2026年山东省济宁市高考考前提分数学仿真卷（含答案解析）

这是一份2026年山东省济宁市高考考前提分数学仿真卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知复数z，则复数z的虚部为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知实数，满足，则的最大值等于( )
A．2B．C．4D．8
4．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）

A．2014年我国入境游客万人次最少
B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势
C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次
D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差
5．已知复数z，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．iD．i
6．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）
A．正方体B．球体
C．圆锥D．长宽高互不相等的长方体
7．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
8．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
9．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是
A．10B．9C．8D．7
10．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是________.
14．棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为______.
15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
16．在中，，点是边的中点，则__________，________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，等差数列满足，
（1）分别求出，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．
18．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.
（1）求证：平面.
（2）判断与平面的位置关系，并证明.
19．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
20．（12分）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；
（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：
.
21．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；
（2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
附：，其中.
22．（10分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．
（1）证明：点始终在直线上且；
（2）求四边形的面积的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.
【详解】
由，
则展开式中的系数为，展开式中的系数为，
二者的系数之和为，得.
故选：B.
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2．D
【解析】
设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论.
【详解】
由题意，设，则，即小正六边形的边长为，
所以，，，在中，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，大正六边形的边长为，
所以，小正六边形的面积为，
大正六边形的面积为，
所以，此点取自小正六边形的概率.
故选：D.
本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
3．D
【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，
所以原点到可行域上的点的最大距离为.
所以的最大值为.
故选：D
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
4．D
【解析】
ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.
【详解】
A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；
B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；
C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；
D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.
故选：D.
本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.
5．B
【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出
【详解】
，
则复数z的虚部为.
故选：B.
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
根据基本几何体的三视图确定．
【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．
故选：C．
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
7．C
【解析】
画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.
【详解】
作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.
故选：
解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.
8．C
【解析】
先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列，所以，故即，
由可得或，因为为递增数列，故符合.
此时，所以或（舍，因为为递增数列）.
故，.
故选C.
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
9．B
【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

所以

因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
，此时
所以选B
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
10．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
11．D
【解析】
根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.
【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设，
所以，
解得，
所以 .
故选：D
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.
12．D
【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.
故选:D.
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设，，设，函数为奇函数，，函数单调递增，，画出简图，如图所示，根据，解得答案.
【详解】
，设，，则.
原函数等价于函数，即有两个解.
设，则，函数为奇函数.
，函数单调递增，，，.
当时，易知不成立；
当时，根据对称性，考虑时的情况，，
画出简图，如图所示，根据图像知：故，即，
根据对称性知：.
故答案为：.
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.
14．
【解析】
由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径．
【详解】
由题意可知：
多面体的外接球即正四面体的外接球
作面交于，连接，如图
则，且为外接球的直径，可得
，
设三角形 的外接圆的半径为，则，解得，
设外接球的半径为，则可得，
即，解得，
设正三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
而，
所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，
所以，
设内切球的半径为，，
即解得：．
故答案为：.
本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.
15．
【解析】
(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
可求出该四面体的高为，故四面体体积为，
因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，
所以， 所以球的体积.
故答案为：；.
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.
16． 2
【解析】
根据正弦定理直接求出，利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.
【详解】
中，，
，
可得
因为点是边的中点，
所以
故答案为：；.
本题主要考查了三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) （2）证明见解析
【解析】
（1）因为，所以，
所以，即，又因为，
所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，
则，即.
设的公差为，则，
所以（），则（），
所以，因此，
综上，．
（2）设数列的前n项和为，则
两式相减得
，所以，
设则，
所以.
18．（1）见解析（2）平面.见解析
【解析】
（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
，为边的中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
在内，，为所在边的中点，
，
又，，
平面.
（2）判断可知，平面，
证明如下：
连接交于点，连接.
、、分别为边、、的中点，
.
又是的重心，
，
，
平面，平面，
平面.
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
19．（1）；（2）见解析.
【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】
事件表示男学员在第次考科目二通过，
事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
，
，
，
.
则的分布列为：
故 (元).
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
20．（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；
（Ⅲ）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，，，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可．
【详解】
解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，
当时，f′（x）＜2，当时，f′（x）＞2，
所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）设，
则，
因为x≥2，故，
（ⅰ）当a≥1时，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）单调递减，
而g（2）＝2，所以对所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；
（ⅱ）当1＜a＜1时，2＜1﹣a＜1，若，则g′（x）＞2，g（x）单调递增，
而g（2）＝2，所以当时，g（x）＞2，即f（x）＞ax；
（ⅲ）当a≤1时，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）单调递增，
而g（2）＝2，所以对所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；
综上，a的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an•an+1，由a1＝1得，an≠2，
所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，，，
⇔，
由（Ⅱ）知a＝1时，，x＞2，
即，x＞2．
法一：令，得，
即
因为，
所以，
故．
法二：⇔
下面用数学归纳法证明．
（1）当n＝1时，令x＝1代入，即得，不等式成立
（1）假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，
即，
则n＝k+1时，，
令代入，
得
，
即：，
由（1）（1）可知不等式对任何n∈N*都成立．
故．
考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明．
21．（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”
【解析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出观测值，查表判断.
【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小
属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为；
（2）列联表如下：
计算得：；
因为，，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.
22．（1）见解析（2）最小值为1．
【解析】
（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.
（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．
【详解】
(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，
设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，
由①②可得：，
直线方程为：，联立可得：，
，∴点始终在直线上且；
（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，
，
∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为1.
本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
爱情婚姻
咏史怀古
边塞战争
山水田园
交游送别
羁旅思乡
其他
总计
篇数
100
64
55
99
91
73
18
500
含“山”字的篇数
51
48
21
69
48
30
4
271
含“帘”字的篇数
21
2
0
0
7
3
5
38
含“花”字的篇数
60
6
14
17
32
28
3
160
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
总计
含“花”字的篇数
不含“花”的篇数
总计
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635

400
600
800
1000
1200






属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
共计
含“花”的篇数
60
100
160
不含“花”的篇数
40
300
340
共计
100
400
500