2025-2026学年河北省唐山市南区第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年河北省唐山市南区第一中学高二（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）=-2，则的值为（ ）
A. -2B. -1C. 2D. 4
2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=1处取得极值-4，则a-b=（ ）
A. -9B. -5C. 5D. 9
3.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A. 12B. 24C. 48D. 120
4.函数图象上一点P到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
5.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则P（N|M）=（ ）
A. B. C. D.
6.已知二项式展开式中含x3项的系数为2，则a=（ ）
A. -4B. -2C. 2D. 4
7.已知函数f（x）=csx+ex，且a=f（3），，c=f（ln3），则a,b,c的大小关系（ ）
A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. c＜b＜aD. a＜c＜b
8.已知函数f（x）=x3-3ax存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），记A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））.若曲线g（x）=ln（ax）上存在点P，使得|PA|=|PB|，求a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，a∈R，，则（ ）
A.
B. 函数f（x）的零点为±2
C. 曲线y=f（x）上任意一点处切线的倾斜角不小于
D. 若x1＜x2，且x1，x2≠0，则f（x1）＜f（x2）
10.下列说法正确的是（ ）
A. 的展开式中二项式系数最大的项是第6，7项
B. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ-3，则E（η）=2E（ξ）-3，D（η）=4D（ξ）-3
C. 用0～9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数
D. 已知随机变量X的概率分布为，则实数a的值为
11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A. 第2026行共有2026个数
B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为
C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D. 去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项的和为218-53
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知物体的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系d=5sint-2cst,则该物体在t=（s）时刻的瞬时速度为 （m/s）.
13.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且，则的最小值为 .
14.某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3-ax2+b（a,b∈R）的图象过点（2，-4），且f′（2）=0.
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）求函数y=f（x）在x∈[-2，3]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
已知.
（1）求n的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值；
（3）求a1+2a2+3a3+⋯+nan的值.
17.(本小题15分)
某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下：
（Ⅰ）经统计，零件的直径ξ服从正态分布N（1.5，0.2282），据此估计这批零件直径在区间[1.044，1.5]内的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间[1.2，1.4）内的零件个数为η，求η的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=a（x-1）-lnx+1.
（1）若函数是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex-1恒成立.
19.(本小题17分)
甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形ABCD的场地上玩游戏，从起点A出发，沿着正方形四边A→B→C→D→A…的顺序行走.若第k（k=1，2，3，…，n）次抛掷得到的点数i（i=1，2，3，4，5，6），记作ak=i,则甲从当前位置按顺序走ak个单位长度，下一次继续按照以上规则行走.记数列{an}的前n项和为Sn，n次游戏之后甲的位置记为Xn，并规定：当甲在A处时Xn=0，甲在B处时Xn=1，甲在C处时Xn=2，甲在D处时Xn=3.
（1）当n=2时，求S2=5的概率P（S2=5）和X2=1的概率P（X2=1）；
（2）当n=2时，求随机变量X2的概率分布列和期望；
（3）若n=40，设，试确定该展开式中各项系数与事件S40=j（j∈N+，j≤240）的联系，并求X40=2的概率.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】2
13.【答案】9
14.【答案】
15.【答案】f（x）=x3-3x2 y=f（x）的递减区间为（0，2），递增区间为（-∞，0），（2，+∞） 最大值为0、最小值为-20
16.【答案】8 6560 16
17.【答案】0.47725；
n的分布列见解析，E（n）=1；
．
18.【答案】[-2，+∞） 当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为 证明：a≤2，且x＞1时，ex-1-f（x）=ex-1-a（x-1）+lnx-1≥ex-1-2x+1+lnx，
令g（x）=ex-1-2x+1+lnx（x＞1），下证g（x）＞0即可，
，再令h（x）=g′（x），
则，显然h′（x）在（1，+∞）上递增，则h′（x）＞h′（1）=e0-1=0，
即g′（x）=h（x）在（1，+∞）上递增，故g′（x）＞g′（1）=e0-2+1=0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=e0-2+1+ln1=0，问题得证
19.【答案】， X的分布列为：
期望为 因为，
事件S40=j（j∈N+，j≤240）表示40个x+x2+x3+x4+x5+x6相乘后得到xj的组合方式的数量，
X40=2表示第40次抛掷骰子后，甲在C处，那么S40=4n+2，
其方法数为对应式子中j=4n+2（n≥40，n∈N）时所有bj的数量之和，
所以，
展开式中令x=1，得到640=b0+b1+b2+b3+⋯+b239+b240，
令x=-1，得到0=b0-b1+b2-b3+⋯-b239+b240，
因此，
设，
令x=i，得到（-1+i）40=（b0-b2+b4-⋯+b240）+（b1-b3+b5-b7-⋯+b237-b239）i，
又（-1+i）40=（-2i）20=220，
所以220=b0-b2+b4-⋯+b240，
因此，
所以．
零件直径
（单位：厘米）
[1.0，1.2）
[1.2，1.4）
[1.4，1.6）
[1.6，1.8）
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
X
0
1
2
3
P