湖南省师范大学附属中学2023-2024学年高三月考（六）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省师范大学附属中学2023-2024学年高三月考（六）数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．命题“,”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
4．对于任意非零向量,,若,在上的投影向量互为相反向量,下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
5．已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,若,则( )
A.B.C.3D.
6．若,x,,则的最小值为( )
A.B.C.D.4
7．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆,它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素,建筑外形优美流畅,飘逸灵动,被形象地称为雪飞天.雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ和一段圆弧组成,如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆C的方程为.若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳,起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分,则该抛物线的方程为( )
A.B.C.D.
8．已知等比数列的前n项和为,若,则( )
A.为递减数列B.为递增数列
C.数列有最小项D.数列有最大项
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14
B.若随机变量X服从正态分布,且,则
C.若线性相关系数越接近,则两个变量的线性相关性越强
D.对具有线性相关关系得变量x,y,其线性回归方程为,若样本点的中心为,则实数m的值是-4
10．以下命题正确的是( )
A.设与是定义在R上的两个函数,若恒成立,且为奇函数,则也是奇函数
B.若对任意,都有成立,且函数在R上单调递增,则在R上也单调递增
C.已知,,函数,若函数在上的最大值比最小值多,则实数a的取值集合为
D.已知函数满足,函数,且与的图象的交点为,,,,则的值为8
11．已知函数的部分图象如图1所示,A,B分别为图象的最高点和最低点,过A作x轴的垂线,交x轴于,点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角,如图2所示,此时,则下列四个结论正确的有( )
A.
B.
C.图2中,
D.图2中,S是及其内部的点构成的集合.设集合,则表示的区域的面积大于
三、填空题
12．的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
13．已知椭圆的左,右焦点分别为,过点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,,分别交y轴于P,Q两点,的周长为6,过作外角平分线的垂线与直线交于点N,则_______________.
14．在三棱锥中,,,,且,,若该三棱锥的体积为,则三棱锥外接球的体积为__________________.
四、解答题
15．如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点M在侧棱上,.
(1)证明：M是侧棱的中点;
(2)求二面角的正弦值.
16．2023年7月28日,第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来,有A,B,C,,J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营,并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分,得分情况如图中虚线所示;集训后再进行测试,10位跳水员得分情况如图中实线所示,规定满分为10分,记得分在8分以上的为“优秀”.
(1)将上面的列联表补充完整,并根据小概率值的独立性检验,判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因;
(2)从这10人中任选3人,在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下,求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率;
(3)跳水员A将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训,且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中,都会有这3种高度,且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”,则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中,跳水员A在每个高度中达到“优秀”的概率均为,每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员A在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次,那么理论上至少要进行多少轮测试？
附：,其中.
17．在平面直角坐标系中,已知椭圆与直线R）,四个点,,,中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得,再过P作直线,求证：直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
18．已知函数.
(1)若函数为增函数,求k的取值范围;
(2)已知.
（i）证明：;
（ii）若,证明：.
19．已知等比数列的公比为q（）,其所有项构成集合A,等差数列的公差为d（）,其所有项构成集合B.令,集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列.
(1)若集合,写出一组符合题意的数列和;
(2)若,数列为无穷数列,,且数列的前5项成公比为p的等比数列.当时,求p的值;
(3)若数列是首项为1的无穷数列,求证：“存在无穷数列,使”的充要条件是“d是正有理数”.
参考答案
1．答案：D
解析：因为集合,,
故,A错误;
由于,,但,,故A不是B的子集,B错误,
,C错误;
,D正确,
故选：D.
2．答案：A
解析：由,得,
所以,所以,
所以在复平面内对应的点为,位于第一象限.
故选：A.
3．答案：C
解析：因为命题“,”为假命题,所以命题“,”为真命题,
即对恒成立,
所以,
因为,
所以命题“,”为假命题的一个充分不必要条件是.
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意得,在上的投影为,
同理,在上的投影为,
因为任意非零向量,在上的投影向量互为相反向量,
所以,在上的投影互为相反数,
所以,则,即.
故选：D.
5．答案：C
解析：由三角函数的定义可知,,得,
所以角终边上一点为,,
.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为,
所以.
因为,所以.
所以,即.
当且仅当,,即,时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
7．答案：A
解析：由题意知,又,
直线CM的方程为,即.
由,得或
即或.又M为靠近y轴的切点, .
设飞行轨迹的抛物线方程为,
则,
在点M处的切线斜率为1,
,解得,
,解得,
,
即抛物线方程为.
故选：A.
8．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,则,
由可得,又,所以即,又,所以,即,
故等比数列首项,公比q满足或,
当时,等比数列为正负项交替的摆动数列,故不单调;
当时,,等比数列单调递减,故A,B不正确;
又,且
所以当时,由于,
则,,
此时数列的最小项为,最大项为;
当时,有,
则数列为单调递增数列,有最小项,无最大项,故C正确,D不正确.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：因为,所以第百分位数为,A错误;
若随机变量X服从正态分布,且,
则,
则,B正确;
若线性相关系数越接近1,
则两个变量的线性相关性越强,C正确;
对于D,样本点的中心为,
所以,,
而对于回归直线方程,
因为此时线性回归方程为,
所以,,
所以,D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A,令,则,
因为为奇函数,所以恒成立等价于,
因此,即,可知也是奇函数,所以A正确;
对于B,设,因为函数在R上单调递增,所以,
因为恒成立,
所以;
从而,
令,则,
可得,
所以在R上也单调递增,B正确.
对于C,若,函数在上的最大值为,最小值为或,
当时,解得,此时,满足题意;
当时,无解,舍去;
若,当时是单调递减,当时,是单调递减,
因为,所以函数最大值为,
而,所以函数最小值为,
因此,解得,符合题意;
综上可知,实数a的取值集合为,可得C错误;
对于D,由可得函数关于成中心对称;
而也关于成中心对称;
所以与的图象的交点关于成中心对称;
从而,即D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：函数的最小正周期为,
在图2中,以点O为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,
设点,则点、,
,因为,解得,故A正确;
所以,,则,可得,
又因为函数在附近单调递减,且,所以,,故B错误;
因为,可得,
又因为点A是函数的图象在y轴左侧距离y轴最近的最高点,则,可得,
所以,,
因为点C是函数在y轴右侧的第一个对称中心,所以,,可得,
翻折后,则有、、、,
所以,,,
所以,在图2中,,故C正确;
在图2中,设点,,
可得,
,,,
易知为锐角,则,
所以,区域T是坐标平面内以点为圆心,半径为,且圆心角为的扇形及其内部,
故区域T的面积,故D错误.
故选：AC.
12．答案：120
解析：由于,
所以的展开式中含的项为,
所以的展开式中的系数为.
故答案为：120.
13．答案：
解析：由题意知过点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,
则,
故的周长为,
由于,且O是的中点,O在上,则为的中位线,
则的周长为周长的一半,而的周长为6,
即,,则椭圆方程为,
则,
设外角平分线为,又过作外角平分线的垂线与直线交于点N,
故,则,
故,
故答案为：.
14．答案：
解析：取的中点O,连接、,如下图所示：
,,且,,
所以,、均为等腰直角三角形,且,
所以,,所以,为三棱锥的外接球直径,
设,可得,设,
,O为的中点,则,同理可得,
,,平面,平面,
所以,,,
在中,由余弦定理可得,即,
可得,
由,可得,化简可得,
即,
,解得,
因此,三棱锥外接球的体积为.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）作交于点E,则,因为四边形是正方形,
所以.
又平面,平面,所以.
因为,平面,,所以平面,
又,所以平面,
连接,平面,所以,则四边形为直角梯形,
作,足为F,则为矩形,
设,则,,
,
由,得,
解得,即,从而,所以M为侧棱的中点.
（2）解法一：因为四边形是正方形,所以,又平面,
平面,所以.因为,平面,,
所以平面,又平面,所以,则,
又,,为等边三角形.
又由（1）知M为中点,,,
所以,,
取中点G,连结,取中点H,连结,则,,
由此知为二面角的平面角,由（1）知平面,又,
所以平面,平面,所以,连结,
在中,,,
所以.
所以二面角的正弦值为.
解法二：以D为坐标原点,,,方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系（如图）,
易知,,,,
,,,
令平面的法向量为,则,即,
令,得.
设平面AMB的法向量为,
由得,化简得,
令,得,令二面角的大小为,
则,
故二面角的正弦值为为.
16．答案：(1)列联表见解析,有关,原因见解析
(2)
(3)12轮
解析：（1）零假设：假设跳水员的优秀情况与训练无关.
列联表为：
,
故根据小概率值的独立性检验,零假设不成立,即跳水员的优秀情况与训练有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）由图可知：训练前后均不优秀的有C,F共2人,训练前后均优秀的有D,G共2人,训练前不优秀而训练后优秀的有6人,
设“所选3人中恰有2人训练后为优秀”,“所选3人中恰有1人训练前为优秀”,
则,,
（3）设跳水员A每轮测试为优秀的概率为P,则.
设A测试次数为n,则优秀的次数,
故,
故至少需进行12轮测试.
17．答案：(1)
(2)证明见解析,
解析：（1）因为四个点中有三点在椭圆上,由椭圆的对称性可知：,必在圆上.
若在椭圆上,则为椭圆的左顶点.但,所以与在椭圆上矛盾.
所以在椭圆上,所以,所以,所以椭圆方程为.
（2）依题意可得,l方程为：.
因为且P,M,N共线,所以P为MN中点,所以P在椭圆内部.
设,因为与椭圆交于,,
所以.因为P为中点,且于P,
所以为MN的中垂线.设,,联立,
得,所以.
因为P为MN中点,所以,,
当时,所以.
因为,所以,所以,
所以直线恒过;
当时,直线,所以为x轴,过.
所以无论P位于哪个位置,直线恒过.
18．答案：(1)
(2)（i）证明见解析;（ii）证明见解析
解析：（1）,则,
若是增函数,则,
且,可得,
故原题意等价于对恒成立,
构建,则,
令,解得;令,解得;
则在上递增,在递减,故,
的取值范围为.
（2）（i）由（1）可知：当时,单调递增,
,则,即,
整理得,
构建,则,
令,解得;令,解得;
则在上递减,在递增,
故,即,当且仅当时等号成立,
令,可得,
故;
（ii）,则,
可知有两个不同实数根,,由（1）知,
可得,
同理可得,
构建,则,
当时,;当时,;当时,;
且,故对恒成立,
故在上单调递减,
,则,即,
且,,则,故,
可得;
又,由（i）可得,即,
则,
且,则,
可得;
综上所述：.
可得,则
故.
19．答案：(1)取为4,6,9;为1,3,5,7.
(2).
(3)证明见解析.
解析：（1）取为4,6,9;为1,3,5,7,
则满足：,故4,6,9为等比数列.
而,故1,3,5,7为等差数列,
故此时,符合题意.
（2）因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列,
故中各项均为正数,所以中的各项均为正数,
而为无穷等差数列,故.
设的前5项为：,
因为,,,所以,
此时必有,事实上,若,则的前5项即是的前5项,
与矛盾.
所以或.
若,则,所以,此时的前5项为1,,2,,4,
即,,所以数列的公差为,
因为,所以符合题意;
若,则或
①时,有p,,成等差数列,所以,解得,与矛盾;
②时,有,所以,所以的前5项为1,,,2,,
因为,所以,即,
所以,故,与为等差数列矛盾.
所以不可能.
综上,p的值为.
（3）因为数列是首项为1的无穷数列,由（2）知,数列是递增的数列;
对于公比不为1的无穷数列,必有,.
否则,若q为负,则相邻两项必有一项为负,
这与中的最小项为矛盾;
若,则当时,,
即,这与中的最小项为矛盾.
先证明充分性：
当d是正有理数时,因为数列是递增的等差数列,所以,
设（s,,s,t互质）,则,
令,则,,
当时,
所以数列的第n项是数列的第项,
所以数列中的项都是数列的项,即.
再证明必要性：
假设d是正无理数,因为,即数列中的项都是数列的项,故.
令,,（i,j,）,则,,,
且,因为,即,
整理得：,约去d有,
因为i,j,,且d是无理数,所以,消去j并整理得,
故,与矛盾,所以假设不成立,即d是有理数.
综上所述,“存在数列,使”的充要条件是“d是正有理数”
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
2
8
10
训练后
8
2
10
合计
10
10
20