河北唐山市路北区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份河北唐山市路北区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析），共6页。试卷主要包含了回答选择题时，选出每小题答案后等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出的坐标，再由得到计算可得.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
解得.
故选：B.
2. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.
【详解】在正方体中，连接，，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
即为异面直线与所成角，
不妨设，则，，
取的中点，因为，所以，
在直角中，可得.
故选：B.
3. 某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为（ ）
A. 200B. 220C. 240D. 260
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率和为可构造方程求得的值，再由频率分布直方图可求得成绩落在的频率，由样本估计总体可计算得到结果.
【详解】，
成绩落在的频率为，则成绩位于区间的人数约为(人).
故选：C.
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可．
【详解】选项A，若，，，
则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确；
选项B，若，，，
则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确；
选项C，若，，，则，故C选项正确；
选项D，，，，
则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确；
故选：C.
5. 已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（ ）
A. 29B. 30C. 31D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用百分位数和众数的定义和计算方法，求得第70百分位数与中位数，即可求解.
【详解】由一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，共有12个，
可得，所以第9个数据为第70百分位数，即为17，
又由中位数的定义和计算方法，可得中位数为，
所以这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是.
故选:C.
6. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ）
A. 这组数据的极差为B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的平均数为D. 这组数据的方差为
【答案】B
【解析】
【分析】根据数据的数字特征直接计算得出.
【详解】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误.
数据的平均数,所以C正确.
数据的方差，所以D正确.
故选：B.
7. 在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设条件，利用和角的正弦公式和同角三角关系式化成，再利用和角的正切公式求得，运用基本不等式和正切函数的单调性即可.
【详解】因，则，
代入中，整理得：，
显然都不可能是直角（否则等式不成立），故得，
于是，
由上式易知均为锐角，则，故有，
因，当且仅当时等号成立，
即时，取得最大值为，又，故角的最大值为.
故选：A.
8. 在中， ，其面积为，则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可得： ，解得： ，
由余弦定理： ，
结合正弦定理结合分式的性质，则： .
本题选择B选项.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．
9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A. 目标恰好被命中一次的概率为
B. 目标恰好被命中两次的概率为
C. 目标被命中的概率为
D. 目标被命中的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误.
【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，
在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；
在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；
在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确．
故选：BD．
10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线与所成的角的大小为
D. 若平面，则点的轨迹的长度为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面平面，故当在线段上时，满足平面，A正确；B选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；C选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故，C正确；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为，D错误.
【详解】A选项，取的中点，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，同理可得平面，
因为，平面，所以平面平面，
故当在线段上时，满足平面，A正确；

B选项，连接，由A知，，又，所以，
所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形，
因为，所以四边形为梯形，B错误；
C选项，由B知，，故为直线与所成角或其补角，
连接，则，
所以为等边三角形，故，
异面直线与所成的角的大小为，C正确；
D选项，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
又，同理可得平面，
又，平面，
所以平面平面，
故当在线段上时，平面，
所以平面，
所以若平面，则点的轨迹的长度为，D错误
故选：AC
11. 已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 是锐角三角形，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C，根据，结合正弦函数单调性判断D.
【详解】选项A：因为，且是的内角，所以，
所以，
所以都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
选项B：由及正弦定理可得，即，
所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
选项C：由及正弦定理可得，即，
因为是的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
选项D：是锐角三角形，所以，即 ，
则，故选项D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人.
【答案】720
【解析】
【分析】根据所给的总体与样本容量，计算出抽样比，求出女生被抽取的人数，根据女生被抽取的人数以及抽样比，可求得女生总人数.
【详解】设抽取的女生人数为人
因为对全校男女学生共1600名进行健康调查，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,
所以每个个体被抽到的概率是，
根据抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为女生比男生少抽了20人，且共抽200人，
所以，即女生要抽取90人，
因此女生共有，
故答案为：720 .
13. 在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意将四面体补成正方体，则正方体的外接球同时也是该四面体的外接球，求出正方体的对角线，可得外接通球的直径，从而可求出球的表面积
【详解】由题意，以为过同一顶点的三条棱作正方体，
则正方体的外接球同时也是该四面体的外接球；
因为正方体的对角线的长为，
所以球的半径为，
所以该四面体的外接球的表面积为．
故答案为：
14. 若，且，则向量与的夹角为______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直、数量积的运算、夹角的运算计算即可；
【详解】设向量与的夹角为，
因为，且，则，
可得，
所以，
又，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”.
（1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；
（2）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；
【答案】（1）中位数约为36.43，众数为；
（2）有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为，设样本的中位数为，则，求得的值，即可得到数据的中位数；
（2）依题意可知，可得抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人，完成的列联表，求得的值，作出预测.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为，
设样本的中位数为，则，所以，即样本的中位数约为36.43.
【小问2详解】
依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.
完成的列联表如下：
结合列联表的数据得，
因为,
所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.
16. 回答下列问题
（1）已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求
（2）已知向量、，满足，，，求向量与的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量模长的坐标表示和数量积公式求出，再根据数量积运算律求解即可；
（2）利用平面向量数量积的运算律和计算公式求解即可.
【小问1详解】
因为为单位向量，，
所以，，
又因为平面向量、的夹角为，所以，
所以.
【小问2详解】
因为，，，
所以，解得，
所以，解得，
又因为，所以.
17. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解，
（2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解.
【小问1详解】
由题意知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即，
又，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，解得，
所以，
由余弦定理得，所以.
18. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面．
（1）求证：平面；
（2）已知，
（ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积；
（ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，结合利用线面垂直的判定定理可得证；
（2）（ⅰ）根据线面角的定义可得是直线与平面所成的角，可得，由此求得，即可得菱形的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；（ⅱ）利用线面垂直的性质定理可得，，则，，根据定义可得即为异面直线与所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可.
【小问1详解】
四边形是菱形，，
又平面，平面，，
又，平面，
平面.
【小问2详解】
（ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，于是，
，，又，
所以，
菱形的面积为，
故四棱锥的体积.
（ⅱ）平面，平面，，，
所以，，
因为，所以即为异面直线与所成角（或补角），
又，所以在中，由余弦定理，
即，解得，
所以为锐角，即为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值.
19. 已知函数最小正周期为.
（1）求的值和函数图象的对称中心；
（2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围.
【答案】（1），对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得，再借助正弦型函数对称性可得对称中心；
（2）得到后，结合换元法可得的单调性，即可得实数的取值范围.
【小问1详解】
，
由的最小正周期为，得，故，所以，
令，得，故函数的对称中心为；
【小问2详解】
令，由，得，
在递减，在递增，所以，
又，所以有两个解时，.关注
不关注
合计
青少年
中老年
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.708
3.841
6.635
7.879
10828
关注
不关注
合计
青少年
中老年
合计