内蒙古巴彦淖尔市第一中学2026届高三下学期4月诊断考试数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2026届高三下学期4月诊断考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，，，则集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．双曲线经过点，则C的离心率e等于（ ）．
A．B．C．D．
6．在直三棱柱中，.、分别是、的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（ ）
A．16B．8C．D．
8．现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ）
A．32B．48C．54D．72
二、多选题
9．已知向量，则下列向量与平行的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ）
A．直线与圆C相离B． 的面积为12
C．当最小时，D．点P到直线距离的最大值为
11．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
三、填空题
12．已知，则的值为____________．
13．若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________．
14．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为________．
四、解答题
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
已知甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.
(1)求这20次投篮次数的中位数，估计甲每次训练投篮次数超过的概率；
(2)求这20次投篮次数的平均数与方差.
17．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
18．已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
19．体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占.
(1)根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？
(2)现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.
附：，.
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
乙
71
81
73
73
71
73
85
73
女生
男生
合计
运动达人
非运动达人
合计
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案
1．C
【详解】因为全集，
由知，，；
由知，，，
则集合，
故选：C.
2．B
【详解】由，可得，
即，即得，
.
故选：B.
3．B
【详解】.
故选：B
4．C
【详解】已知，则.
故选：C.
5．D
【详解】将代入中得，因为，
所以.
故选：D
6．D
【详解】以C为坐标原点，以CB、CA、方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，
如图，设，
则，
所以，
故选：D

7．D
【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为，
若，则，所以，又，故不符合题意，
若，则根据题意可知，且，
解得，，故.
故选：D.
8．C
【详解】最大数与最小数的组合有，
以最大数为4，最小数为1为例，抽出的3个数字的组合可能为，
对应的排列数分别为种，种，种，种，
故此种情况共有种，总方法数为种.
9．AD
【详解】因为，所以.
若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意.
故选：AD.
10．AC
【详解】由圆，可得圆心为，半径为，
对于A中，圆心坐标到直线的距离为，
所以直线与圆相离，所以A正确；
对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误；
对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确；
对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误．
故选：AC.
11．BCD
【详解】由题意可设公差为，则有
由有：，故A错误；
故B正确；
，由二次函数的性质可知：
当时，取得最小值，故C正确；
因为，
所以
所以为等差数列，公差为4，首项为，
所以的前项和为：故D正确.
故选：BCD.
12．/0.5
【详解】因为，
所以，可得 ，
即，
所以，即，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】
设正方体的边长为，由球与正方体的六个面均相切，可知球的半径为1，
由球与正方体的三个面相切且与球也相切，设球的半径为，
如图可知，，，所以，
根据，则有，解得：，
所以，
故答案为：.
14．60
【详解】由题可得，解得，
所以展开式的通项为，
令，解得，
所以常数项为.
故答案为：60.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，则，
．
（2）由及（1），得，
因此，，
所以.
16．(1)
(2)平均数为78，方差为33
【详解】（1）将这20个数据从小到大排列，第10个数和第11个数都是77，所以，
因为甲的12次投篮训练中，投篮次数超过77次的有6次，
估计甲每次训练投篮次数超过的概率为.
（2）这20次投篮次数的平均数，
方差
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：连接，，连接，
在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面．
平面．
（2）解：，，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）解：设到平面的距离为，则；
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意，数列满足，即，
由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列，
因为，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1），可得，
所以数列的前项和为：.
19．(1)列联表见解析，有90％的把握认为“运动达人”和性别有关；
(2).
【详解】（1）抽取的80人中，女生与男生的人数比为，则女生有20人，男生有60人，
男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，则得如下列联表：
显然，
所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关.
（2）由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1，
记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B，
则，，
于是，
所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为.女生
男生
合计
运动达人
15
30
45
非运动达人
5
30
35
合计
20
60
80