2026年高考数学一轮复专题07圆锥曲线综合大题培优归类(18题型)训练(学生版+解析)

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题型1 轨迹型
1．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若动点在轴右侧，点.
（i）求的最小值；
（ii）求的最小值.
2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，已知，，，动圆与轴相切于点，过，两点分别作圆的非轴的两条切线，这两条切线的交点为.

(1)求证：为定值，并写出点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为，过点的直线与交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的斜率.
题型2 韦达定理基础型
1．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.
2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的上顶点为M，下顶点为N，左、右焦点分别为，，四边形的面积为，且为正三角形．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)当直线与椭圆交于A， B两点时，满足，求直线的方程．

题型3 横截式型
1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求的最小值．
2．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知椭圆，，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
题型4 双变量型
1．（24-25高二上·广西梧州·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，离心率为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点；
①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；
②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.
2．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的右顶点为，上焦点为，直线与椭圆交于不同于的两点，．
(1)是否存在，使为的重心，试说明理由；
(2)已知，
（i）证明：恒过定点；
（ii）设点在上，且满足，是椭圆上的动点，求的最大值．
题型5 最值范围型
1．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点．
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
2．（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)当时，求t的取值范围；
(3)当时，求的最小值.

题型6 非常规型四边形面积
1．（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，满足到、距离之和为定值的点的轨迹为曲线，且点在曲线上.过点且不平行于x轴的直线与曲线交于点A、B，AB的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C、D，l与x轴的交点为E.
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)记CG与AE的交点为M，DG与BE的交点为N，求四边形MGNE面积的最大值.
2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；
(3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
题型7 定点：圆过定点
1．（2025·河北唐山·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点．
(1)证明：
①直线轴；
②四边形的面积为定值；
(2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．
2．（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的标准方程和准线方程；
(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
题型8 定点：直线过定点
1．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点与两定点，的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程.
(2)已知，两点均在轨迹上，且点在第三象限内，点在第四象限内.
（i）若延长与轨迹交于另一点，延长与轨迹交于另一点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值；
（ii）若，，点为直线上一动点，直线，分别与轨迹交于，两点，若直线与直线不重合，证明：直线恒过定点.
2．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
(1)求的标准方程.
(2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且.
（i）若点的坐标为，求；
（ii）证明：直线过定点.

题型9 定值
1．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点．
（i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求；
（ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值．
2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
(3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
题型10 斜率型：和定
1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为.
①求证：为定值；
②点G为CF中点，若求实数的取值范围.
2．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的焦距为，且与直线相切.直线与交于两点，为坐标原点，是上的点（异于），直线的斜率分别为.
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的值；
(3)是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
题型11 斜率型：积定
1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值.
2．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）动点与定点的距离与到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F的直线（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点的直线和，与直线的交点分别为M，N，记直线和的斜率分别为和，证明：为定值．
题型12 斜率型：比值型
1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值．
2．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(3)若，证明：当时，为锐角三角形．
题型13 三斜率型：复合型
1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知点,都在双曲线上．
(1)求双曲线E的方程；
(2)过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于C，D两点，点Q在直线上，直线，，的斜率分别为，证明：成等差数列．
2．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上的三个不同点.
①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求；
②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值.
题型14 切线型
1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点；
(3)已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值．
2．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6.
(1)求的方程；
(2)求过与相切的直线方程；
(3)设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值.

题型15 韦达定理与点带入型
1．（21-22高三·重庆·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
2．（20-21高二下·江西宜春·阶段练习）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，说明理由.
题型16 韦达定理与定比分点型
1．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别A，B，F是椭圆C的右焦点，且，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C存在一动点M，连接OM，过点F作直线交椭圆C于P，Q两点，求证：为定值.
2．（23-24高三·浙江·阶段练习）已知直线的方程为：，直线与轴的交点为，圆的方程为：
，、在圆上， ，设线段的中点为．
（1）如果为平行四边形，求动点的轨迹；
（2）已知椭圆的中心在原点，右焦点为，直线交椭圆于、两点，又，求椭圆的方程．

题型17 非对称型韦达定理
1．（2021·北京海淀·模拟预测）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆C的左右顶点．
B为椭圆C的上顶点，为椭圆C的左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线l为椭圆于E、F两点（点E在x轴上方），M，N分别为直线与y轴的交点，O为坐标原点，来的值．
2．（2020·甘肃平凉·模拟预测）在直角坐标系中，椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，是椭圆上异于，的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：，，三点在同一条直线上.
题型18 第19题新定义综合型
1．（2025·江西新余·模拟预测）平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个是圆锥曲线的第二定义）．其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率．当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．
(1)若方程表示的二次曲线是椭圆，求的取值范围；
(2)已知椭圆的右焦点为，点，试在椭圆上求一点，使的值最小，并求这个最小值．
(3)双曲线的右焦点，左准线，其中，过作直线与双曲线右支交于两点，线段的中点为，且，求该双曲线的实轴长的取值范围．
2．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知抛物线，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为k（k为常数）的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方）；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；…；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在轴的上方），直线和相交于点.
(1)若，求；
(2)证明：点，，，…，在一条直线上；
(3)记线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，…，线段的中点为，求（用k，n表示）.

结束
求轨迹方程的常见方法有:
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
韦达定理基本模板实战模板
1、设点，
2、方程1：设直线：-----此处还有千言万语，在后边分类细说。
3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母
4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程的二次项能否为零-----这就是实战经验。
5、（1）； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。
6、方程4、5：韦达定理
7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话
直线横截式设法技巧
（1）直线AB方程为，联立曲线方程，
结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；
（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况
当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。
（1）
（2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。
（3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。
（4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：
一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为，为此计算， 代入转化为的函数求最大值.
圆过定点思维：
1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明
2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算
2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。
4.通过推导求出定点（计算推导难度较大）
直线过定点：
1、直线多为y=kx+m型
2.目标多为求：m=f（k）
3.一些题型，也可以直接求出对应的m的值
求定值问题常见的思路和方法技巧：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题
给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.
双曲线的以为切点的切线方程为
抛物线的切线：
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
基本规律
1.图形特征依旧有“一直一曲”的
2.在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上”
3.授课时，可以和点差法题型结合对比
若有
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）
可以利用公式，可消去

非对称型韦达定理应用，先韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.
具体办法为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.