湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷（一）（月考八）数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷（一）（月考八）数学试卷含解析（word版+pdf版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知复数 满足 ，则 的共轭复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
2. 已知幂函数 在 上单调递减，则实数 的值为
A. 0 或 1 B. -1 或 1C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】由于 为幂函数，所以 ，解得 或 ，又函数 在 上单调递减， 故当 时符合条件.
3.已知 ,集合 ,若 ,则
A. 1 B. 2C. 2 或 1 D.
【答案】B
【解析】已知集合 ,且 ,所以 ,即 .
若 ,则 ,此时 ,与 矛盾,舍去.
若 ,则 ,此时 ,符合条件. 综上所述, .
4.已知向量 ，向量 在 方向上的投影向量为 ，则
A. -1 B. 1C. -2 D. 2
【答案】B
【解析】由向量 在 方向上的投影向量为 ,得 .
5.定义在 上的偶函数 的部分图象如图,则下列函数在区间 上与 的单调性不同的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用偶函数的对称性知 在 上单调递减.
又 在 上单调递减; 在 上单调递减;
上单调递增;
在 上单调递减.
6.已知数列 是公比大于 0 的等比数列,则 的最小值为
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ,则 ,当且仅当 ,即 时取等号,故 的最小值为 .
7.一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出 1 个球, 依次取完. 则两个红球被连续取出的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，前 4 次取球，每次可取左或取右两种选择，最后 1 次取只有 1 种选择，因此不同取法种数为 . 按照两个红球被连续取出的取法分情况讨论:
(1)若在第 1,2 次取出两个红球,再取另 3 个球,共有 4 种方法,
(2)若在第 2，3 次取出两个红球，则第 1 次取白球，共有 2 种方法，
(3)若在第 3，4 次取出两个红球，则第 1，2 次取白球，共有 1 种取法，
(4)若在第 4，5 次取出两个红球，则第 1，2，3 次取白球，共有 2 种取法，
因此两个红球被连续取出的方法种数共有 ,
所以所求概率为 .
8.已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，交 轴于点 ，若 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于 ,记 的中点为点 ,则 的中点也为点 ,
设直线 ,则 ,于是 ,设 ,
则 ,由 ,
两式相减可得 ,即 ,得 ①.
又 ,所以 为 的中点,则 ②,把①式代入②式解得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 是空间的一个基底,则下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 向量 一定共面
C. 向量 在基底 下的坐标是
D. 对空间中任意向量 ，都存在唯一的有序实数组 ，使得
【答案】ACD
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 且斜率为 的直线 与 的右支交于点 ,则
A. 的离心率为 B.
C. 的最小值为 -9D. 若以实轴为直径的圆与 相切,则
【答案】BCD
【解析】对于 选项,由双曲线方程为 ,可得 ,
所以 ,所以 ,所以离心率为 ,故 A 错误;
对于 选项, ,设直线 ,直线 与双曲线联立可得,
,
,因为直线 与双曲线右支交于一点,
所以 ,解得 ,故 正确;
对于 选项,设 ,所以 ,
由 在双曲线上可得 ，代入可得 ， ，
当 时，取得最小值，可得 ，故 C 正确；
对于 选项,以实轴为直径的圆,圆心为原点 ,半径 ,直线 与圆相切,
由点到直线的距离公式, ,联立求解 点坐标,
将 代入双曲线方程,可得 ,解得 ,
所以 ,
,故 D 正确.
11.在非等腰 中,内角 的对边分别为 ,且角 满足 ,则
A.
B.
C. 记边 上的高为 ，则 的取值范围为
D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列
【答案】BC
【解析】由 得, ,
化简得: ,又因为 为非等腰三角形,
所以 ,即 ,故选项 错误,选项 正确;
对于选项 ,因为 ,所以 ,
令 ,又 ,则 ,
所以 ,故 选项正确;
对于选项 ,假设 的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列,即 , 化简得: ,所以 ,此方程显然是有解的,故选项 D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.如图,矩形 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图,其中 , ，则原图形的周长为________.
【答案】14
【解析】由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形,且原图形中 ,设 与 交于点 ，由 ， ，得原图中 ，则 ,则原图形的周长是 .
13.已知 ，则 _______.
【答案】243
【解析】因为 ,令 ,得 ,两边同时乘以 32,得 .
14.已知 为坐标原点,函数 与函数 的图象有两个不同的交点 ,当 . 最小值时， ________.
【答案】2
【解析】设 ,结合图象可得当且仅当 时,图象有两个不同交点,设 , 因为函数 恒过定点 ,
则 ,
由题设有 ,故 ,
即 ,故 ,
设 ,则 ,
设 ,故 在 上为减函数,
故 ,即 ,故 在 上为减函数.
设 ,则 ,
设 ,则 ,故 在 上为减函数,
而 ,故 在 上存在零点 ,
且 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
故 在 上为增函数,在 上为减函数,
故当 时, 取最大值,即 取最小值, 取最小值,此时 ,
又 ,故此时 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) 由递推关系 ,两边取倒数得: .
即 , 3 分
又 ，所以 是以 为首项，以 2 为公差的等差数列.
那么 ,故 . 6 分
(2)由(1)知， ， .
9 分
所以 . 13 分
16.某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验. 研究人员记录了 14 名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标 (单位: )随给药剂量 (单位: )的变化情况. 为了寻找最合适的预测模型, 研究人员分别利用模型一和模型二对这 14 组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图(如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量).

(1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由；
(2)设这 14 组数据得到的经验回归方程为 2.
(i)已知样本中的某位志愿者的给药剂量为 ，生化指标为 . 若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的 四点之一，请指出该点并说明理由;
(ii) 若在这 14 组数据中,给药剂量的标准差为 ,生化指标的标准差为 , 求生化指标与给药剂量的相关系数. (结果精确到 0.01)
参考公式: 相关系数 ;
经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,
【解析】(1)模型一. 2 分
理由:模型一的残差图中的点更集中地分布于以取值为 0 的横轴为中心的宽度更窄的水平带状区域内，说明预测值与真实值偏差更小. 4 分
(2)(i)在 中，代入 ，
得 . 6 分
模型一中的 点. 8分
( ii ) , 10 分
15 分
17.如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为 和 ，四边形 为下底面圆 的内接正方形,且 为上底面圆 上两点， 为 的中点,且满足平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)求圆台的体积；
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.
【解析】
(1) 证明: 取 的中点 ,连接 交 于 .
在正方形 中,由于 为 的中点,
可得 ,则 ,
因为 ,所以 ,
得到 ,即 . 2 分
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 , 3 分
又因为 平面 ,
所以 , 4 分
又 ,所以 平面 ,所以 . 5 分
(2)由(1)得 平面 平面 ，所以 ，
又圆 圆 ,所以 ,所以四边形 为矩形, 6 分
所以圆 的半径 , 7 分
又圆 的半径 ,
所以圆台的体积为 .9 分
(3)以 为坐标原点,过点 作与 ， 平行的直线分别为 轴， 轴，以 所在的直线为 轴建立如图空间直角坐标系.
则 ,
由于圆 的半径 为上底面圆 上一点,设 , 10 分
故 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
由 得 取 ,故 , 12 分
设 与平面 所成角为 ,
则 . 13 分
平方后整理方程得 ,
解得 或 (舍),
所以 . 14 分
所以点 到平面 的距离为 . 15 分
18.已知函数 .
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)设方程 在区间 ( 且 )内的根从小到大依次为 ,试比较 与 的大小,并说明理由.
【解析】(1) .
所以 在点 处的切线方程为: . 3 分
( 2 )由题可知存在 ,使得 成立,
因为 时, ,故存在 ,使得 . 5 分
令 ,其中 ,
且 不恒为零,故函数 在 上单调递减,则 ,
故 . 即实数 的取值范围是 . 7 分
(3) 8 分
理由如下:
由 可得 ,
令 ,则 .
因为 且 ,则 ,
所以 ,所以函数 在 且 上单调递减,
因为 ,
所以存在唯一的 且 ,使得 ,
所以 , 11 分
同理可得 ,且 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以
15 分
因为函数 在 上单调递减,
故 ,即 ,当 时,即 . 17 分
19.已知圆 和抛物线 为 的焦点. 点 是抛物线 上的动点,当 时, . 过动点 作圆 的两条切线,切点分别为 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)当 时,求 的最小值；
(3)设直线 ， 分别交 于另两点 ， ，是否存在实数 ，使得当点 在 上运动时，直线 总与圆 相切？若存在,请求出 的值；若不存在,请说明理由.
【解析】(1) 由抛物线 的焦点坐标为 ，
因为点 是抛物线 上的动点,当 时, ,
可得 即 解得 ,
所以抛物线 的标准方程为 . 3 分
(2)当 时，圆 的方程为 ，可得圆 的圆心为 ，半径为 ，
过点 作圆 的切线，切点为 ,
则 ,其中 为切线与 的夹角, 4 分
在直角 中,可得 ,
所以 . 6 分
因为点 是抛物线 上的动点,可得 ,
又由 ,
当 时, ,
所以 的最小值为 . 8 分
(3)假设存在实数 满足题设中的条件， 9 分
当点 与坐标原点重合时,设切线 的直线方程分别为 ,
则圆心 到直线 的距离为 ,可得 ,且 ,
将 代入抛物线 ,可得 ,
则直线 的方程为 ,
由直线 与圆 相切,可得 ,
联立 解得 (负值舍去). 11 分
下面证明: 当 时,对于抛物线 上任意一点 ,直线 与圆 相切,
设点 ,
则直线 的方程为 ,
即 ,
同理可得,直线 的方程为 ,
所以直线 的方程为 . 13 分
因为直线 与圆 相切,则 ,
即 ,
同理可得,直线 与圆 相切,可得 ,
则 为方程 的两个不等的实数根,
则 . 15 分
点 到直线 的距离为 ,
所以直线 与圆 相切,
综上可得,存在 ,使得当点 在抛物线 上运动时,直线 与圆 相切. 17 分