2023年吉林省长春市绿园区中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市绿园区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在数轴上表示数和的两个点分别为点和点，则点和点之间的距离为个单位．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，沿方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点取，米，，使、、在一条直线上，那么开挖点与的距离是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6.  如图，点，，，在上，是的直径，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  观察下列尺规作图的痕迹：

其中，能够说明的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点、在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在反比例函数为常数，的图象上，正方形的面积为，且，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：______．

10.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______ ．

11.  在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”内容为“远望巍魈塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的倍，请你算出塔的顶层有          盏灯．

12.  如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为______．

13.  已知一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数是______ ．

14.  如图，是抛物线在第四象限的一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是年和年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了张正面分别印有这四个图案的卡片卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这张卡片分别用字母，，，表示，并将这张卡片正面朝下洗匀．
军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是______；
军军从这张卡片中任意抽取张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取张卡片，请利用画树状图或列表法，求抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率．
 

17.  本小题分
为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车已知小张家距上班地点千米他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的倍小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米？

18.  本小题分
图、图均是由个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形，如图，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图中作，使是格点三角形且与相似．
在图中作，使与相等，要求点为格点且不与点重合．

19.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，点，分别是，上的点，，并且．
求证：≌；
四边形是菱形．

20.  本小题分
年月日，国家统计局发布了中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报，如图是公报中发布的全国“年快递业务量及其增长速度”统计图．

根据以上信息回答下列问题：
年，全国快递业务量是______ 亿件，比年增长了______
年，全国快递业务量增长速度的中位数是______
根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“”，错误的画“”．
年的快递业务量比年增加了亿件．______ ．
年的快递业务量比年增加了．______ ．
年快递业务量逐年增加．______ ．
图中年增长速度的折线呈下降趋势，说明年快递业务量逐年减少．______ ．

21.  本小题分
甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
甲队在开挖后小时内，每小时挖______
当时，求与的之间的函数关系式．
直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．

22.  本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连结、，延长交于点，连结．
探究：
如图，当点在上时， ______
改变点在上的位置点不与点、重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
拓展：若正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动同时，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，连结，将绕点顺时针旋转得到，设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长度为______ ．
当点落在直线上时，求的值．
连结，线段的中点记为点，连结，当线段与的某条边的长度相等时，求的值．
当与重叠部分为四边形时，是否存在一点，使点到这个四边形的各个顶点的距离都等于？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，过点且平行于轴的直线与直线交于点，点关于直线的对称点为点，抛物线经过点、．
点的坐标为______ ；点的坐标为______ ．
求抛物线的表达式．
若点在抛物线上，且点横坐标为过点向直线作垂线，设垂足为，当点与点不重合时，以为边向下作矩形，使．
当矩形的中心恰好落在抛物线上时，求的值．
当抛物线恰与有交点时，设该交点为，若，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：移项得，，
故此不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
．
故选：．
先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、两点对应的数为，，
，
点和点两点间的距离为个单位，
故选：．
由有理数的减法，数轴上两点之间的距离公式的几何意义求出点和点两点间的距离为个单位．
本题综合考查了数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握数轴的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
在中，米，，
米，
故选：．
根据已知条件可得，即可在中利用锐角三角函数即可得结果．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图中，由作图可知，，
，
，即．
如图中，由作图可知，，
点在线段上，
，即．

如图中，

由作图可知，是的平分线，无法说明．
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质，三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可．
本题考查作一条线段的垂直平分线、三角形三边关系、作一个角的平分线、作一条线段等于已知线段．
 

8.【答案】 

【解析】解：设．
正方形的面积为，
的边长为，
，
，
，
．
点、在反比例函数为常数，的图象上，
，
解得，
，
，
故选：．
设，根据题意得点坐标为，点坐标为再根据点、在反比例函数为常数，的图象上，列出方程，求出的值，进而可求得的值．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得
故答案为：．
关于的方程有两个相等的实数根，即，代入即可求值
此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
 

11.【答案】 

【解析】解：设顶层的红灯有盏，由题意得：
，
，
；
答：塔的顶层是盏灯．
故答案为：．
根据题意，设顶层的红灯有盏，则第二层有盏，依次第三层有盏，第四层有盏，第五层有盏，第六层有盏，第七层有盏，总共盏，列出等式，解方程，即可得解．
本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意：勒洛三角形的周长
利用弧长公式计算即可．
本题考查等边三角形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设正多边形的边数为，根据题意得：
，
解得：，
这个正多边形的每个外角的度数是：，
故答案为：．
首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后用除以边数，即可得出答案．
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是．
 

14.【答案】 

【解析】解：点是抛物线在第四象限的一点，
设，
，，
四边形的周长，
当时，四边形的周长有最大值，最大值为．
故答案为：．
设根据矩形的周长公式得到根据二次函数的性质来求最值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．
 

15.【答案】解：原式
．
当，时，
原式． 

【解析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是能熟练运用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
根据整式的混合运算的法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
 

16.【答案】 

【解析】解：军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，即、，
抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶千米，
根据题意列方程，得．
解得．
经检验，是原方程的解且符合实际意义．
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶千米． 

【解析】首先设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶千米，根据题意可得等量关系：骑公共自行车方式所用的时间自驾车方式所用的时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
 

18.【答案】解：如图，可知，：：，
取格点，，连接，，，使，，且，
则即为所求答案不唯一．
，，
，
如图，取格点，，连接，，，
则，
即为所求． 

【解析】取格点，，连接，，，使，，且即可．
取格点，，连接，，，可得，则即为所求．
本题考查作图相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质、解直角三角形是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
在与中，

≌；
由知，≌，则．
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】由全等三角形的判定定理证得结论；
由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．
考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．
 

20.【答案】             

【解析】解：由统计图可得，年，全国快递业务量是亿件，比年增长了，
故答案为：，；
年，全国快递业务量增长速度的中位数是，
故答案为：；
亿件，
年的快递业务量比年增加了亿件，
故答案为：；
，
年的快递业务量比年增加了约，
故答案为：；
由统计图可知，年快递业务量逐年增加，
故答案为：；
年增长速度的折线呈下降趋势，说明年增长速度逐步减小，但快递业务量逐年增加，
故答案为：．
观察统计图直接可得答案；
取个增长速度的百分数中间一个即可；
将年的快递业务量减去年快递业务量即可判断；
列式算出年的快递业务量比年增加的百分数即可判断；
由统计图直接可判断；
年增长速度的折线呈下降趋势，说明年增长速度逐步减小可判断．
本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，甲队在开挖后小时内，每小时挖米，
故答案为：；
设乙队在的时段内与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
当时，与的之间的函数关系式为；
当时，设与的函数解析式为，
可得，
解得，
即；
设甲队在的时段内与之间的函数关系式，
由图可知，函数图象过点，
，
解得，
；
当时，，
解得；
当时，，
解得或．
答：当两队所挖的河渠长度之差为时，的值为或或．
结合图象，用甲小时挖的长度时间，即可得出结论；
根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
先用待定系数法求出与的之间的函数关系式以及当时与的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为米，列出方程，解方程即可．
此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
；
折叠的性质可得，，
≌，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求解；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
如图，点在上，
，，，，，
，，
，，
，
，
由旋转得，，
，
，
，
，
解得，
的值为．
如图，由得，
点到终点时，，
，，
，
点为的中点，
，
当时，则，解得；
当时，则，解得不符合题意，舍去；
当时，则，解得不符合题意，舍去，
综上所述，的值为．
存在，
如图，与重叠部分为四边形，、分别交于点、点，
，
，
由旋转得，，，
连结，取的中点，连结、，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得，即，
解得，，
的值是或．
由，，得，于是得到问题的答案；
由，，，，，根据勾股定理得，，则，所以，则，所以，则，于是得，则；
先由勾股定理求得，则，再分三种情况求的值，一是当时，则；二是当时，则；三是当时，则，解方程求出符合题意的值即可；
当与重叠部分为四边形时，设、分别交于点、点，则，连结，取的中点，连结、，则，所以，由，，得，所以，而，由勾股定理得，解方程求出的值即可．
此题重点考查勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】   

【解析】解：由题意可知，点的纵坐标为，
，
；
点关于直线的对称点为点，
；
故答案为：，；
抛物线的表达式为：，
把，代入，得，，
，
抛物线的表达式为：；
由题意得，，，
当时，，，
矩形的中心的坐标为，
把代入，得，
解得，舍；
当时，，，
矩形的中心的坐标为，
把代入，得，
解得，舍；
综上，或；
，
；
，
直线与抛物线的交点为，
由题意得，，，
当时，，，
，
，即，
此时，
，即，
，
解得或舍；
当时，，，
，
，即，
此时，
，即，
，
解得或舍；
综上，或．
由平行可得点的坐标，由对称可得点的坐标；
将，的坐标代入抛物线表达式，求解即可得出结论；
由题意得，，，根据题意需要分两种情况讨论，分别求出和的值，求出中心坐标的值代入中抛物线即可得出结论；
根据题意，分两种情况，根据正切值的定义列出方程可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，包括矩形的性质，横平竖直的线的用法．解题的关键是利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．