利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，证明是等腰直角三角形，根据的面积为32求出，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】∵在中，，是的中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
【应用】在中，，，，
∴
∵、分别是、边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴和都是直角三角形，
∵、分别是、边的中点，
∴，
∴的周长为；
【拓展】∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵面积为32，
∴
∴，
∴，
故答案为：16．
23. 如图，在菱形中，，．点为线段延长线上一点，且，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．连结、，将绕点按逆时针方向旋转得到，设点运动的时间是秒．
（1）菱形的面积是________；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）当、、三点共线时，求的值；
（4）当是直角三角形时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）当时，，当时，，
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）作棱形的高，由，，求出，根据棱形的面积公式即可求出面积；
（2）分点P在线段上、在线段上两种情况求解即可；
（3）根据当、、三点共线时，作出图形，得，，过点P作，，构造直角三角形，得，，解方程即可；
（4）根据的直角位置不同分两种情况讨论，①当时，由旋转性质可知落在上，，②当时，如图3-2，过点作垂足为，在上取点使，过点作垂足为，将转换到内部，再解三角形即可．
【小问1详解】
解：过点A作，垂足为H，
∵，即：，
设，则，
在中，，即：，
解得：，（负值已经舍去），
∴，
∴菱形的面积是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意得：
当时，，
当时，，
【小问3详解】
当、、三点共线时，如图，过点P作，，
由旋转性质可知：，，
∵，
∴，
在图（1）中，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，
∴
解得：，（不合题意舍去），
故当、、三点共线时， 的值为．
【小问4详解】
①当时，由旋转性质可知落在上，
∵
∴，
∴即为直角三角形；
，
②当时，如图3-2，过点作垂足为，在上取点使，过点作垂足为，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
由旋转性质可知：，
当时，，
∵，，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（此时、、三点共线，舍去，）
综上所述：当或时， 是直角三角形，
【点睛】本题主要考查了旋转性质、解直角三角形、菱形的性质等，解题关键是利用三角函数转换线段关系，利用勾股定理列方程求解．
24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，其坐标为，点是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点恰好落在抛物线上，且点不与点重合时，求线段的长；
（3）连结、、，当是钝角三角形时，求的取值范围；
（4）当时，连结并延长交抛物线的对称轴于点，过点作直线的垂线，垂足为点，连结、、，当折线与抛物线有两个交点（不包括点）时，设这两个交点分别为点、点，当四边形（或四边形）的面积是四边形的面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）函数表达式为
（2）
（3）或或或
（4）m的值为或
【解析】
【分析】（1）把点代入抛物线解析式中，求得b的值，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）由点恰好落在抛物线上，把点B坐标代入抛物线解析式中可求得m的值，从而 求得点A、B的坐标，由勾股定理即可求得的长；
（3）由题意得点A、C的坐标，分别求出的三边，当此三角形是钝角三角形时，则两短边的平方和小于长边的平方，分三种情况考虑，可确定m的取值范围；
（4）由于，及，由相似三角形的性质得H点是的中点，从而得；分两种情况：①四边形的面积是四边形的面积的一半时，则，从而得F点是的中点，并求出点F的坐标，再代入抛物线解析式中，即可求得m的值；②四边形的面积是四边形的面积的一半时，则得，从而点G是的中点，求出G点的坐标，代入抛物线解析式中求得m的值，最后综合即可．
【小问1详解】
解：把点代入中，得：，
解得：，
即抛物线对应的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当点恰好落在抛物线上，则，
解得：；
当时，，即点A与原点重合，不符合题意，
∴，此时，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得：；
∵，
∴；
∴，，，
①当时，
即，
整理得：；
考虑二次函数，令，
解得：，
由二次函数的图象知，不等式的解集为：；
②当时，
即，
整理得：；
考虑二次函数，令，
解得：，
由二次函数的图象知，不等式的解集为：或；
③当时，
即，
令，
整理得：；
若，则，
∴，矛盾；
若，则，
∴，
∴，即；
∴；
综上，满足条件的m的取值范围为： 或或或；
【小问4详解】
解：∵，
∴点B在平行于x轴的直线l上，且距x轴3个单位长度；
如图，设l交抛物线对称轴于M点，交抛物线对称轴于点H，直线记为m，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，即点H是的中点，
∴由中点坐标得：，
∴；
①当四边形的面积是四边形的面积的一半，
∴，
∴，即点F是的中点，
∵，
∴由中点公式得；
∵点F在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
由于，则；
②当四边形的面积是四边形的面积的一半时，
∵，
∴，
∴，即点G是的中点，
由中点公式得，
∵点G在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
由于，则；
综上，当四边形（或四边形）的面积是四边形的面积的一半时，m的值为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，勾股定理，图形面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式等知识，综合性强，运算量较大．
××学校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题
××学校学生参与家务劳动情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校学生
数据的收集、整理与描述
第一项
你日常家务劳动的参与程度是（单选）
A．天天参与：
B．经常参与：
C．偶尔参与；
D．几乎不参与．

第二项
你日常参与的家务劳动项目是（可多选）
E．扫地抹桌；
F．厨房帮厨；
G．整理房间；
H．洗晒衣服．

第三项
……
……
调查结论
……