2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练57圆锥曲线中的范围、最值问题 [含答案]

这是一份2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练57圆锥曲线中的范围、最值问题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了已知点P是抛物线C，已知A,B分别是双曲线C，已知椭圆C，已知抛物线C，已知点F为抛物线C，已知双曲线C，已知O为坐标原点,过抛物线C等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
1.已知点P是抛物线C:y2=4x上的动点,点P到y轴的距离为d,Q(-3,3),则|PQ|+d的最小值为( )
A.5B.30+1
C.30-1D.4
2.(2024·安徽池州二模)已知实数x,y满足mx2+2y2=4(m>0),若|x+2y|的最大值为4,则m=( )
A.33B.13C.22D.12
3.已知P是双曲线x2-y2=1上的动点,Q是圆(x-4)2+y2=4上的动点,则P,Q两点间的最短距离为( )
A.7-2B.6-1
C.7-1D.22-2
4.(2024·浙江联考一模)已知A,B分别是双曲线C:x24-y2=1的左、右顶点,P是双曲线C上的一动点,直线PA,PB与x=1交于M,N两点,△PMN,△PAB的外接圆面积分别为S1,S2,则S1S2的最小值为( )
A.316B.34C.34D.1
5.(多选)(2024·广东湛江高三检测)已知椭圆C:x216+y212=1,且两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,以下结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率为32
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
6.(2024·广东茂名模拟预测)已知抛物线C:x2=4y,定点T(1,0),M为直线y=12x-1上一点,过M作抛物线C的两条切线MA,MB,A,B是切点,则△TAB面积的最小值为 .
能力提升练
7.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+9|DE|的最小值为( )
A.32B.48C.64D.72
8.(2024·山东济南一模)若椭圆C1和C2的方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0且λ≠1),则称C1和C2为相似椭圆.已知椭圆C1:x24+y23=1,C2:x24+y23=λ(04|OF|
D.∠OAM+∠OBMb>0)的左、右焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆的内部,则此椭圆离心率的取值范围为 .
13.(15分)如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
素养拔高练
14.(15分)(2023·全国甲,理20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,FM·FN=0,求△MNF面积的最小值.
答案：
1.D ∵抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),P到直线x=-1的距离等于|PF|,∴P到y轴的距离d=|PF|-1,∴d+|PQ|=|PF|+|PQ|-1.∴当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(-3,3),F(1,0),∴|QF|=5,∴d+|PQ|的最小值为5-1=4.
2.D 令x+2y=t,则t2≤16,则m>0时,由x+2y=t,mx2+2y2=4,整理得(4m+2)y2-4mty+mt2-4=0,则Δ=(-4mt)2-4(4m+2)(mt2-4)≥0,整理得t2≤4+8mm,则4+8mm=16,解得m=12.
3.A P是双曲线x2-y2=1上的动点,Q是圆(x-4)2+y2=4上的动点,由已知圆(x-4)2+y2=4的圆心为M(4,0),半径为2,P,Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径,设P(x,y),可知x2-y2=1,即y2=x2-1,可得|PM|=(x-4)2+y2=2(x-2)2+7≥7,当且仅当x=2时等号成立,所以P,Q两点间的最短距离为7-2.
4.A 由已知得,A(-2,0),B(2,0),由双曲线的对称性,不妨设P(x,y)在第一象限,所以kPA=yx+2,kPB=yx-2,所以kPA·kPB=yx+2·yx-2=y2x2-4=x24-1x2-4=14,设直线PA的方程为y=k(x+2),k>0,则直线PB的方程为y=14k(x-2),同时令x=1,则yM=3k,yN=-14k,所以|MN|=3k+14k,k>0,设△PMN,△PAB的外接圆的半径分别为r1,r2,由正弦定理得,2r1=|MN|sin∠MPN=|MN|sin∠APB,2r2=|AB|sin∠APB,所以r1r2=|MN||AB|=3k+14k4≥23k·14k4=34,当且仅当3k=14k,即k=36时等号成立,所以S1S2=πr12πr22=r1r22=316.
5.BD 椭圆C:x216+y212=1,则a=4,b=23,c=a2-b2=2.对于A项,e=ca=12,故A错误;对于B项,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;对于C项,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;对于D项,|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|PF2|)24=a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确.
6.3 设M(x0,y0),MA,MB的斜率分别为k1,k2,且y0=12x0-1.过点M的切线方程为y-y0=k(x-x0),联立y-y0=k(x-x0),x2=4y,解得x2-4kx-2x0+4+4kx0=0,所以Δ=16k2-4(-2x0+4+4kx0)=0,即2k2-2kx0+x0-2=0,所以k1+k2=x0,k1k2=x0-22,设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由导数几何意义知k1=12x1,k2=12x2,所以A(2k1,k12),B(2k2,k22),kAB=k22-k122k2-2k1=k2+k12,所以直线AB:y-k12=k2+k12·(x-2k1),即lAB:x0x-2y-2y0=0且2y0=x0-2,所以lAB:x0x-2y-x0+2=0,直线AB恒过定点(1,1),其到T的距离为1,联立x0x-2y-2y0=0,x2=4y,得x2-2x0x+4y0=0,所以x1+x2=2x0,x1x2=4y0,即(x1-x2)2=4x02-16y0=4x02-8x0+16=4(x0-1)2+12≥12,所以S△TAB=12×1×|x1-x2|≥3.
7.C 因为直线l1⊥l2,且与抛物线y2=4x都有2个交点,所以直线l1,l2的斜率均存在且不为零,因为y2=4x的焦点F(1,0),所以可设直线l1的方程为x=my+1(m≠0),则直线l2的方程为x=-1my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l1和抛物线C的方程,消去x并整理得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0恒成立,则y1+y2=4m,y1y2=-4,由弦长公式得|AB|=1+m216m2+16=4(m2+1),同理可得|DE|=41m2+1.所以|AB|+9|DE|=4(m2+1)+361m2+1=4m2+9m2+40≥64,当且仅当m2=9m2,即m=±3时等号成立,所以|AB|+9|DE|的最小值为64.故选C.
8.B 当直线MN的斜率不存在时,设直线MN的方程为x=x0,-2λ≤x0≤2λ,联立x24+y23=1,x=x0,可得
x=x0,y=±3×1-x024,所以|MN|=23×1-x024,所以△MON的面积S△MON=3|x0|1-x024,由PM+PN=0,可得P为MN的中点,所以P(x0,0),因为点P在椭圆C2上,所以x0=±2λ,所以S△MON=23×λ(1-λ),当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=sx+t,联立x24+y23=1,y=sx+t,消去y,得(4s2+3)x2+8stx+4t2-12=0,所以Δ=64s2t2-4(4s2+3)(4t2-12)=48(4s2-t2+3)>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8st4s2+3,x1x2=4t2-124s2+3,所以y1+y22=s(x1+x2)+2t2=-4s2t4s2+3+t=3t4s2+3,所以P点坐标为-4st4s2+3,3t4s2+3,因为点P在椭圆C2上,所以t2=λ(4s2+3),因为原点O到直线MN的距离为|t|1+s2,|MN|=1+s2|x2-x1|=1+s2×(x1+x2)2-4x1x2,所以△MON的面积S△MON=
12|t||x1-x2|=23|t|4s2-t2+34s2+3=
23×λ(4s2+3)×(1-λ)(4s2+3)4s2+3=23×λ(1-λ).
综上,S△MON=23×λ(1-λ),又02p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A34p,62p,Bp3,-63p,所以OA·OB=34p,62p·p3,-63p=p24-p2=-34p2