湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（三）数学试卷及详细解析

这是一份湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（三）数学试卷及详细解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的 四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U=x∈N∗∣x≤7 ,集合 A={1,2,3,4},B={1,3,5} , 则 ∁UA∪B=
A. {1,2,3,4,5} B. {0,1,3,5,6,7}
C. {0,6,7} D. {6,7}
2.《数术记遗》记述了积算(即筹算)、珠算、计数等共 14 种算法,某研究学习小组共 10 人,他们搜集整理这 14 种算法的相关资料所花费的时间 (单位: min ) 分别为68,58,38,41,47,63,82,48,32, 31 , 则这组数据的
A. 众数是 31 B. 20 百分位数是 31.5
C. 极差是 38 D. 中位数是 47.5
3. 用 max{a,b} 表示 a,b 中的最大者,若 fx=maxx,2−x2 , 则 fx 的最小值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知抛物线 C:y2=2px ( p>0 ) 的顶点为 O ,经过点 Ax0,2 ,且 F 为抛物线 C 的焦点,若 AF=3OF ,则 p=
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
5. 已知函数 y=f12x+1 的定义域是 2,4 ,则函数 gx= fxlnx−2 的定义域为
A. 2,3 B. (2,3]∪(3,6]
C. 2,3∪(3,6] D. 2,3∪(3,4]
6. 公元 5 世纪,数学家祖冲之估计圆周率 π 的范围是: 3.1415926 < ππ2+csB ,则
A. π60 上一点 A0,1 到两个焦点的距离之和为 6 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若椭圆 C 上有不同的两点关于直线 y=4x+t 对称,求实数 t 的取值范围;
(3)若动直线 x=my+1 与 C 交于点 M , N ,点 E 是 x 轴正半轴上异于点 1,0 的一定点,若直线 EM , EN 的倾斜角分别为 α,βα+β≠π ,且存在实数 k 使得 tanα+β−k(tanα+ tanβ)=0 恒成立,求点 E 的坐标及 k 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ex⋅csx ( e 为自然对数的底数).
(1)求函数 fx 的图象在点 0,f0 处的切线方程；
(2)记 gx=−x3−3x⋅csx+a+3x ,若 ∀x∈0,1 ,有 fx≤egx ,求 a 的取值范围;
(3) 设 n∈N∗ ,且 n≥2 ,证明: cs1+cs23+cs12+cs25+⋯ +cs2n1 时, x>2−x2 ,此时 fx=x ,综上, fx=−x,x1, , −1,0 上单调递增,在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增,且 f−1=f1=1 ,可得当 x=−1 或 x=1 时, fx 取得最小值 1 .
4. C 【解析】由 AF=3OF ,可得 x0+p2=3p2 ,所以 x0=p ,则 4=2p2 ,又 p>0 ,解得 p=2 .
5. A 【解析】 ∵ 函数 y=f12x+1 的定义域为 2,4,∴2≤x≤4 ,则 1≤12x≤2,∴2≤12x+1≤3 ,所以 fx 的定义故为 2,3 ,由题得 x−2>0,x−2≠1,2≤x≤3, 解得 2π2+csB , 知 π−A−B+sinA>π2+sinπ2−B ,整理得, sinA−A>sinπ2−B−π2−B ,设 fx=sinx−x,x∈0,π , 则 f′x=csx−1fπ2−B ,所以 A π−π2−B−B=π2 ,所以 A,B∈0,π2,π2−B∈0,π2 ,因为 y=sinx 在 0,π2 上单调递增, y=csx 在 0,π2 上单调递减,所以 sinAcsπ2−B ,即 sinAsinB ,所以 sinAcsB+
sinBcsA