2025-2026学年广东省珠海市第二中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省珠海市第二中学高二（下）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.求圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离（ ）
A. 2B. 2C. 3D.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=45，则a3+a7-a5（ ）
A. -2B. 5C. 1D. 9
3.已知n是由a,b,c组成的一个三位数，表示为，其中，a,b,c均表示从1到5中的任意数，若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n共有（ ）
A. 65个B. 55个C. 47个D. 35个
4.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 72B. 96C. 114D. 124
5.已知双曲线的两个焦点分别为（0，-2），（0，2），点（-3，2）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
6.为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢
C. 在接近t0时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D. 该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同
7.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则有（ ）
A. 事件A、B相互独立B.
C. D.
8.已知函数f（x）=（lnx）2+axlnx-x2有且仅有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等比数列{bn}的前n项和为{Sn}，且S3=7，S6=63，等差数列{an}满足b1=a1，b4=a5-1，下列选项正确的是（ ）
A. an=2nB.
C. ∀M＞0，∃k∈N+，使得bk-ak＞MD.
10.已知函数f（x）=x2-2lnx,则下列选项正确的是（ ）
A. 函数f（x）的极小值点为x=1
B.
C. 若函数g（x）=f（|x|）-t有4个零点，则t＞1
D. 若f（x1）=f（x2），（x1≠x2），则x1+x2＜2
11.现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为A队，丙、丁为B队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为n（n∈N+，且n≥2），则（ ）
A. 传球n次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等
B. 当n=3时，球在乙手中的概率为
C. 传球n次后，球在A队手中的概率恒为一个常数
D. 设传球n次后球在甲手中的概率为pn，则（n≥2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）
13.把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记X为总的配对个数，则E（X）= .
14.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（x）-f′（x）＞sinx-csx,且f（π）=2，则不等式的解集是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N+）.
（1）求证：数列{an}是等差数列.
（2）令bn=an-19，求数列{bn}的前n项的和最小值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2BC=2，E为PD中点.
（1）判断直线CE与平面PAB的位置关系，并说明理由.
（2）判断平面PAD与平面ABCD是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由.
（3）求直线CE与平面PAB的距离.
17.(本小题15分)
某个抽奖箱设置n（n∈N*）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为.
（1）求n的值；
（2）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元：
①假设只抽一次，设取出红球的个数为X，求X的分布列；
②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？
18.(本小题17分)
如图，顶点在原点的抛物线C的焦点坐标为（1，0），点P（4，t），t＞0在C上.
（1）求抛物线方程和t的值；
（2）A，B为C上两点，△PAB的重心在直线上.
①证明：直线AB的斜率为定值；
②设直线AB与x轴交于点Q，线段AB的中点为T，线段PQ的中点为R，过点P向直线TR作垂线，垂足为H.证明：点H在定圆上运动.
19.(本小题17分)
函数
（1）求曲线C：y=f（x）在x=0处的切线方程.
（2）设g（x）=ax-f（x）
（ⅰ）当x∈（0，π）时，g（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围.
（ⅱ）当时，g（x）在（0，+∞）上的所有零点从小到大依次为x1，x2，…，xk，…求证：.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】ABC
11.【答案】BC
12.【答案】135
13.【答案】1．
14.【答案】．
15.【答案】证明：由题意得，，①
当n=1，得，解得：a1=1，
当n≥2，得，②
①-②得，，
化简得，，进而得到，
（an-an-1-2）（an+an-1）=0，又由{an}为正项数列得，an+an-1＞0，
故有，an-an-1-2=0，所以，an-an-1=2，
故数列{an}是等差数列，又a1=1，所以an=2n-1 -90
16.【答案】平行，理由：取PA的中点M，连接EM，BM，因为E为PD中点，
所以EM∥AD且，
因为BC∥AD，AD=2BC，所以EM∥BC，EM=BC，
所以四边形BCEM为平行四边形，
所以CE∥BM，
又CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，
所以CE∥平面PAB 不垂直，理由：取AD中点N，连接BN，PN，
因为BC∥AD，AD=2BC=2DN，
所以四边形BCDN为平行四边形，
又CD⊥AD，所以四边形BCDN为矩形，BN=CD=1，
因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
所以，
又BN⊥AD，BN∩PN=N，BN，PN⊂平面PBN，所以AD⊥平面PBN，
因为BC∥AD，所以BC⊥平面PBN，所以BC⊥PB，
所以PB2=PC2-BC2=3，又PN2+BN2=2≠PB2，所以PN，BN不垂直，
又PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
假设平面PAD与平面ABCD垂直，则PN⊥平面ABCD，PN⊥BN，
与推出的PN，BN不垂直相矛盾，
所以平面PAD与平面ABCD不垂直
17.【答案】7 ①X的分布列如下：
②消费900元时，选择抽奖优惠的平均返现金额更大，消费1000元时，选择八五折优惠的平均返现金额更大
18.【答案】y2=4x，t=4 证明：①A，B为C上两点，△PAB的重心在直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），
则△PAB的重心为，

由题意知，，则y1+y2=-8．
∴直线AB的斜率，为定值．
②∵直线AB的斜率不为零，
∴设直线AB的方程为x=-2y+n．设，．
联立，整理得y2+8y-4n=0．
∴．
设T（x3，y3）为AB的中点，则：
，，
即T（n+8，-4）．
直线AB与x轴交点Q（n，0），P（4，4），则PQ中点．
由于Δ=64+16n＞0，∴n＞-4．
∴n+12≠0．
直线TR的斜率：，
直线TR的方程：，整理得12x+（n+12）y-8n-48=0．
令x=-4，代入方程，解得y=8，
因此，直线TR经过定点N（-4，8）．
∵P（4，4），PH⊥TR于H，
∴H在以PN为直径的定圆上
19.【答案】 （ⅰ）；（ⅱ）证明：，，
令，则，
又x＞0，则t＞0，
当时，，
所以h（t）在上单调递减，则h（t）＜h（0）=0，
即h（t）在上无零点，又由y=tant的最小正周期为π，
则y=t与y=tant的函数图像如下：

易知h（t）在上分别有零点t1，t2，…，ti，
即，又x=2t，
则x1＜3π，x2＜5π，…，xi＜（2i+1）π，
令u（x）=x-ln（x+1），x＞0，，
则u（x）在（0，+∞）上单调递增，u（x）＞u（0）=0，
故x＞0时，x＞ln（x+1），又，
所以，
则
= X
0
1
2
3
P