2026届高考数学一轮复习考点讲与练 导数与单调性问题（六大题型）+高考模拟巩固练习（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【解题方法总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．
注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减．
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【例题1-1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.
【变式1-1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增；
当时，，故，当，，故，等号仅有可能在x＝0处取得，所以时，单调递减；当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.
【变式1-2】已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，则单调递减，图像可知，，若，则单调递增，由图像可知，故不等式的解集为．故选：C
【解题方法总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
题型二：求单调区间
【例题2-1】函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为.，则.
令，解得.故选：D
【变式2-1】函数（ ）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
【答案】D
【解析】已知，，则，令，即，解得，当时，，所以在上是严格减函数，当时，，所以在上是严格增函数，故选：D.
【变式2-2】函数的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得或，所以函数的定义域为.
求导可得，当时，，由函数定义域可知，，所以函数的单调递增区间是.故选：A.
【解题方法总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线．
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【例题3-1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且，令，得，
因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.
【变式3-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，
则，所以在上递增，又，所以.
所以的取值范围是.故选：B
【变式3-2】若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，当或时，，当时，，所以在和上递减，在上递增，
当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，
所以，解得，此时在上递增，则恒成立，
当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，所以，无解，
综上所述，的取值范围是.故选：A.
【变式3-3】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以在时，，所以.故选：B
【变式3-4】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对函数求导，得，因为函数在上是减函数，则在上恒成立，即恒成立，当，即时，恒成立；当，即时，，则，即，因为，所以，即；又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以.故选：A．
【变式3-5】已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，不妨取，则可转化为，
即.令，则对任意，，且，
都有，所以在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立.令，，则，，
令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围是，故选:A
【变式3-6】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，
故.故选：D.
【变式3-7】若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，所以，即，
，令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，所以，得，
综上，，故选：D
【变式3-8】已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在区间上存在单调增区间，函数在区间上存在子区间使得不等式成立．，设，则或，即或，得，故选B.
【解题方法总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
题型四：不含参数单调性讨论
【例题4-1】已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
【解析】（1），∴，又，
∴曲线在点处的切线方程是，即；
（2）令，
则在上递减，且，，
∴，使，即，
当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
∴在上是减函数．
【变式4-1】已知函数，.
(1)若，求a的取值范围；
(2)求函数在上的单调性；
【解析】（1）由题意知的定义域为R.
①当时，由得，设，则，
当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，所以，因此.
②当时，若，因为，不合题意.所以，此时恒成立.
③当时，，此时.
综上可得，a的取值范围是.
（2）设，，则，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立. 所以.
又由（1）知，所以当时，，
所以在上单调递增.
【解题方法总结】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
【例题5-1】已知函数．讨论的单调性；
【解析】，，
①当，即时，，在区间单调递增．
②当，即时，
令，得，令，得，
所以在区间单调递增；在区间单调递减．
③当，即时，
若，则，在区间单调递增．
若，令，得，令，得，
所以在区间单调递减；在区间单调递增．
综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；
时，在区间单调递增
时，在区间单调递减、在区间单调递增．
【变式5-1】已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】的定义域为
若，则在单调递增；
若，令，解得（舍去）
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
【变式5-2】已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【变式5-3】已知函数．讨论的单调性；
【解析】由函数，可得，
设，可得，
①当时，，所以在单调递增；
②当时，令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
情形二：函数为准一次函数
【变式5-4】已知函数. 讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
【变式5-5】已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
【解析】（1），，，
当时，，切点坐标为，
又，切线斜率为，曲线在处切线方程为：.
（2），，，， ，，
①当时，成立，的单调递减区间为，无单调递增区间.
②当时，令，所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
【变式5-6】已知函数. 讨论的单调性；
【解析】∵，∴，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
【变式5-7】已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】因为，该函数的定义域为，
.
因为，由得：或.
①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零，
此时，函数的增区间为，无减区间；
②当，即时，由得或；由得.
此时，函数的增区间为、，减区间为；
③当，即时，由得或；由得.
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述：当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
【变式5-8】已知函数，其中. 讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为.
①若时，
②若时，恒成立，单调递减，
③若时
④若时，时，单调递减；时，单调递增.
综上所述，当时，单调递减，单调递增，单调递减；当时，单调递减；当时，单调递减，，单调递增，单调递减；当时，单调递减，单调递增.
【变式5-9】设函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)求的单调区间．
【解析】（1）因为，
所以.
.由题设知，即，解得.此时.
所以的值为1
（2）由（1）得．
1）当时，令，得，所以的变化情况如下表：
2）当，令，得或2
①当时，，所以的变化情况如下表：
②当时，
（ⅰ）当即时，
（ⅱ）当即时，恒成立，所以在上单调递增；
（ⅲ）当即时，
综上，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．
【变式5-10】已知函数，. 讨论的单调区间；
【解析】的定义域为，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
方向2、不可因式分解型
【变式5-11】已知函数，． 讨论的单调性；
【解析】由题意可得的定义域为，且．
令，则，．
当，即时，，在上单调递增．
当，即或时，有两个根，．
若，，，则当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
若，，则当或时，，单调递增，
当时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
【变式5-12】已知函数． 讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为，求导得，
①当，即时，恒成立，此时在上单调递减；
②当，即时，由解得，，
由解得，，由解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减；
③当，即时，由解得或(舍)，
由解得，由解得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【变式5-13】已知函数. 讨论函数的单调性；
【解析】易知，又因为，
令，，
①当，即时，恒成立，所以，此时，在区间上是增函数；
②当，得到或，又，其对称轴为，且，所以，当时，，所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，此时在区间上是增函数；
当时，，且，由，
得到或，时，，时，
即时，，时，，此时，在上是减函数，
在上是增函数.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
在上是增函数.
【解题方法总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
【变式5-15】已知．（）
讨论的单调性；
【解析】因为,
所以,
若时,单调递减,时,,单调递增；
若,由得或,
设,则,
时,单调递减, 时,单调递增,
所以，所以,
所以时,单调递减,
，时,,单调递增.
综上得,当时,在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上单调递减,在，上单调递增.
【变式5-16】已知. 讨论函数的单调性；
【解析】由题知，.
当时，当时，；当时，，
在区间上是㺂函数，在区间上是增函数；
当时，；当或时，；当时，；
在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数；
当时，；当或时，；当时，；
在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
综上所述，当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数.
【变式5-17】已知函数， 讨论函数的单调性；
【解析】，
令，则两根分别为.
1、当时，在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；
2、当时，令得或，令得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为；
3、当时，令得或时，令得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为.
综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
题型六：分段分析法讨论
【例题6-1】设函数，其中. 讨论的单调性；
【解析】由
①时，由，令，解得，所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，
（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
【解题方法总结】
1、二次型结构，当且仅当时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．
2、对于不可以因式分解的二次型结构，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负．
3、注意定义域以及根的大小关系．
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当，故，故，所以；设，
，所以在单调递增，故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，取得：，故
，其中，且
当时，，及此时，
故，故，所以，所以，故选A
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以故选：C.
第02讲 单调性问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
【答案】B
【解析】依题意，则，设
单调递减,单调递增,
知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.故选：B．
2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，由，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，故选：D
3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上，所以的最小值为1，所以.故选：B.
4．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】时，即，∴在上单调递减，又为偶函数，
∴在上单调递增．∴，∴.故选：A．
5．（2023·全国·模拟预测）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，，令，则，
因为当时，单调递增，所以，即，
令，则，因为当时，，所以在上单调递增，
又因为且，所以，故选：A
6．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，，即，也即，由可得，
所以，即，构造函数，在恒成立，所以函数在定义域上单调递减，
所以，即，又因为，所以，所以，解得，故选:B.
7．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设， ，对，且，恒有，即，在上单调递增，故恒成立，即，设，，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；
故，即，即.故选：A
8．（2023·四川南充·统考三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，在定义域上单调递增，
又使（为常数）成立，
显然，所以不妨设，则，即，
令，，则，即函数在上存在单调递增区间，
又，则在上有解，则在上有解，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，即常数的取值范围为.故选：C
9．（多选题）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A, ,故为奇函数， ，故为定义域内的单调递增函数，故A正确，
对于B，，故为非奇非偶函数，故B错误，
对于C，在定义域内不是单调增函数，故C错误，
对于D，，，所以 定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确，故选：AD
10．（多选题）（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【解析】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.故选：AC.
11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，所以，A正确；
由得，即，又因为单调递增，所以，B正确；
由得，即 ，所以，C错误；
因为，所以，D正确．
故选：ABD.
12．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为______.
【答案】
【解析】由题得的定义域为，由可得，令，，得，所以的单调递减区间为.故答案为：
13．（2023·四川雅安·统考模拟预测）给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，知，函数可以为指数函数，因当时，，则函数在上单调递减，所以函数可以为.故答案为：
14．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______________．
【答案】
【解析】令，定义域为R，且，
所以为奇函数，变形为，
即，其，当且仅当，即时，等号成立，所以在R上单调递增，所以，解得：，
所以解集为.故答案为：
15．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】由可知，其定义域为，则，易知当时，；当时，；即函数在单调递减，在上单调递增；若函数在区间上不单调，则需满足，解得；所以实数的取值范围为.
故答案为：
1．（2023•甲卷）已知函数．记，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，则的开口向下，对称轴为，，
而，，，
由一元二次函数的性质可知，，
而，，，
综合可得，又为增函数，，即．故选：．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对函数求导可得，，依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，设，则，
易知当时，，则函数在上单调递减，则．故选：．
3．（2021•乙卷）设，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，，令，，
令，则，，
，在上单调递增，
（1），，，同理令，
再令，则
，，，
在上单调递减，（1），，，．
故选：．
4．（2020•全国）函数的单调递增区间是
A． B．， C． D．
【答案】
【解析】已知函数，则函数的定义域为：，则，令，
解得，即函数的单调递增区间是，故选：．
5．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】的取值范围是，．
【解析】函数在上单调递增，在上恒成立，即，化简可得在上恒成立，而在上，
故有，由，化简可得，即，，解答，
故的取值范围是，．故答案为：，．
6．（2023•甲卷）已知，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）已知，函数定义域为，若，此时，
可得，
因为，，所以当，即时，，单调递增；
当，即时，，单调递减；
（2）不妨设，函数定义域为，
，令，，
此时，不妨令，
可得，所以单调递增，
此时（1），
①当时，，所以在上单调递减，此时，
则当时，恒成立，符合题意；
②当时，当时，，所以，
又（1），所以在区间上存在一点，使得，
即存在，使得，当时，，
所以当时，，单调递增，可得当时，，不符合题意，
综上，的取值范围为，．
7．（2023•甲卷）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
，
令，，，
，
又，
，
在上单调递减；
（2）设，，
则，，
，
在上单调递减，
若，又，则，，
当时，，
又，，，，
，满足题意；
当时，，，
，满足题意；
综合可得：若，则，
所以的取值范围为，．
8．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若函数在单调递增，求的取值范围．
【解析】（1）当时，则，求导可得，，
当时，（1），当时，（1），
故曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2），则，函数在单调递增，
则，化简整理可得，，
令，求导可得，，
当时，则，，故，即在区间上单调递减，
，不符合题意，令，则，
当，即时，，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，符合题意，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，即单调递减，
，当时，，单调递减，
，当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
1
-
0
+
0
-
极小值
极大值
1
-
0
+
0
-
极小值
极大值
单调递增
极大值
单调递减
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
2
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
2
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增