山东省济宁市2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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这是一份山东省济宁市2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知单位向量，的夹角为，则的值为（）
A．B．C．D．
3．设全集且，集合，则真子集的个数为（）
A．3B．4C．15D．16
4．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．已知且，则的值为（）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，，，，则的值为（）
A．B．C．D．
7．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（）
A．甲比较经济B．甲和乙一样经济C．乙比较经济
D．不能确定
8．已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则下列说法正确的是（）
A．为奇函数B．为偶函数
C．的最小正周期为D．的最小正周期为
10．若关于的不等式的解集为，不等式的解集为.若是的必要不充分条件，则的值可以是（）
A．B．C．0D．1
11．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．的图象关于中心对称
B．若函数有4个零点，则
C．函数是偶函数
D．设函数有两个零点，则
三、填空题
12．记实数等比数列的前 n项和为若，，则= .
13．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 .
14．设，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知向量是单位向量，，与同向.
(1)求向量；
(2)若向量，，求在上的投影向量.
16．已知数列的前项和为.成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式，数列的前项和为，证明.
17．已知函数.
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
18．已知的三个内角，，对应的边为，，，，.
(1)求；
(2)求的取值范围；
(3)求的最大值.
19．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，，证明：
参考答案
1．C
【详解】，，
在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2．A
【详解】由题意.
故选：A
3．C
【详解】全集且，
则，共4个元素，
所以真子集的个数为.
故选：C
4．D
【详解】，，使得，；
（当且仅当时取等号），，
，解得：，实数的取值范围为.
故选：D.
5．B
【详解】因为，所以，
又，
所以.
故选：B
6．B
【详解】因为，，，即，
可得，，，
，，，
可知数列是以6为周期的周期数列，且，
所以该数列一个周期的和为0.
因为，
所以.
故选：B.
7．C
【详解】设两次加油的油价分别为，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 .
设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为
因为，所以，所以乙比较经济，
故选：C
8．B
【详解】设曲线在点处的切线过点，
由，得，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
因为从点可向曲线引三条不同切线，
所以有三个不同的解，即有三个不同的解，
设，则该函数有三个不同零点，求导得，
令，则或，
当和时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增，
所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则，即，解得，即的取值范围是.
故选：B.
9．BC
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，
因为，可得函数为偶函数，所以A错误，B正确；
又由函数的最小正周期为，所以C正确，D不正确.
故选：BC.
10．ACD
【详解】由或，
即；
由，即.
因为是的必要不充分条件，所以⫋，
所以或，
所以或.
故选：ACD
11．CD
【详解】函数，当时，，则，
因此函数，
对于A，，即点在函数的图象上，而点关于对称点不在的图象上，因此函数的图象关于不成中心对称，A错误；
对于B，当时，由，解得或；
当时，由，解得或，
因此当时，函数有4个零点，B错误；
对于C，令函数，
当时，，；
当时，，，
即，都有，因此函数是偶函数，C正确；
对于D，，函数在R上都是增函数，
因此函数在都单调递增，显然0不是此函数的零点，
令函数，
当时，，；
当时，，，
即，都有，
即函数是奇函数，而，即在上有唯一零点，
在上有唯一零点，又函数与函数有相同零点，
即是函数的两个零点，由奇函数性质得，且，
因此，，D正确.
故选：CD
12．150
【详解】记，，，
设 q为的公比，则 b1、b2、b3、b4构成以为公比的等比数列．
于是，
从而，.
解得或（舍去）.故
13．
【详解】，
令，
时，时，
所以在单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上单调，
所以或，解得或.
故答案为：.
14．
【详解】对展开化简得：，
令，，使用辅助角公式得：，
其中，，
故，
，当时取得最大值，
故.
当且仅当且时取到等号，
，存在，使得，
故最大值为，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）设向量，.
是单位向量，解得，
.
（2），，解得，
.
，
，.
在上的投影向量为.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
当时，，
，，
，，成等比数列，，，解得，
，即符合的情况，
.
（2），①，
则②，
①②得：，
.
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
令，得或
当，即时，在上小于0，在和上大于0；
当，即时，恒成立；
当，即时，在上小于0，在和上大于0，
综上所述：
当时，的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为和，递减区间为.
（2）注意到，.
由（1）得当时，只有一个零点；当时只有一个零点
当时，若，则，
，只有一个零点，
当时，，，，
所以在上无零点，在只有一个零点，
当时，令，得.
单调递增区间为，递减区间为，有两个零点，且，
综上所述，有两个零点时，的取值范围是
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），，
由正弦定理得：
，
为三角形内角，，，
，
（2），，
，
，，
（3），
下面求的最大值：
由正弦定理：，，
，
，，
最大值为，最大值为.
19．(1)0
(2)证明见解析
【详解】（1）因为定义域为，
又，令，
则恒成立，在上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取最小值；
（2）因为，所以，
注意到函数在时，①，
即，
我们将看作未知量，下面证明，
又，
所以在上单调递增，
，都有，①式成立.
因为，所以，
即单调递减，
，，，
又由（1）得，
所以，
所以
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
D
B
B
C
B
BC
ACD
题号
11

答案
CD