内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期4月诊断考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期4月诊断考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知空间向量，若，则（ ）
A．B．C．D．6
3．如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足，，则数列的前12项和为（ ）
A．108B．28C．62D．80
5．记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ）
A．4B．C．1D．2
6．已知，则m，n，p（ ）
A．成等差，但不成等比B．成等比，但不成等差
C．既成等差，又成等比D．既不成等差，又不成等比
7．某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．是平面的一个法向量D．
10．记数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．D．
11．已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点．记圆心的轨迹为曲线，若曲线与轴的交点为，曲线上任意一点（与不重合）关于轴的对称点为，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最小值为
C．
D．直线与直线斜率的乘积为
三、填空题
12．在公比不等于1的等比数列中，其前项和为，若，则公比_________.
13．设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______．
14．已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为________．
附：若，则，，．
四、解答题
15．已知焦距为10的椭圆C：过点.
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程.
16．在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和公式.
17．已知双曲线C：的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的左顶点到渐近线的距离．
18．如图，在直三棱柱中，，是棱上一点（不包含端点），是的中点．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19．为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表：
通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表：
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况．
(1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率；
(2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高；
(3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望．
单个家庭生育婴儿数
1
2
3
补贴方案
每月补助300元，共补贴3年
每月补助1100元，共补贴3年
每月补助2600元，共补贴3年
补贴方案
每月补助1000元，共补贴3年
单个家庭生育婴儿数
0
1
2
3
概率
参考答案
1．B
【详解】由，解得，
即两条直线的交点坐标为，
所以两条直线的交点所在的象限是第二象限，
故选：B
2．A
【详解】，
，得，
故选：A
3．A
【详解】
.
故选：A
4．D
【详解】设数列的前项和为，
则，
因为当时，，当时，，
所以.
故选：D.
5．D
【详解】设公比为，
若，则由，可得，解得，不符合题意，所以；
由，则，显然，
所以，即，
即，解得（负值已舍去）.
故选：D
6．A
【详解】由题可得，，因此，可知m，n，p成等差；
由，但，可知m，n，p不成等比．
故选：A．
7．A
【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件，
被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件，
所以所求概率为.
故选：A
8．C
【详解】对于A中，由，分别表示甲箱中取出的是白球和黄球，
因为每次只取1个球，所以，是互斥的事件，所以A正确；
对于B中，由题意，可得，，，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C错误；
对于D中，由，所以D正确.
故选：C.
9．BCD
【详解】对于A，因为，所以，选项A错误；
对于B，因为，所以，
则，选项B正确；
对于D，因为，所以，选项D正确．
对于C，因为，，，且平面，
所以是平面的一个法向量，选项C正确.
故选：BCD.
10．ABD
【详解】对于A，在中，取时，，故A正确；
对于B，当时，由①，得②，
则①②得，即，所以．
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确；
对于C，由B项，可得，故C错误；
对于D，因，
故，故D正确．
故选：ABD.
11．BD
【详解】由题知，，，圆半径为，圆半径为，
设，圆半径为，则，，
所以，
所以点轨迹即曲线为以为焦点的椭圆，
且点不能在该椭圆的左顶点处，
其中，，
所以曲线的方程为，A错误；
又即为的补角，
所以最小时，最大，
而最大时，点在曲线的上顶点处，
所以，
所以，B正确；
由上述可得，即，C错误；
由题知，，设，则，
所以，
又，即，
所以，D正确.
故选：BD
12．
【详解】因为等比数列的公比，由可得，
即，
化简可得，即，且，解得.
故答案为：
13．/0.1
【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1，
即，
则，
则，
∴，
故答案为：.
14．0.8186
【详解】因为服从正态分布，且，，
所以，
即顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为0.8186．
故答案为：0.8186.
15．(1)椭圆的标准方程：，离心率为.
(2)
【详解】（1）由题意：.
所以椭圆的标准方程为，其离心率为.
（2）如图：

因为点在椭圆上，所以，又，
所以，，又，
因为，所以为直角三角形.
所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆，
其方程为.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1），又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，.
（3）由（2）得：.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为，且经过点，
所以，解得：，
所以双曲线C的方程为．
（2）双曲线C：的左顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线C的左顶点到渐近线的距离为．
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，则．
又在直三棱柱中，，所以．
因为为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）由题知两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
．
设平面的一个法向量为，则
取，则，所以．
设，直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），所以，
即直线与平面所成角的正弦值为时，的长为．
19．(1)
(2)方案B的补助额更高
(3)的分布列为
的期望为.
【详解】（1）记事件“补贴方案中，一家庭的补助不低于1100元/月”，事件“一家庭共生育2个婴儿”，
则，
所以选取的该家庭的补助不低于1100元/月条件下该家庭共生育2个婴儿的概率为；
（2）设采用补贴方案每月获得的补助额为，则，
故由题可得，
采用补贴方案每月获得的补助额为，则，
因为，所以方案B的补助额更高；
（3）由题可得，
且，，
，，
，
所以的分布列为
X
0
300
1000
1100
2600
P
X
0
300
1000
1100
2600
P