2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题7.3空间直线、平面的平行(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题7.3空间直线、平面的平行(学生版+解析)，共8页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1744" 【题型1 有关平行命题的判断】 PAGEREF _Tc1744 \h 4
\l "_Tc23886" 【题型2 证明线线平行】 PAGEREF _Tc23886 \h 5
\l "_Tc9297" 【题型3 线面平行的判定】 PAGEREF _Tc9297 \h 6
\l "_Tc20546" 【题型4 线面平行的性质定理的应用】 PAGEREF _Tc20546 \h 7
\l "_Tc26678" 【题型5 面面平行的判定】 PAGEREF _Tc26678 \h 9
\l "_Tc12530" 【题型6 面面平行的性质定理的应用】 PAGEREF _Tc12530 \h 11
\l "_Tc14632" 【题型7 平行关系的综合应用】 PAGEREF _Tc14632 \h 12
\l "_Tc31927" 【题型8 平行关系的探索性问题】 PAGEREF _Tc31927 \h 14
1、空间直线、平面的平行
知识点1 线面平行、面面平行的判定定理和性质定理
1．线面平行的判定定理和性质定理
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
2．面面平行的判定定理和性质定理
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
知识点2 空间中的平行关系的判定方法
1．线线平行的证明方法
(1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
(2)利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
(3)利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行；
(4)利用线面平行与面面平行的性质定理来判定线线平行.
2．线面平行的判定方法
(1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
(2)利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行—线面平行”)；
(3)利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面.(简记为“面面平行—线面平行”).
3．面面平行的判定方法
(1)面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(选择、填空题可用)；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行(选择、填空题可用).
【方法技巧与总结】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.
4．若α//β，aα，则a//β.
【题型1 有关平行命题的判断】
【例1】（2025·河北唐山·二模）已知m为平面α外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在直线n，使得n⊥m，n⊥αB．存在直线n，使得n⊥m，n//α
C．存在直线n，使得n//m，n//αD．存在直线n，使得n//m，n⊥α
【变式1-1】（2025·广东深圳·一模）已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内，则“直线a和直线b平行”是“平面α和平面β平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a//α，b//α，则a//b
B．若a//b，a//α，则b//α
C．若a⊂α，b⊂α，且a//β，b//β，则α//β
D．α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分
【变式1-3】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若m//α，n//β，α//β，则m//n
B．若m⊂α，n⊂α， m//β，n//β，则α//β
C．若l//α，l⊂β，α∩β=m，则l//m
D．若m⊂α，n⊂α，l⊂β，且m//β，n//l，则α//β
【题型2 证明线线平行】
【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱锥S−MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（ ）

A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交B．异面C．平行D．垂直
【变式2-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：BF//ED1．
【变式2-3】（24-25高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,Q分别为棱BC,CC1的中点．
(1)证明：AD1//PQ；
(2)求三棱锥A−B1QP的体积．
【题型3 线面平行的判定】
【例3】（2025·山西晋城·模拟预测）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，点M是线段B1D1上的一个动点，E、F分别是BC、CM的中点.

(1)求证：EF//平面BDD1B1；
(2)若四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为24，求三棱锥C−BDF的体积V的值.
【变式3-1】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在正方体A1B1C1D1−ABCD中，E是DD1的中点．
(1)求证：A1C1//平面ACE；
(2)若BD1=6，求点B到平面AEC的距离.
【变式3-2】（2024·四川·三模）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是CC1,BC,AD的中点.
(1)求证：CG //面D1EF；
(2)求点G到平面D1EF的距离.
【变式3-3】（2025·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，4PA=4AB=3AD=12，BA⋅AD=0，且M，N分别为PD，AC的中点．
(1)求证：MN//平面PBC；
(2)求三棱锥M−ACD的体积．
【题型4 线面平行的性质定理的应用】
【例4】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，且AP=λAF，PC//平面BEF，则λ的值为（ ）

A．1B．32C．2D．3
【变式4-1】（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥P−ABCE中，四边形ABCE是梯形，AB//CE,且AB=3CE,点F在棱PA上，且EF ∥平面PBC，则PFFA=（ ）
A．13B．12C．23D．34
【变式4-2】（2024·河南·模拟预测）如图，三棱柱ABC−A1B1C1各棱长均相等，M为棱AC上一点，Q为棱BB1的中点，AQ//平面C1BM．
(1)求AMMC的值；
(2)若平面A1MB1将三棱柱ABC−A1B1C1分为两部分，较小部分的体积为V1，较大部分的体积为V2，求V1V2的值．
【变式4-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，点E在棱PC上，PA //平面EBD.
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数λ，使三棱锥E−BPD体积为43，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
【题型5 面面平行的判定】
【例5】（2025高三·全国·专题练习）如图，正四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．求证：平面MNQ//平面PAD．
【变式5-1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E=60°，已知CD=4，AB=8，G，H分别为O2B，BF的中点.
(1)证明：平面CGH//平面O1O2FE.
(2)若三棱锥C−GBH的体积为533，求圆台O1O2的侧面积.
【变式5-2】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥PO中，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，四边形ABCD是底面的内接正方形，E,F分别为PD,PA的中点，过点E,F,O的平面为α.
(1)证明：平面α ∥平面PBC；
(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为3，设点M在线段EF上运动，求三棱锥P−MBC的体积.
【变式5-3】（24-25高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)求证：平面MNQ//平面PAD；
(2)求证：BC//l；
(3)若PA=5，AB=42，求四棱锥P−ABCD的体积．
【题型6 面面平行的性质定理的应用】
【例6】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E,F分别在线段DB,DD1上，且DEEB=DFFD1=12,G在CC1上且平面AEF ∥平面BD1G，则CGCC1=（ ）

A．12B．13C．23D．14
【变式6-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，DEEB=12，G在CC1上且平面AEF//平面BD1G，则CGCC1=（ ）

A．12B．13C．23D．14
【变式6-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线GH//平面ABC．

【变式6-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点.
(1)求证：MQ//平面PAD；
(2)求证：BC//l.
【题型7 平行关系的综合应用】
【例7】（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后得到的几何体如图所示，O为AC与BD的交点.
(1)求证：A1O//平面B1CD1；
(2)求证：平面A1BD//平面B1CD1.
【变式7-1】（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点.已知M，N分别是PC，AB的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG.
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求证：AP//HG.
【变式7-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中AB=2，M为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面AMC；
(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC//平面BND1；
(3)求三棱锥M−ABC与正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球半径之比．
【变式7-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图，在正方体ABCD−AB1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面AEC；
(2)取CC1中点F，求证：平面AEC//平面BFD1；
(3)求异面直线AE与D1B所成角的余弦值．
【题型8 平行关系的探索性问题】
【例8】（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点.
(1)证明：C1G//平面CEF.
(2)在棱AA1上是否存在点H，使得平面C1GH//平面CEF？若存在，求出A1HA1A的值；若不存在，请说明理由.
【变式8-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，E是侧棱PC上一点，且PE=2EC．

(1)试确定侧棱PC上一点Q的位置，使AQ//平面BDE．
(2)在侧棱PB上是否存在一点R，使AR//平面BDE？若存在，求出PRRB的值；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，CQQD1=BPPD=λ0