2025--2026学年内蒙古准格尔旗世纪中学高一下学期期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年内蒙古准格尔旗世纪中学高一下学期期中考试数学试题 [含答案]，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（ ）
A．2B．C．D．3
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则B等于（ ）
A．B．C．或D．或
5．在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在平行四边形中，，．若//，则x= （ ）
A．B．C．D．
8．在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是（ ）
A．若，则B．若该三角形有两解
C．周长的最小值为12D．面积的最大值
二、多选题
9．已知平面向量，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量的模为D．与的夹角为钝角
10．下列叙述正确的是（ ）
A．已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．如果直线，则平行于经过的任何平面
D．已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线
11．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
三、填空题
12．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为______.
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
14．在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______．
四、解答题
15．已知平面向量．
(1)若，求实数m的值；
(2)若与的夹角为，求的值．
16．如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
17．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点是棱上的一点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知点是棱上的一点，且B1N=3A1N，求证：平面平面．
18．如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，．
(1)用，表示；
(2)求的值；
(3)若点G在线段上运动，设，求的取值范围．
19．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
参考答案
1．A
【详解】因为，
所以的虚部是.
2．D
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．C
【详解】如图所示：
设点是的中点，
由题可知：
.
故选：C.
4．C
【详解】由正弦定理，，故，因为，故或
故选：C
5．D
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
6．C
【详解】
如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
7．C
【详解】由，得.
设，
因为，
而
所以，解得.
8．C
【详解】对于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C错误；
对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号，
故
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：C.
9．AC
【详解】A：由题意可得，故A正确；
B：因为，
所以，故B错误；
C：在上的投影向量的模为，故C正确；
D：与的夹角的余弦为，所以夹角不是钝角，故D错误；
故选：AC.
10．AD
【详解】对于A，已知直线和平面，若两个不同点，满足点，点且，，
则，故A正确；
对于B，当三条直线交于同一点时，则这些直线有可能不在同一个平面，
则不能确定一个平面，故B错误，
对于C，当直线，若过的平面也经过了直线，
则不平行于经过的平面，故C错误，
对于D，由题意可知经过点和直线确定一个平面，且此平面与有唯一的交线，而，故这条交线与直线平行，故D正确．
11．BD
【详解】对于A，因为，即，所以，则为钝角，故A错误；
对于B， 因为、分别表示向量、方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线重合，
又，可得，
又，所以向量的方向与的角平分线重合，
所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
对于C ，因为，，所以，
当时，，此时与同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示.

因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
12．
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以，即，
故，故圆锥的体积为.
故答案为：.
13．
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
14．
【详解】在中，点是边上异于端点的一点，，
根据向量共线定理，可知，，．
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
15．(1)
(2)
【详解】（1）平面向量．
因为，所以，即；
（2）平面向量，
因为与的夹角为，
所以，
则．
16．(1)；
(2)选①；选②.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
（2）选①，因为的面积，
所以，
即，，由余弦定理得
所以，
所以，
因为平分，
所以，
所以，
选②，因为，在中，由余弦定理：
，
即，
所以，
因为，
所以，
因为平分，所以，
因为，，由正弦定理得，
，所以 ，
又，所以，
所以是直角三角形，且，
所以.
17．(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，所以，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）连接，因为点分别为棱的中点，则，
因为，B1N=3A1N，则，
可得，则，
且平面，平面，则平面，
取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，
又因为分别为的中点，则，，
且，，则，，
可知为平行四边形，则，可得，
且平面，平面，则平面，
又因为，平面，所以平面平面.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），，，
，
E为线段BC的中点，
，
．
（2）设，则，，
，
又共线，
存在一个实数，使得，
，两式相除可得，即．
（3）设，；
，，
，
，
，
，解得，
，，
令，
函数在上单调递增，如下图所示：
当时，取最小值，最小值为1；
当时，取最大值，最大值为；
．
19．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．