初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 等腰三角形的性质教课内容课件ppt

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第12章 全等三角形12.3 等腰三角形1.等腰三角形的性质1.感知图片主要部分形状的共同点.2.将一把等腰三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，这是为什么？导入新课任务一：等腰三角形的“等边对等角”有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.(1)在现实生活中，你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状？课堂探究(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，指出△ABC的腰、底边、顶角和底角.腰是AB和AC；底边是BC；顶角是∠A；底角是∠B和∠C.课堂探究2.做一做：剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.观察图形：(1)等腰三角形是轴对称图形吗？ △ABC 的对称轴在哪里？等腰三角形是轴对称图形.△ABC的对称轴是折痕AD所在的直线；课堂探究(2)△ABD与△ACD有什么关系？ 图中哪些线段或角相等？ AD与BC垂直吗？△ABD≌△ACD，相等的线段有AB＝AC，BD＝CD；相等的角有∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD；AD⊥BC.课堂探究在△ABC中，当AB＝AC时，∠B＝∠C.能证明这个性质吗？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.想想看，可以添加什么辅助线证明这一结论？注意：在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.辅助线通常作成虚线.课堂探究证明 如图，作∠BAC的平分线AD.在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).还有其他方法吗？方法一：作BC边的中线，然后利用“SSS”判定两个三角形全等.方法二：作BC边上的高线，利用“HL”定理判定两个三角形全等.课堂探究由此可以得到等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”.用几何语言表示为：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角).说明：等腰三角形“等边对等角”的性质在证全等三角形时可以找角相等.课堂探究例1 在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝80°.求∠C和∠A的度数.解 ∵AB＝AC，∴.∠C＝∠B＝80°(等边对等角).又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－80°－80°＝20°.课堂探究任务二：等腰三角形的“三线合一”1.探索：由前面的“做一做”，还可以发现什么结论？AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高.由此可得等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.简写成“等腰三角形的三线合一”.课堂探究2.填一填：根据等腰三角形性质完成下列填空.如图，在△ABC中，AB＝AC.(1)∵AD是△ABC底边上的高，∴∠______＝∠______，______＝______.(2)∵AD是△ABC的中线，∴______⊥______，∠______＝∠______.(3)∵AD是△ABC的角平分线，∴______⊥______，______＝______.课堂探究12BDCDADBC12ADBCBDCD归纳：应用“三线合一”的前提条件是在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.对它的理解要注意以下几个方面：①等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，并且平分底边；②等腰三角形底边上的中线垂直于底边，并且平分顶角；③等腰三角形底边上的高平分底边和顶角.课堂探究例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的中点，∠B＝30°.(1)求∠ADC 的度数；(2)求∠1的度数.解 (1)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一).∴∠ADC＝∠ADB＝90°.(2)∵∠1＋∠B＋∠ADB＝180°(三角形的内角和等于180°)，∠B＝30°，∴∠1＝180°－∠B－∠ADB＝180°－30°－90°＝60°.说明：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，并且平分顶角.课堂探究思考：如图所示，曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？课堂探究例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.证明 如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB.在△APQ和△BPQ中，∵AP＝BP，AQ＝BQ，PQ＝PQ，∴△APQ≌△BPQ(SSS).∴∠APQ＝∠BPQ(全等三角形的对应角相等).又∵AP＝BP，∴AO＝BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一).因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.课堂探究思考：如图所示，还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP.当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗？(1)比较垂线的作法示意图与垂直平分线的作法示意图，它们有哪些相似之处？过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线.课堂探究(2)说一说你的证明思路.证明 连结CM、CN、PM、PN，设CP与MN的交点为O.在△CMP和△CNP中，∵CM＝CN，PM＝PN，CP＝CP，∴△CMP≌△CNP(SSS)，∴∠MCP＝∠NCP(全等三角形的对应角相等).又∵CM＝CN，∴CO⊥MN(等腰三角形的三线合一).因此直线CP是已知直线AB的垂线.课堂探究任务三：等边三角形的性质想一想：(1)什么叫做等边三角形？三条边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形的每个角的度数是多少？如图，显然，AB＝AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B＝∠C，同理可得∠A＝∠B，所以∠A＝∠B＝∠C.而∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.课堂探究由此能得到哪些结论？等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.说明：等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用.课堂探究课堂评价点拨 ①若40°是顶角，则底角＝②若40°是底角，则顶角＝180°－2×40°＝100°. D课堂评价点拨 在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，AB＝AC.∵AD⊥BC，∴点D是BC的中点，∴AD垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°，∴∠ACE＝15°. D课堂评价点拨 ∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝65°.在△BDF与△CED中，∴△BDF≌△CED(SAS)，∴∠BFD＝∠CDE.∵∠BDF＋∠BFD＝115°，∴∠BDF＋∠CDE＝115°，∴∠EDF＝65°. B课堂评价答案 ∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°.∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴∠DBC＝180°－72°－72°＝36°.课堂评价答案 ∵△ABC是等边三角形，∴∠BCD＝60°.∵D为AC边的中点，∴BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠CDE＋∠E＝∠BCD＝60°，∴∠CDE＝∠BCD÷2＝30°，∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝120°.1.回顾本节课所学内容，想一想，等腰三角形和等边三角形都有哪些性质？ 它们的性质之间有怎样的区别与联系？2.你学到了哪些思想方法？ 还有哪些收获和体会？ 请你说一说！说明：等腰三角形的“等边对等角”，必须要注意只有在同一个三角形中的两条边才能应用该性质；而“等腰三角形三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直.等边三角形的性质是由等腰三角形的“等边对等角”的性质推理得到，它具备等腰三角形的所有性质.课堂总结基础性作业：教材练习第1~4题.提高性作业：教材习题12.3第1~4题.作业设计感 谢 观 看