初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 等腰三角形的性质教学设计

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教学目标
理解等腰三角形、等边三角形的概念，掌握等腰三角形、等边三角形的性质，且能熟练应用其性质求角的度数。
经历等腰三角形、等边三角形性质的探究过程，能初步运用等腰三角形和等边三角形的性质解决有关问题。
培养大胆分析、敢于求异、勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质，提高独立解决问题的能力。
教学重点
理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质。
教学难点
等腰三角形、等边三角形性质的应用。
教学过程
一、构建框架
三角形是我们从小学就开始接触的基本几何图形，到了初中，对它的研究又迈入了更深入的阶段。今天我们先从 “定义” 和 “性质” 两个维度，回顾小学与初中对三角形认知的差异，为接下来探究等腰三角形的性质做好铺垫。​
首先看三角形的定义。小学阶段，我们主要结合直观图形，知道三角形是 “由三条线段组成的图形”，这是从整体外观出发的初步认知；而到了初中，为了让定义更严谨、更符合几何逻辑，我们特意强调 “三条线段首尾顺次相接”—— 这个补充看似简单，却让三角形的定义从 “直观感知” 过渡到 “理性思考”，明确了图形构成的核心条件，避免了对 “三条线段随意摆放” 的模糊理解。​
再看三角形性质的学习，以大家最熟悉的 “三角形内角和” 为例。小学时，我们通过剪拼、折叠等动手操作，直观地发现 “三角形内角和是 180°”，这是基于直接经验的感知；但初中的学习不止于此，我们会先延续剪拼活动，再次通过直观感受确认这一结论，更重要的是，会以剪拼过程中 “角的拼接思路” 为启发，进一步用几何推理完成严谨证明 —— 这一步，正是初中几何学习从 “经验结论” 走向 “逻辑证明” 的关键跨越。​
梳理到这里，大家可以发现：我们研究三角形，始终围绕它的基本要素 ——“边” 和 “角” 展开，先探究一般三角形中 “角与角”（如内角和）、“边与边”（如两边之和大于第三边）的关系，再通过 “要素特殊化” 研究特殊三角形：比如将 “角” 特殊化为 “直角”，得到直角三角形；将 “边” 特殊化为 “两条边相等”，得到等腰三角形，若再进一步让 “三条边都相等”，则得到等边三角形。此外，我们还初步学习了三角形的相关线段，像高、中线、角平分线，其实这些也都是围绕 “边”“角” 要素展开的延伸研究 —— 说到底，研究图形的性质，本质就是研究图形各要素之间的关联。​
既然一般三角形有其通用性质，那作为 “边特殊” 的等腰三角形，除了具备一般三角形的所有性质外，是否还存在更独特的特殊性质呢？带着这个问题，今天我们就聚焦核心 —— 深入探究等腰三角形的性质。（板书：等腰三角形的性质）
二、探究新知
（一）等腰三角形的定义及相关概念
问题1:回顾之前学习了等腰三角形，它的定义是什么?
预设学生：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（板书：1.定义）
师：分析定义，通过定义我们可以知道两件事情：①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形。②如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。
所以通过定义，我们可以知道如何判断一个三角形是否是等腰三角形，也可以知道等腰三角形有两条边相等的性质。图形的定义都有这样的两层含义。
问题2：如何将定义转换成符号语言。
预设学生：在△ABC中，∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形。（板书）
问题3：回顾等腰三角形的相关概念，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰与底角的夹角叫做底角。（板书：画图标注 ）
小练习：如图，已知在等腰三角形ABC中，若BA=BC,那么：
1.它的腰是（ ）和（ ），底边是（ ）；
2.顶角是（ ），
底角是（ ）和（ ）
探索等腰三角形“等边对等角”
了解了等腰三角形的定义及相关概念，接下来我们来探究等腰三角形的性质。请同学们看大屏幕，仔细阅读屏幕上的文字，说说让我们对这张纸进行什么样的操作？（学生上前演示，教师追问从哪里折一个直角三角形？从折痕所在的一侧着手折叠，并且保留好折痕，折痕不能从中间撕开。）
【做一做】如图，把一张长方形的纸对折，并剪下一部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形是什么三角形？为什么？
预设学生：①是一个等腰三角形。②三角形有两条边相等。③两条边能互相重合。
通过定义，我们找到了等腰三角形边与边的性质，与一般三角形相比，等腰三角形的内角有什么性质呢？（板书：2.等腰三角形的性质）。
【观察猜想】与一般三角形相比，等腰三角形的内角有什么特点？
预设学生：猜想：等腰三角形的两个底角相等。
追问：如何得到这个猜想？
预设学生：通过对折，两个底角能完全重合。
【验证猜想】任意的等腰三角形都适用这个结论吗？
咱们的 37 个等腰三角形，都契合总结的结论，特别好！但学习数学要多一份严谨，咱们得想想：有没有可能存在 “例外” 的等腰三角形呢？为了把这个问题弄明白，接下来老师用几何画板做出可动态调整的等腰三角形，咱们直观地看看，无论它怎么变，结论会不会一直成立？（几何画板）
从直观观察中发现特点，在大胆猜想中提出假设，再通过具体案例验证方向，我们一步步靠近了 “等腰三角形的两个底角相等” 这个结论。但探索到这里还没有结束，必须通过严谨的几何证明，确保它对任意等腰三角形都适用。接下来，我们就来“证明”一下 。
【证明猜想】（一）教师:证明猜想：等腰三角形的两个底角相等。
要求：将猜想改写成已知、求证的形式?
预设学生:已知：在△ABC中，AB = AC，求证∠B=∠C.（“已知△ABC是等腰三角形”不能直接判断出腰、顶角和底角等信息）
追问:利用已有经验如何证明两个角相等呢?（观察纸片，发现折痕。）
预设学生:证明两个角相等的已有经验是同角(等角)的余角(补角)相等、平行线的性质定理、全等三角形对应角相等。通过折叠启发学生利用全等三角形来证明，
追问:全等三角形是对两个三角形而言，那么如何来构造这两个三角形，使两个底角分别在两个三角形中呢?通过先前的折叠出现了折痕，给了同学启发过顶点A做一条线段，作辅助线。
追问:这条折痕是否存在特殊性呢?应该作怎样的线段来构造两个三角形呢?
学生:通过观察折痕提出猜想，这条折痕可能是底边的高、中线及顶角的平分线（3种做法）。（预设学生：做BC的垂直平分线：不可以，因为线段的垂直平分线不一定经过A点，不经过A点就会得到一个四边形和一个三角形，无法证明这两个图形全等。）
师生活动:有了证明思路以后，一起对这个猜想的证明进行分析:∠B=∠C

我们根据所作线段AD的不同身份，试着从三个角度任选其一来证明猜想并写出严谨的证明过程。（作BC的高，得到的是边边角，所以无法得出结论。只学习了4种证明全等三角形的方法。SSS,SAS,AAS,ASA.）
（学生展示）
由此得到等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（板书：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角））。
解释：我们七年级的时候学过，在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，那么等腰三角形ABC中，AB和AC是相等的边，那么它俩所对的角怎么样呢？也是相等的角。所以其简写为“等边对等角”。
它的符号语言是:在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).（板书）
接下来用我们得到的等腰三角形的性质来解决一些问题。
【实践应用】
例1 在△ABC中，已知AB=AC,∠B=80°.求∠C和∠A的度数.
证明：∵AB=AC
∴∠C=∠B=80°（等边对等角）
又∵∠A+∠B+∠C=180（三角形的内角和等于180°）
∴∠A=180°-∠B-∠C
=180°-80°-80°=20°.
师生分析：要求∠C，在三角形中只知道一个角，可以利用角与角相等来求解，已知∠B =80°，只需说明∠B=∠C即可。利用等边对等角 AB=AC 就得到∠B=∠C。现在要去求∠A，此时在三角形中知道了三个角，可以利用三角形的内角和来求解。
练习1： 在△ABC中，已知AB=AC,∠A=80°.求∠C和∠B的度数.
证明：∵AB=AC
∴∠C=∠B（等边对等角）
又∵∠A+∠B+∠C=180（三角形的内角和等于180°）
∴∠B=∠C=1/2(180°-∠A)=1/2×(180°-80°)=50°
通过这两道例题你有什么发现？
方法归纳：在等腰三角形中，已知一个角，可以求出另外两个角。用到了什么知识？等腰三角形等边对等角，找到两个底角的关系，再通过三角形内角和性质求解。
（二）等腰三角形“三线合一”
我们刚才研究了等腰三角形角与角的关系、边与边的关系，接下来我们探索等腰三角形相关线段——高、角平分线、中线的关系。
【观察猜想】三角形有3条高、3条角平分线、3条中线。 利用手中的等腰三角形，分别将这9条线画出来，观察并讨论有什么发现。
发现：等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线重合。
【验证猜想】教师通过几何画板验证猜想。
【证明猜想】三种证明方法：
在△ABC中，AB=AC
①已知：AD⊥BC。求证：∠BAD=∠DAC，BD=CD。
②已知：BD=CD。求证：∠BAD=∠DAC，AD⊥BC。
③已知：∠BAD=∠DAC。求证：AD⊥BC，BD=CD。
【实践应用】
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°。
求∠ADC的度数
求∠1的度数。
解(1):AB=AC，BD=DC,
∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一)。
∴∠ADC=∠ADB=90°。
(2)∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形的内角和等于 180°)，
∠B=30°,
∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°。
练2 如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°.求证:BD=CD.
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，
∵∠DAC+∠C+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=90°
∴AD⊥BC
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.
巩固练习
课后练习1、2、3题。
课堂总结
通过本节课的学习你有哪些收获？
布置作业
思考题：将三角形的边特殊化得到等腰三角形，更特殊化会得到等边三角形。那等边三角形是否也具有等腰三角形的性质？它还会有哪些性质呢？
基础题：学案课后练习题。