内蒙古巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高二下学期6月第四次诊断测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高二下学期6月第四次诊断测试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，共40分，答案请写到答题卡）
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 30B. 40C. 60D. 120
【答案】C
【详解】因为为等差数列，故，
故选：C.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
详解】由，，
可得.
故选：D
3. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】根据题意，，其定义域为，排除A．当时，，B错误．当时，，若，则，C错误．只有选项D满足题意．
4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. 9C. D. 13
【答案】C
【详解】由，则，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：C.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，
的展开式通项为，
所以的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的系数为.
故选：D.
6. 在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ）
A. 150种B. 360种C. 450种D. 540种
【答案】C
【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种；
第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种，
所以不同的分工方案共有种．
故选：C.
7. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为函数为奇函数，即，
所以，可得①，
因为函数是偶函数，即，
所以，可得②，
联立①②可得，因此.
故选：C.
8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. （0，1）D.
【答案】B
【详解】当时，的值域为，
所以要使的值域为，当时，
的值域需取到的所有值.
若，则的值域为，
所以只须，解得，
所以当时，的值域为；
若，则的值域为，
此时的值域不可能取到的所有值，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．答案请写到答题卡）
9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有6项
B. 展开式的所有二项式系数之和为64
C. 展开式中不含项
D. 展开式的第5项系数最大
【答案】BCD
【详解】对于A，展开式共有7项，A错误；
对于B，展开式的所有二项式系数之和为，B正确；
对于C，展开式的通项，
而无解，因此展开式中不含项，C正确；
对于D，由选项C知，展开式奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，第1，3，5项的系数
分别为，因此展开式的第5项系数最大，D正确.
故选：BCD
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 设和互为对立事件，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若，则
D. 若随机变量X的分布列为，则
【答案】ABC
【详解】对于A，由条件概率公式可知，故A正确
对于B，因为，所以，
则，所以，
所以，故B正确
对于C，根据全概率公式，，
故，故C正确
对于D，由题意知，服从，，的超几何分布，所以，故D错误．
故选：ABC
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，函数有最小值为
B. 当时，函数是增函数
C. 当时，函数有最小值为
D. 存在正实数，使得函数在上单调递增
【答案】CD
【详解】函数的定义域是，
对于选项A，当时，在区间上函数和都单调递增，
故在区间上单调递增，
此时函数没有最小值，选项A错误；
对于选项B，定义域是，函数在处不连续，函数不是增函数，选项B错误；
对于选项C，，则（时等号成立），函数有最小值为，选项C成立；
对于选项D，当时，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；
当时，设，
，
由得：，，，
所以，成立，
在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；选项D正确；
故选：CD.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共15分，答案请写到答题卡）
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________．
【答案】
【详解】由函数的定义域为得，解得．
13. 二项式的展开式的常数项是___________.
【答案】##
【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为：
，进一步化简得
.
令，即.
将代入通项公式得.
故答案为：.
14. 已知数列的前项和为，，则______.
【答案】
【详解】与之间的关系
对于，当时，，得，
当时，，所以，
所以，
即，
所以当且是奇数时，，所以.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，答案请写到答题卡）
15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【小问1详解】
由题知，，解得
【小问2详解】
设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
【小问3详解】
设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
随机变量X的数学期望.
16. 某科技公司为调研正在研发的新产品在18～22岁和23～27岁青年群体中的受众面，通过发布问卷的方式展开调查，回收了400份问卷并整理数据，得到如下列联表.
（1）求，；
（2）分别计算18～22岁和23～27岁青年群体对新产品感兴趣的频率；
（3）判断是否有99.9%的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关.
附，.
【答案】（1），.
（2）0.8，
（3）有99.9%的把握
【小问1详解】
由二阶列联表可得：，；
【小问2详解】
根据表格中数据可得18～22岁青年群体对新产品感兴趣的频率为，
根据表格中数据可得23～27岁青年群体对新产品感兴趣的频率为；
【小问3详解】
零假设：对新产品感兴趣与青年的年龄段无关.
由，
根据独立性检验原理，可知零假设不成立，可推断对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，该推断犯错误的概率不超过0.1%，
即有99.9%的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关.
17. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【小问1详解】
由题意知，，即切点为，
由已知，则，
曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
，得或.
当时，，所以函数在区间上单调递增，
当时，，所以函数在区间上单调递减.
所以函数的极小值点为，极小值为，
因为，，故在区间上的最大值为，最小值为.
18. 已知是定义在R上的偶函数，当时，.
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意知是定义在R上的偶函数，当时，.
故当时，，
故函数在R上的解析式为；
【小问2详解】
作出函数的图象如图：
结合图象可得，若函数在区间上单调递增，
需满足，即.
19. 在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
设数列的首项为，公差为，
所以
解得，，
故的通项公式为．
【小问2详解】
因为，
所以，①
，②
①-②得
，
故．
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064
感兴趣
不感兴趣
合计
18～22岁
160
40
200
23～27岁
70
合计
290
110
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828