湖南师范大学附属中学2026届高三年级高考模拟卷(三)(暨月考卷(十)数学试卷含解析（word版）

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1. A 【解析】根据 Venn 图,阴影部分为 ∁UB ,显然集合 A 与 ∁UB 无公共部分,所以 A∩∁UB=⌀ .
2.D 【解析】因为双曲线的渐近线为 3x±2y=0 ，所以设双曲线方程为 9x2−4y2=λ ，
又双曲线经过点 2,32 ,所以 9×22−4×322=λ ,得 λ=−36 ,
所以双曲线方程为 9x2−4y2=−36 ,化为标准方程为 y29−x24=1 .
3. B 【解析】由题意,得 sin2α−π6=cs2α−π6−π2=cs2α−2π3=cs2π3−2α=2cs2π3−α−1= 2×232−1=−19 , B 正确.
4. C 【解析】因为 ax+by+2b−a=0 ,即 ax−1+by+2=0 ,
令 x−1=0,y+2=0 得 x=1,y=−2,
故直线恒过 1,−2 ,设 P1,−2 ,圆化为标准方程得 C:x2+y+22=5 ,
设圆心为 C ,画出直线与圆的图形,
由图可知,当 PC⊥AB 时, AB 最小, PC=1,AC=r=5 ,
此时 AB=2AP=2AC2−PC2=25−1=4 .
5. B 【解析】由题意知当 P19.95≤X≤20.05≥0.9973 时, μ−3σ,μ+3σ⊆19.95,20.05 , 又 μ=20,σ=160n ,所以 0.05≥3160n ,解得 n≥60 ,所以 n 的最小值为 60 .
6. C 【解析】由 an+1=n+1nan,an+1n+1=ann ,又 a1=1 ,所以 an=n ,则 an 为等差数列,
得 Sn=n2a1+an=nn+12 . 所以 2Sn+10an=n2+n+10n=n+1+10n ,
又 n∈N∗ ,当 n=3 时, n+1+10n=223 ,当 n=4 时, n+1+10n=152 .
所以当 n=3 时, 2Sn+10an 取到最小值 223 .
7. C 【解析】因为向量 a=2,1,b=2,−1 ,则 m=λa+b=2λ+2,λ−1,n=a+μb=2+2μ,1−μ ,
对于 A,m//n 当且仅当 21+λ1−μ=2λ−1μ+1 ,即 1+λ−μ−λμ=λμ−μ+λ−1 ,
即 λμ=1 ，由此可知存在无数组实数对 λ,μ ，使得 m//n ，故 A 错误；
对于 B,m⊥n 当且仅当 4λ+1μ+1+λ−11−μ=0 ,即 4λμ+λ+μ+1+λ−1−λμ+μ=0 ,即 (3λ+ 5) μ=−5λ+3 ,
当 λ=−53 时,该方程不成立,此时不存在实数对 λ,μ ,使得 m⊥n ,
当 λ=−35 时,此时 μ=0 ,由此可知存在实数对 −35,0 ,使得 m⊥n ,
当 λ≠−35 且 λ≠−53 时,此时存在无数对实数对 λ,μ ,使得 m⊥n ,故 B 错误;
对于 C,m=n 当且仅当 2λ+2=2+2μ,λ−1=1−μ, 解得 λ=μ=1 ,故 C 正确;
对于 D,m=n⇒4λ+12+λ−12=4μ+12+1−μ2 ,
即 5λ2+6λ=5μ2+6μ ,进而可得 λ−μ5λ+5μ+6=0 ,
故当 λ=μ 或者 5λ+5μ+6=0 时,此时有无数组实数对 λ,μ ,使得 m=n ,故 D 错误.
8. A 【解析】设圆锥的底面半径为 r ,高为 ℎ ,则体积 V1=13πr2ℎ .
要是使得 V2V1 取最大值,则挖去的半球应与圆锥侧面相切,设半球的半径为 R ,则体积 V2=23πR3 .
由相切可得 R=ℎrℎ2+r2 . 令 t=ℎrt>0 ,则 R=r⋅tt2+1,V2V1=2R3r2ℎ=2r2ℎ⋅r3⋅t3t2+132=2t2t2+132 .
令 ft=2t2t2+132 ,求导得 f′t=2⋅2tt2+132−t2⋅32t2+112⋅2tt2+13=2t2−t2t2+152 .
令 f′t>0 ,得 0π2 ,所以 OM⋅ON0 ,所以 2am+1−am+am+2≤2am+1−2amam+2=0 ,
又因为 lnm+12mm+2=lnm2+2m+1m2+2m>ln1=0 ,所以方程 ∗∗ 无解.
所以数列 an 中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 9 分
(ii) 证明: 先证明: x>0 时, x−1≥lnx,∗∗∗
设 gx=x−1−lnx ,则 g′x=x−1x ,
所以当 x∈0,1 时, g′x0,gx 单调递增,
所以 gx≥g1=0 ,当且仅当 x=1 时,等号成立.
由 ∗ 及 ∗∗∗ 式知, lnn=an+lnan−1≥2lnan ,所以 an≤n2n+n+1=2n+1−n ,
所以 i=1n1ai>2n+1−n+n−n−1+⋯+2−1=2n+1−1 ; 13 分
在 ∗∗∗ 式中,令 x=ann ,得 ann−1≥lnann=lnan−lnn ,当且仅当 an=n ,即 n=1 时等号成立,
所以由 ∗ 式得 0=an+lnan−lnn−1≤an+ann−2 ,
所以 an≥2nn+1,1an≤121+1n ,当且仅当 n=1 时等号成立,
所以 i=2n1ai