广东省珠海市第二中学2024-2025学年高三下学期考前冲刺数学试题

这是一份广东省珠海市第二中学2024-2025学年高三下学期考前冲刺数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．5
3．已知是等差数列，是数列的前项积，若，则（ ）
A．15B．21C．108D．243
4．设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ）
A．0B．C．D．
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．已知，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某公司2019年研发成功一款新产品投放市场，为了做好后期的市场开拓工作，该公司收集了2019年至2023年共5年的销售量数据如下表：
根据上表，利用最小二乘法可得关于的回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．五年销售量的极差是140B．五年销售量的第八十百分位数是93
C．D．根据回归方程估计2024年销售量为760万个
10．对于以下结论正确的选项是（ ）
A．已知，则
B．的最小值是
C．有两个零点，则实数的最小值为
D．若不等式恒成立，则正实数的最小值为
11．已知正方体的棱长为4，点是空间中的一动点，则（ ）
A．若点为底面的中心，则四棱锥外接球体积为
B．若点在棱上运动，则点到面的最大值为
C．若点在正方体的表面运动，且四面体的体积为，则点的轨迹的周长为
D．若点在过且垂直于面的平面上，且与中点的连线与所成角的正切值为，则点所在椭圆的离心率为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，满足，则与夹角的大小为________．
13．已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________．
14．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且，若三角形的外接圆与曲线交于点（异于，，）则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）如图，为半圆（为直径）上一动点，，，记．
（1）当时，求的长；
（2）当面积最大时，求．
16．（本小题15分）已知正三棱柱中，底面边长为8，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形．
（1）求四面体的体积；
（2）若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与面所成角的正弦值．
17．（本小题15分）在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩模球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束．
（1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率；
（2）求第次甲抽球的概率；
（3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求．
18．（本小题17分）已知函数．
（1）当时，讨论的零点个数；
（2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
19．（本小题17分）已知点，以线段为直径的圆内切于圆．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）当过点的动直线与轨迹相交于两点、（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度．
珠海市第二中学2025届高三年级考前冲刺卷（数学学科）
参考答案及评分标准
1．B【解答】解：集合，，则．
故选：B．
2．C
【解答】，则，故．故选：C．
3．D
【解析】是等差数列，是等比数列，
．故选D．
4．D
【解答】因为，
所以，
所以，
因为，，所以，
又因为，所以或，
即或（舍），故．故选：D．
5．D
【分析】判断与图象的对称性，从而求得．
【详解】对于，，，
所以的图象关于点对称．因为
所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，
所以，的图象的交点关于对称，
所以．故选：D
6．A【解析】令，则
，．
，．故选A．
7．A
【详解】由双曲线的方程可得，焦点，
可得，
所以，
当，，三点共线时，最小，
因为直线和的相互垂直，
且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，
所以，
当过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小．
所以的最小值为6，故选：A
8．A【详解】解：可转化为，故可设（为参数），解得所以，
因为，所以，，故选A．
9．AC【解析】五年销售量的极差是，A选项正确．
，所以2，17，36，93，142的第八十百分位数为，B选项错误．
，，所以，，C选项正确．
由上述分析可知，估计2024年销售量为万册，D选项错误．
故选：AC
10．AD
A．因为，构造函数，，当时，，是单调递增函数，又因为，则，故A正确；
B．，当且仅当，即时取等，故B不正确；
C．由有两个根可知，有两个根（单调递增），令，则在单调递减，在单调递增，，所以，故C不正确；
D．由恒成立得，，令，易知在单调递增，所以，所以，所以恒成立，所以，即的最小值为，故D正确．
11．ABD
【解析】A选项，若点为底面的中心，
则四棱锥为正四棱锥．
取底面的中心为，则球心在上，
令球的半径为，则在直角三角形中，
，即，
则，．故A正确．
B选项，当移动到点，则作于，
面，，
又，面，
即面，为点到面的距离．
当移动到非点，则作面于，
则，所以点到面的最大距离为．
C选项，四面体，
到面的距离是到面的距离的，
如图，均为所在棱的中点，
则的轨迹为正三角形和正六边形，
所以的轨迹的长度为．故C错误．
D选项，取中点，中点，易证面面．
取面的中心为，取面的中心为，
则又为中点，所以，
所以面，所以到面的距离等于到面的距离，
作交面于，则为与与所成角，
所以，且点的轨迹与点相同．
，，
所以点在面的轨迹为正方形的外接圆．
在面中，令，则为椭圆长轴，
，．
取中点，连接并延长交于，又，
则，，，．
过点作的垂线，交的外接圆于，两点，
根据相交弦定理，有，，
过作的平行线交于，于，则为椭圆短轴，
则，，．故D正确．
12．【解答】解：因为平面向量、满足，
所以，所以，即，
所以，设与夹角为，
则，
又因为，所以．故答案为：．
13．
【解析】令的公差为，成等比数列，
，，，．
当且仅当，即时取等号．
14．
【解析】方法1：，，
因为四点共圆，设该圆的方程为，
联立，消去，得，
即，
所以即为关于的方程的3个根，
则，
因为，
由的系数对应相等得，，所以
方法2：，，，则，，，，
，
，
因为四点共圆，所以，即，
化简可得：，所以
15．【解析】（1）由题意在中，，，，
是等腰直角三角形，，
在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
，，
在中，，，
由正弦定理得，
解得．
（2）由题意及（1）知，，
在中，，，
由余弦定理，
，
，当且仅当时，等号成立，
，
当且仅当时，的面积最大，此时，
．
16．【解析】（1）令，连接，．
四边形为正方形，所以．
又在正三棱柱中，
面，面．
又面，．
又为正三角形，分别为的中点，
，．
又，分别为，边的中点，
，，．
又，，面，
面．
．
所以四面体的体积的为32．
（2）由（1）知面，，，
为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，所以
四边形为正方形，
所以，又，
，．
又为的中位线，所以为中点，
所以，，．
以为原点，分别以，，为，，轴正方向如图建系．
则，，，，，
则，，，
令为平面的法向量，则，，，，
所以，取，则，，，
所以，
直线与面所成角的正弦值为．
17．【解析】（1）甲每次抽球，抽到两个两个颜色相同的球的概率为．
示乙每次抽球，抽到两个两个颜色相同的球的概率为．
（2）表示第次抽球的人是甲，表示第次抽球的人是乙，表示抽到两个球为同色，
．
则
又，，
为以为首项，为公比的等比数列，
，
，
（3），，
，
①
②
①减②得：
18．【详解】（1）解：
当时，由得在单调递减
解得，
当时，在只有一个零点．
当时，，在单调递减
，，
又
在有一个零点．
又在单调递减，
当时，在有一个零点．
综上，当时，只有一个零点．
（2）证明：当时，，
当时，，
在上单调递增，
，，
在区间内存在唯一的零点．
（3）解：，且，
，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
19．【解析】（1）取，记线段的中点为，由于线段的中点为，连接，
则，，
设圆的半径为，圆与圆内切于，连接，
则，，三点共线，
于是．
又，根据椭圆的定义可得点的轨迹的方程为．
（2）证明：设，，，
当直线的斜率不存在时，点、、三点重合，为点
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，
由，，得，，
故，
化简得
所以
又因为动点在直线上，
所以．．
化简得
由，可知，
动点在、两点之间且可以重合，
所以动点的轨迹为线段，
所以动点的轨迹长度．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
销售量（万个）
2
17
36
93
142