山东省济宁市2026届高三5月考前模拟考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ）
A．1B．C．3D．4
二、多选题
9．已知，，为实数，则（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，，，则
10．已知抛物线的焦点为，圆，直线与圆相切于点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（ ）
A．B．的最小值为
C．存在直线使得圆内切于D．存在直线使得
11．若数列各项均为正数，且，则（ ）
A．存在，使得B．可以是常数列
C．当时，D．当时，
三、填空题
12．已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______．
13．已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______．
14．已知实数，满足，则的取值范围是______．
四、解答题
15．某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下：
(1)若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标；
(2)依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：①参考数据：，；
②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．
16．如图，内角，，的对边分别为，，，已知．

(1)求；
(2)若是外的一点且、在直线异侧，，，，求平面四边形面积的最大值．
17．如图，在多面体中，和都垂直于平面，且，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求多面体的体积．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方．
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值．
19．设函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若函数存在零点，且．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）设为的极值点，证明：．
参考答案
1．A
【详解】由，
的共轭复数是.
故选：A.
2．B
【详解】由题设，
或，
所以.
3．D
【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示：
则，
所以圆台的侧面积为.
4．C
【详解】由，
所以，则，
所以，，则，
所以，
所以.
5．B
【详解】因为函数和均是增函数，
所以是上的增函数，只需要满足，
即，解得.
由得 ，即 恒成立.
因为，即.
所以实数的取值范围是.
6．D
【详解】由题意可得，，得，所以 ，
又因为，所以当时，，函数；
由，得，所以，，
即，又，所以，
当时，，所以函数；
将的图象向右平行移动个单位长度，得函数，
所以，.
7．C
【详解】设事件B为“甲获胜”，事件A为“比赛进行了3局”，则所求为条件概率.
甲获胜分为三类情况：
3局全胜：;
4局获胜：前3局甲胜2局，第4局甲胜，;
5局获胜：前4局甲胜2局，第5局甲胜，;
因此.
.
8．B
【详解】如图所示，延长交于点，
由题意知向量的夹角为，
因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，
所以
，
又，
所以，即.
9．ACD
【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确；
选项B： 当 时，满足 ， ，
此时 ，显然 ，所以选项B错误；
选项C：，
因为 ，所以，
所以，即，，选项C正确;
选项D: 已知 ， ，将 变形为：,
根据基本不等式，因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）；
所以 ，即 ，所以选项D正确.
10．ABD
【详解】A选项，由题意得，故，解得，A正确；
B选项，过点作⊥准线于点，则，
连接，则⊥，，
故，其中，
故，显然当最小时，取得最小值，
当重合时，取得最小值，最小值为2，此时设直线的方程为，
故到的距离为1，即，解得，
故直线的方程为，与联立得，
显然有两个根，满足要求，
此时最小值为，B正确；
C选项，假设存在直线使得圆内切于，
由对称性可知，与圆的切点和与圆的切点关于轴对称，
故分别位于轴的两侧，且关于轴对称，
设，则，不妨设，，
直线为，即，到的距离为1，
故，故，，所以，解得，
则，直线方程为，
此时到直线的距离为22，不等于1，故不存在直线使得圆内切于，C错误；
D选项，显然直线斜率为0时，不满足要求，设直线的方程为，
到直线的距离为1，故，，
与联立得，，
则，，，
故，
假设存在直线，使得，则，
即，解得或0，
当时，，故，此时直线过原点，
或重合，不合要求，舍去；
当时，，故，直线的方程为，
满足要求，综上，存在直线使得，D正确.
11．BCD
【详解】由题意知：，
对于A：若，且数列各项均为正数，则，
所以与题意矛盾，故A错误；
对于B：若是常数列，假设（为常数），
则可转化为，解得或（舍去）
所以当时，符合题意,即可以是常数列.故B正确；
对于C：当时，，成立；
设时，，则，
即：，化简可得：
，，则，即.
由数学归纳法，对所有，.故C正确；
对于D：当时，，即，得，
又，
同理可推：.故D正确.
12．
【详解】双曲线为焦点在轴上的双曲线，其渐近线的标准形式为.
将题干给出的渐近线方程整理变形，可得，因此可得.
根据双曲线参数关系（为半焦距），离心率定义为，
代入参数关系得： ，将代入上式计算： .
13．
【详解】因为，，成等差数列，所以，
当时，可得，解得，
当时，可得，
则，
得到，化简得，
设，则，得到，
则，即数列是公比为2的等比数列，
得到，故.
14．
【详解】由对数定义域得，设，
原等式改写为： ，
整理得：，
设 ，其导数 ，故是R上的单调递增函数，
由 ，得，即 ，
设，求导得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的最大值为​，
且当时，，当时，，
即，
又，结合指数函数单调性，
可得的取值范围是.
15．(1)经验回归方程，预测身体素质指标为
(2)的分布列为：
数学期望为
【详解】（1），.
，
，
因此经验回归方程为.
将代入方程，得，
即每周锻炼频次为9次的同学身体素质指标预测值为.
（2）身体素质指标大于等于50的同学有3人，小于50的同学有2人.
随机变量表示抽取3人中身体素质指标大于等于50的人数，则的可能取值为.
，
的分布列为：
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）在中，由题意得，
由射影定理得，而，故，
即，而，故.
（2）因为，，所以是等边三角形，
设，则，
设，，由余弦定理得，
化简得，由三角形面积公式得，
而，则，
设平面四边形面积为，
因为，所以，得到，
可得，故平面四边形面积的最大值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点的中点，连接，
则，
因为都垂直于平面，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，
因为，所以，得，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，解得，
因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，
由，
所以，
所以四边形的面积为，
所以多面体的体积.
18．(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由题意可得，该椭圆的离心率为，可得，
所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意；
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以
，解得，
故直线的方程为或，
65即或.
（3）由题意可知，设点，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，即，
解得，
由（2）可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，即，
故的面积为，
即面积的最大值为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
故所求切线的方程为，即.
（2）（i）因为，该函数的定义域为，且，
，
当时，则对任意的，，，则，
此时函数在上单调递增，则函数在上有且只有一个零点，不符合题意；
当时，令，则，
所以函数在上单调递增，
当时，；当时，.
所以存在唯一的，使得，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由题意可知，函数在上单调递增，
故当时，，此时函数不存在正零点；
当时，由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增，
则，当时，.
故存在，使得，符合题意，
此时函数在上单调递减，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）由（i）可知，且函数在上为增函数，
要证，只需证，即证，
又因为，则，
即证，即证，
构造函数，其中，
则
，
令，其中，
则，
因为，则，，
所以，故函数在上为增函数，
当时，，所以，故函数在上为增函数，
因为，则，故.锻炼频次（）
2
4
5
6
8
身体素质指标（）
30
40
50
60
70