【数学】山东省济宁市2026届高三下学期高考模拟考试试题（学生版+解析版）

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1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，，
所以，所以．
2. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，
所以.
故选：B.
3. 已知，，则的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则，解得，
反之，若，则，则，
所以的充要条件是.
4. 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（ ）
A. 5，B. 5，
C. 10，D. 10，
【答案】B
【解析】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立的，
所以30次试验中成功次数服从二项分布,即．
故.
5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，
，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，
由正弦定理得，又因为，
所以得，
化简得，即得，
所以，且
则.
6. 用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（ ）（参考数据，）
A. 1.2B. 0.92C. 0.3D. 0.4
【答案】D
【解析】由，，
则，解得，因此，
由两边取对数，得，又，
所以，又因为，所以.
7. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，，
当时，，单调递增，
所以，即，
所以，即，
令，，
当时，，单调递减，
所以，即，即，
因为，所以，
所以，即，即，
综上．
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】由题意可知：，则，，
因为，，则为的角平分线，
则，可得，
设，，，则，，
因为，则，解得，即，
则，解得，即，
则，则，即，
所以椭圆C的离心率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ）
A. 展开式共项B. 展开式中常数项为
C. 展开式中所有项的二项式系数之和为D. 展开式中所有项的系数之和为
【答案】ACD
【解析】因为的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，
所以，即，得.
所以二项式展开式的项数为，故A正确；
对于B，由通项公式.
令，得，所以常数项为 ，故B错误.
所以二项式展开式中所有项的二项式系数之和为，故C正确；
令，则展开式中所有项的系数之和为 ，故D正确；
10. 已知函数的一条对称轴为直线，若在区间上单调，且，则（ ）
A. B. 在区间上单调递减
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】，其中，
因为一条对称轴为直线，
所以，解得，A错误；
则，所以可取，
此时，
由，得，
由于，所以在区间上单调递减，B正确；
因为在区间上单调，且，
所以的最大值为，C正确；
对称中心横坐标满足，得，
又，且在区间上单调，
所以与关于对称中心对称，所以，
所以当时，可得最小，D错误．
11. 如图1，与是两个等腰三角形，，
.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ）
A.
B. 四面体体积的最大值为1
C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为
D. 时，四面体外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，取中点，连接
由于与是两个等腰三角形，，
沿着翻折到，所以，,点为中点，
所以，
故平面, ,所以A选项正确；
对于B选项，作于点，作于点,连接,
那么由可知,那么为二面角的平面角,
面,
所以，面,，
，
所以，四面体体积的最大值为1，故B选项正确；
对于C选项，分别取 的中点 ，连接 ,
根据中位线的性质可知 ,且
所以， 且 ，四边形 为平行四边形，
所以，直线且与平行的平面截四面体的截面为.当时，由B选项可知为正三角形，,
,
由可得，,为矩形，
，故C选项错误；
对于选项D，当时，平面平面,由B选项可知平面,
取的外心，取的外心，外接圆半径,
分别作平面的垂线，平面的垂线
交于一点,即四面体外接球球心，作于点
，由于，所以为等腰直角三角形，
所以，,
所以，，，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点（0，1）处的切线方程为_________.
【答案】
【解析】，，切线斜率为，
切线方程为，即.
故答案为.
13. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________
【答案】8
【解析】由题意可知：，
设直线，，，
则，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
因为是，的等比中项，则，
可得，即，
所以.
14. 是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________.
【答案】
【解析】设，
由是的重心，得，
则，又点共线，因此，
即，
而，，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记为数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，求.
解：（1）因为中，且，
当时，所以，
所以，化简得，即得，
所以，
所以，当时，所以，
综上，；
（2）由（1）可得，
即得，
，
，
所以.
16. 随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战.某实验室为研究“量子算力等级”与“密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，即认为密码破译成功率是否与量子算力等级有关；
（2）该实验室使用两台不同算力的量子机（记高算力量子机为A机、低算力量子机为B机）对同一套传统密码进行破译测试，已知A机单次破译成功的概率为，失败的概率为；B机单次破译成功的概率为，失败的概率为；两台机器的破译过程相互独立.测试方案：先随机选择一台机器进行第一次破译，选中A机的概率为，选中B机的概率为；若第一次破译成功则停止测试；若第一次破译失败，则换用另一台机器进行第二次破译，无论第二次破译是否成功都停止测试，求破译成功的概率.
附：，
解：（1）零假设密码破译成功率与量子算力等级无关，
，
所以，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为分析密码破译成功率与量子算力等级有关；
（2）记“破译成功”为事件，A机单次破译成功为事件，A机单次未破译成功为事件，
B机单次破译成功为事件，B机单次未破译成功为事件，
选中A机为事件，选中B机为事件，
则
，
故破译成功的概率为．
17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且平面平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：由四棱锥的底面是矩形，底面，得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，
则，
，
设平面，平面的法向量分别为，
则，取，得；
，令，得，
由平面平面，得，因此，而，解得，
，，则，
所以.
（2）解：由（1）知平面的法向量，，
设平面的法向量，则，取，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知实数，设函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若，证明：函数有唯一极大值点，且；
（3）记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
（1）解：已知，定义域.
求导：，
因为 恒成立，符号由决定
所以，当,时，，单调递增；
当,时，，单调递减.
（2）证明：，
因为，恒成立，所以的符号完全由决定.
,
当时，，，所以，因此在上单调递减.
因为，
由零点存在定理：存在唯一，使，即，
当 时，，故，单调递增；
当 时，，故，单调递减
故为唯一极大值点.
由，可得：，利用三角恒等式：​
因此：
现在只需证明：，
对不等式两边取自然对数（两边均为正），即证：，
令，只需证对所有成立.
化简：，
​对求导：，
通分整理：，
可见，，且仅当时.
因此， 在上单调递减.
,
当时， ，故恒成立，
因此：恒成立，
即：.
综上，函数 在内有唯一极大值点​，且.
（3）解：，
，时，即，
方程在 (0,+∞) 内的所有解为：, .
按从小到大排列，第个极值点为：, .
，
设，则，由三角恒等式：，
因此：，
代入：，
，
,
故数列是等比数列，公比.
19. 已知双曲线过点，其渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为.
（i）求直线和直线的斜率之积；
（ii）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）因双曲线渐近线方程为，所以设双曲线方程为，
因为已知双曲线过点，代入方程得，得.
所以双曲线方程为，即.
（2）（i）因为圆与轴交于、两点，令，
得，设，由韦达定理得，且，
所以，，所以.
因此直线和直线的斜率之积为.
（ii）设直线斜率为，则由（i）得直线的斜率​，
将直线方程代入双曲线方程，
得，因为直线与双曲线一个交点为，
所以由韦达定理可得，，
再代入直线方程得，
所以.
同理得，又因为，所以.
所以
，
直线的方程为，
令得，，
所以直线PQ恒过定点.
设直线的斜率为，则，且过点，
所以直线的方程为，
又因为，所以的直线方程为，代入，
解得，，
又因为直线的方程为，令得，同理可得，
由圆的圆心，得，
所以，，，
所以
令，则，
令，，
令，得，解得或（舍去，因为）
所以当时，；当时，.
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以函数有极小值也是最小值.
因为若恒成立，所以，故的取值范围为.
量子算力等级
密码破译成功
密码破译失败
合计
高算力量子机
64
16
80
低算力量子机
36
24
60
合计
100
40
140
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828